MINITAB统计基础.docx
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MINITAB统计基础
MINITAB统计基础
1.正态总体的抽样分布
1）样本均值，，的分布——标准正态分布及T分布
样本标准差计算公式:
T分布的定义：
Studenttdistribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且
它们相互独立，那么随机量
所服从的分布称为个自由度的t分布。
其分布密度函数为:
当一：
时的极限分布即是标准正态分布，
当二-时就是Cauchy分布。
t分布只包含1个参数。
数学期望和方差分别为o,一匸a-】时期望不存在，〔--方差不存在）。
我
们常常用冗门表示U个自由度的t分布。
MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，
当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。
在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。
自由度：
可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。
范例：
Z~N（0,1），求Z=1.98时的概率密度。
计算-----＞概率分布-----＞正态分布-----＞概率密度-----＞输入常数1.98-----＞确定
概率密度函数
正态分布，均值=0和标准差=1
xf（x）
1.980.0561831
■■-o
计算-----＞概率分布-----＞正态分布-----＞累积概率-----＞输入常数2.4-----＞确定
累积分布函数
正态分布，均值=0和标准差=1
xP（X＜=x）
2.40.991802
Z~N（0，1），求使得P（Z＜x）=0.95成立的x值，即Z的0.95分位数。
计算-----＞概率分布-----＞正态分布-----＞逆累积概率-----＞输入常数0.95-----＞确定
逆累积分布函数
正态分布，均值=0和标准差=1
P（X＜=x）x
0.951.64485
自由度=12,求使得戸溟二二:
.'ko
＞确定
计算-----＞概率分布-----＞t分布-----＞逆累积概率-----＞输入自由度12-----＞输入常数0.95
逆累积分布函数
学生t分布，12自由度
P（X＜=x）x
0.951.7822
自由度=12,求使得j唯-o
计算-----＞概率分布-----＞t分布-----＞累积概率-----＞输入自由度12-----＞输入常数3-----＞确定
累积分布函数
学生t分布，12自由度
xP（X＜=x）
30.994467
2）双样本均值差的分布
3）正态样本正态样本方差S2的分布卡房卡方分布
若X1,X2,••…；Xn是从正态总体9..中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记
_1V"
1=1
!
口已知时:
当未知时，用「.替i丄后可以得到
a2
-Xa（n-D
其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。
卡方分布的定义：
把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。
它的密
度表达式为：
参数—称为自由度。
卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（-越小，分布越偏斜）。
我们常用芒顒0表达自由度
为仪的卡方分布。
卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。
卡方分布的性质
a）卡方分布的加法性：
设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1,n2。
若令Z=X+Y
则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。
b）若,则純订-i，阳Q-
计算下列各卡方分布的相关数值：
自由度=10，求使得廉严必盘：
叮泻成立的x值。
计算----->概率分布----->卡方分布----->逆累积概率----->自由度=10----->常数=0.95----->确定
逆累积分布函数卡方分布，10自由度
P（X＜=x）x
0.9518.307
计算-----＞概率分布
＞卡方分布
＞累积概率-----＞自由度=10-----＞常数=28-----＞确定
累积分布函数卡方分布，10自由度
xP（X<=x）
280.998195
4）两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布
两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。
设有两个独立的正态总体「-寸（占.，“冷和匚（恶j”务），它们的方差相等。
又设Xi,X?
，…,Xn是来自二（!
..厂）
的一个样本丫1,丫2,…，Yn是来自」）的一个样本，这两样相互独立。
它们的样本方差之比是自由
度为n-1和m-1的F分布：
1宀
S2n-
F==F{n™ljm—1）
5岛弘帀
1=1
n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。
实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果gf閔;，弋『密&蟲，且二者相互独
立，则称二者比值的分布为F分布，即
F=守zF际％〕
其密度函数是：
F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。
计算F0.95（8，,18）的数值。
计算——>概率分布——>F分布——>逆累积概率——>分子自由度=8——>分母自由度=18——>
常数=0.95----->确定
逆累积分布函数
F分布，8分子自由度和18分母自由度
P（X<=x）x
0.952.51016
2.参数的点估计
1）点估计的概念
用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。
设？
是总体的一个未知参数，人，X2，…，Xn是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估
计未知参数？
的统计量■：
（X1,X2,••%）称为？
的估计量，或称为？
的点估计。
我们总是在参数上方画一个帽子“"表示该参数的估计量。
在工程中经常出现的点估计问题之最好结果
对于总体方差
对于总体均值
是：
对于比率P,匸,x是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数;
对于-1--2,「•.一厂（两个独立随机样本均值之差）；对于P1-P2,估计为两个独立随机样本比率之差）；
2）点估计的评选标准
3.参数的区间估计
设？
是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n的样本是X1,X2,…，Xn,对给定的显著性水平a（0
?
L=?
L（X1,X2,…，Xn）与？
U=?
U（X1,X2,…，Xn）,若对于任意？
有P（?
L
U）
1-a，则称随机区间［?
L,?
u］是？
的置信水平为1-a的置信区间，?
l与?
u分别称为置信下限和置信上限。
置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性，1-a是区间估计的可靠
程度，而a表达了区间估计的不可靠程度。
在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。
对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。
实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。
这两者要结合在一起考虑，才更为实际。
通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。
1）单正态总体均值的置信区间
当，「叮」：
丄心;:
时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：
a）当总体方差已知时，正态总体均值I1.的1-a置信区间为:
b）
在MINITAB中，我们通过：
统计----->基本统计量----->单样本Z来实现的。
由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。
b）当总体方差未知时，二用样本标准差S代替，此时正态总体均值I1的1-a置信区间为:
式中，I；〕;-1；表示自由度为n-1的t分布的分位数，也就是t分布的双侧a分位数。
13
例如a=0.05时，样本量n=16时，I…二二：
〕，其值略大于财
在MINITAB中，我们通过：
统计----->基本统计量----->单样本t来实现的。
某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据:
1742
1827
1681
1742
1676
1680
1792
1735
1687
1852
1861
1778
1747
1678
1754
1799
1697
1664
1804
1707
假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用均值的95%置信区间。
统计----->基本统计量----->单样本t----->样本所在列=运输费用----->选项----->置信水平=95>确定。
单样本T:
运输费用均值标
变量N均值标准差准误95%置信区间
运输费用201745.261.913.8（1716.2,1774.2）
c）前两种情况讨论的是当总体为正态分布时，•的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量
n超过30，则可根据中心极限定理知道：
二仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均
值•的区间估计方法，而且可以直接用样本标准差代替总体标准差，即采用公式:
在MINITAB中，通常直接采用：
统计----->基本统计量----->图形化汇总中得到总体均值的置信区间结果。
只不过要注意的是：
总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30
后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。
2）单正态总体方差和标准差的置信区间
当时，正态总体方差的置信区间是:
（n-1）S5（n-l）S2
=5'Xaa（p-1）
（n-l）Ss
1,2（n-l）
当紆认O（■巧:
时，正态总体标准差的置信区间是:
某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据:
1742
1827
1681
1742
1676
1680
1792
1735
1687
1852
1861
1778
1747
1678
1754
1799
1697
1664
1804
1707
假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用方差和标准差的95%置信区间。
统计----->基本统计量----->单方差----->样本所在列=运输费用----->选项----->置信水平=
95>确定。
单方差检验和置信区间：
运输费用方法
卡方方法仅适用于正态分布。
Bonett方法适用于任何连续分布。
统计量
变量N
标准差方差
运输费用2061.93830
95%置信区间
标准差置信
方差置信区
变量方法
区间
间
运输费用卡方
（47.1,90.4）（2215,8170）
Bonett（49.0,86.6）（2401,7507）
求总体标准差置信区间另一种方法：
统计-----＞基本统计量-----＞图形化汇总-----＞变量：
运输费用-----＞
置信水平：
95-----＞确定
圏笳叱;匚总
9Sft何
A平方
F蓝
Q#
：
■7：
\
电星
1745.2
C1.9
3829.7
-0,9&£92-3
16610
宾一ISijM
1盘乙:
■=世監
17C,5
垃三口三亡骯
179*.3
LctJ.C
境臺蛊它国闾
Id
17742
16t?
.4r
mT
47.L
90.i
运输费用汇总
L7f»17ZO1H017-6017S01500
3）单总体比率的置信区间
当塔十二“歸时，也就是X取“非0则1”的0-1分布，我们常需要估计总体中感觉的那类比率的置信区
间，比如，一批产品中，不合格品率的大致范围；顾客满意度调查中，有抱怨顾客的比率范围等。
这里我们记总体比率为p,样本比率为p。
可以证明，当样本量足够大时（要求np>5及np（1-p）>5）,
且p值适中（0.1”*片!
骗：
..:
八J。
因此，由p
服从的正态分布构造总体比率p的置信区间为：
L列+你
一电视台为了调查新节目收视率，在节目放映时间内进行了电话调查。
在接受调查的2000名被调查
者中有1230名正在收看本节目。
求此节目收视率的95%置信区间。
统计----->基本统计量----->单比率----->汇总数据：
事件数=1230,实验数=2000----->选项----->置信水平：
95;勾选使用正态分布的检验和区间----->确定
由于np>5及np（1-p）>5,可用于正态分布近似二项分布，故可以勾选使用基于正态分布的检验和区间。
单比率检验和置信区间
样本XN样本p95%置信区间
1123020000.615000（0.593674,0.636326）
使用正态近似。
4）双总体均值差的置信区间
设有两个总体二”竝珂，从总体X中抽取的样本Xi,X2，…，Xn,样本均值为.,
样本方差为了，样本标准差为S；,;,从总体Y中抽取的样本丫1,丫2,…，Yn,样本均值为•，样本方
差为馬产岀，样本标准差为:
賞
对两总体均值差异■的区间估计常有以下三种情况:
a）两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差-■■■都已知时，两总体均值差异一-•:
的1-
只要样本量足够大，无论两总体的方差是否相等，上式都成立。
b）两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差•他异均未知时，两总体均值差异一-•:
的1-
111
nTn」
Qi—Y）—ta（n+m—2}Sp
1-TT
置信水平下的置信区间为:
-4--,0C-Y）+tt（n4m-2）Sp-+-nin4―-尸」n严
式中,
一家冶金公司需要减少其排放到废水中的生物氧需求量含量。
用于废水处理的活化泥供应商建议，用
纯氧取代空气吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此数值越小越好）。
从两种处理的废水中分别抽
取10个和9个样品，数据如下：
空气
184
194
158
218
186
218
165
172
191
179
氧气—
163
185
178
183
171
140
155
179
175
已知生物氧需求量含量服从正态分布，试确定：
该公司采用空气和采用纯氧减少生物氧需求量含量均值之差的95%置信区间。
（n—J十（m—
n+m-2
求两总体--一：
的置信区间：
统计-----＞基本统计量-----＞双样本t-----＞样本在不同列中：
第一=空气,
第二=氧气-----＞勾选假定等方差-----＞选项：
置信水平=95,备择=不等于-----＞确定。
双样本T检验和置信区间：
空气，氧气
空气与氧气的双样本T
均值标N均值标准差准误
空气10186.520.06.3
氧气9169.914.74.9
差值=mu（空气）-mu（氧气）
差值估计值：
16.61
差值的95%置信区间:
（-0.58,33.80）
差值=0（与工）的T检验：
T值=2.04P值=0.057自由度=17
两者都使用合并标准差=17.7356
c）当两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差码吩啪均未知时，两总体均值差异•一--：
的
1-a置信水平下的置信区间为：
式中，自由度u的计算公式为:
假定A,B两名工人生产相同规格的轴棒，关键尺寸是轴棒的直径。
由于A使用的是老式车床，B使
用的是新式车床，二者精度可能有差异。
经检验，他们的直径数据确实来自两个方差不等的正态分布。
现他们各测定13根轴棒直径，数据如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A
14.76
14.21
14.02
15.08
10.65
12.18
16.67
18.20
12.24
11.21
16.67
13.45
16.85
B
12.37
10.28
13.18
13.26
13.80
10.96
10.57
12.83
11.67
13.54
12.42
13.24
12.52
试确定A,B生产的轴棒直径差异的95%置信区间。
求两总体心7的置信区间：
统计-----＞基本统计量-----＞双样本t-----＞样本在不同列中：
第一=空气,
第二=氧气-----＞选项：
置信水平=95，备择=不等于-----＞确定。
双样本T检验和置信区间：
A工人,B工人A工人与B工人的双样本T
均值标
N均值标准差准误
A工人1314.322.350.65
B工人1312.361.150.32
差值=mu（A工人）-mu（B工人）
差值估计值：
1.965
差值的95%置信区间：
（0.435,3.496）
差值=0（与工）的T检验：
T值=2.71P值=0.015自由度=17
独立随机样本取自均值一_・•一未知，标准差未知的两个正态分布总体，若第一个总体样本标准差
S1=0.73,样本量n=25,，第二个总体样本标准差S2=0.89,样本量n=20,「--「。
求•一-:
的
95%置信区间。
统计-----＞基本统计量-----＞双样本t-----＞汇总数据：
第一（样本数量=25，均差=6.9，标准差=0.73）,第
二（样本数量=20，均差=6.7，标准差=0.89）-----＞选项：
置信水平=95-----＞确定。
双样本T检验和置信区间
均值标样本N均值标准差准误
1256.9000.7300.15
2206.7000.8900.20
差值=mu⑴-mu
（2）
差值估计值：
0.200
差值的95%置信区间:
（-0.301,0.701）
差值=0（与工）的T检验：
T值=0.81P值=0.423自由度=36
5）双总体比率差的置信区间
设两个总体的比率分别为P1和p2,为了估计p1-p2，分别从两个总体中各随机抽取样本量为n1和n2的两
（Pi-Pa）-2
个随机样本，并计算两个样本的比率_T,可以证明p1-p2的置信水平为1-a的置信区间为：
为了解员工对工资的满意度，对250名男员工、200名女员工进行调查，数据如下:
区分
样本数
满意
男
250
110
女
200
104
合计
450
214
求男女员工对工资满意度差异的95%置信区间。
统计-----＞基本统计量-----＞双比率-----＞汇总数据：
第一（事件=110，实验=250）,第二（事件=104,实验=200）-----＞选项：
置信水平=95-----＞勾选使用P的合并估计值进行检验-----＞确定。
双比率检验和置信区间样本XN样本p
11102500.440000
21042000.520000
差值=p⑴-p⑵
差值估计值：
-0.08
差值的95%置信区间：
（-0.172630,0.0126298）
差值=0（与丰0）的检验：
Z=-1.69P值=0.091
Fisher精确检验：
P值=0.106
升级会员 