平稳时间序列模型及其特征.docx
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平稳时间序列模型及其特征
第一章平稳时间序列模型及其特征
第一节模型类型及其表示
一、自回归模型（AR）
由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：
X=©Xt-1+£t（
常记作AR
（1）。
其中｛X｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，
©为X对X-1的依赖程度，£t为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果Xt与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含Xt－
1,……X-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一般形式为：
Xt=©1Xt-l+©2Xt-2+…+©pXt-p+£t
为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B
为滞后算子，即BX=X-1,则B（Bk-1X）二Bkx二X-kB（C）=C（C为常数）。
利用这些记号，（
X=©1BX+©2BX+©3^Xt++©pBXt+£t
从而有：
记算子多项式©（B）=（1-©1B-©2B--©pB）,则模型可以表
示成
©（B）X=「（
例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-i+0.3Xt-2+0.3Xt-3+£t可写成
（1-0.7B-0.3B2）Xt=£t
二、滑动平均模型（MA）
有时，序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况
下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即
Xt=£t-91£t-1-92£t-2--9q£t-q（
此模型常称为序列X的滑动平均模型，记为MA（q）,其中q为滑动平均的阶数，91,92…9q为参滑动平均的权数。
相应的序列Xt称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（
X=（1-9iB-92B2--9qB1）qt=9（B）£t（
三、自回归滑动平均模型
如果序列｛X｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：
Xt=©lXt-1+©2Xt-2++pXt-p+£t-91£t-1-92£t-2-……-9q£t-q
（
简记为ARMA（p,q）。
利用滞后算子，此模型可写为
©（B）Xt=9（B）£t（
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性
首先介绍两个概念。
1序列的传递形式：
设｛Yt｝为随机序列，｛£t｝为白噪声，若｛Y｝可表示为：
Yt=£t+G£t-1+G£t-2++G£t-k+=G（B）£t
且|Gk|，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。
系
1
数｛G｝称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
2序列的逆转形式：
若｛Y｝可表示为：
£t=Yt-niYt-i-n2Yt-2--nkYt-k-=n（B）Yt
且|k，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式）。
1
一、MA模型
1.MA模型本身就是传递形式。
2.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（乂）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3.MA（q濮型的可逆性条件。
先以MA
（1）（Yt=£t-01£t-i）为例进行分析。
MA
（1）的可逆性条件为：
I11。
如果引入滞后算子表示MA
（1）,
则Y=（1-01B）£t，可逆条件I11等价于0（B）=1-01B=0的根全在
单位圆外。
对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有：
Y=（1-01B-02B2--0qEq）£t=0（B）£t
其可逆的充要条件是：
B（B）=0的根全在单位圆外（证明见
Box-Jenkins,P79）。
在可逆的情况下，服从MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：
-1
0（B）Yt=£t
MA（q）的可逆域：
使0（B）=0的根全在单位圆之外的系数向量（0
1,02,,0q）所形成的集合。
例：
求MA
（2）的可逆域。
解：
由Ytt1t12t2，其特征方程为：
该方程的两个根为：
由二次方程根与系数的关系，有
当MA
（2）平稳时，根的模|1与2都必须大于1,因此必有：
由根与系数的关系，可以推出如下式子：
由于1、2是实数，1与2必同为实数或共轭复数。
又因为Ii|1,因此
故
反之，如果|21，且211。
那么从I21可以推出至
12
少有一个Ii1，例如，假设111，则根据1（1丄）（1丄）1可推出
12
（1丄）（1丄）0，由1丄0可以推出1丄0，从而|』1。
因此，
1212
（B）11B2B20的根在单位圆之外。
（平稳域为一三角形）。
1.AR（P）模型本身就是一种逆转形式。
2.平稳性。
先以AR
（1）（Yt二M+「），进行分析。
AR
（1）平稳的条件为|11，它等价于（B）=1-iB=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下，AR
（1）有传递形式：
（1-iB）Yt=「Yt1tj
1iBjo
一般地，对于AR（P）模型：
（B）Yt=£t，序列｛Yt｝平稳的充要条件是：
（B）=0的根全在单位圆外。
此时，Y有传递形式：
Yt=-1（B）
£t
AR（P）的平稳域：
使（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（1,2,,P,）的全体形成的集合。
练习：
求AR
（1）与AR
（2）的平稳域。
三、ARMA（p,q）模型
1、平稳性与传递形式
首先考察ARMA（1,1）的平稳性：
YtF1Yt-1=£—1£t-1
Yt平稳1^1|<1（与AR
（1）的平稳域相同）
此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，
而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR
（1）的平稳条件相同。
在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。
一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt平稳的充要条件是：
©（B）=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下，Yt有传递形式Yt二
0-1（B）0（B）£t
2、可逆性
对于ARMA（1,1），假定可逆形式为
2
et=n（B）Yt=（1—nB—n2B一nkBk—•）Yt
代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得
et=Yt-（01-0i）丫t-i-0i（0i-0i）丫t-2—-0ik-1（0i-0i）丫t-k-…
根据前面的定义（可逆性定义），应有丨011<1。
因此，ARMA（1,1）可逆的条件是丨011<1,它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA
（1）的可逆条件相同。
一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt，其具有可逆性的条件是：
0（B）=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下,Yt的逆转形式为et=0-1（B）0（B）Yt
3、传递性与可逆性的重要意义
第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数
自相关函数
1、MA（q）模型的自相关函数
设｛Yt｝服从：
q
Yt=0（B）£t=£t_01£t-1-…-Bq£t-q=—0j£t-j
j0
则｛Yt｝的s阶自协方差函数为:
由上式，有Y=c*（1+012+…+0q2）
故｛Yt｝的自相关函数（ACF）为：
Ps=y/y
qsq
~2
q
s1s1从而Y=©1Y-1=012us-2=…=©isY
自相关函数（ACF）为：
ps=Y/Y=©is
当I©i|<1,ps—>0,即自相关函数ps随S的增大而衰
减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR（p）,序列的自相关函数的特征分析如下：
设Yt=©iYt-i+©2丫t-2+…+©pYt-p+et=©（B）Yt+et
则自协方差函数：
Y=©1Y-i+©2Y-2+…+©pY-p
这是一个关于｛s｝的线性差分方程。
上式两边同除y,得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。
ps=©1ps-l+©2ps-2+…+©pps-p
在AR（p）平稳的条件下，©（B）=0有p个在单位圆外的根a1、a2,…,ap。
根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程©（B）ps=0的通解为：
ps=c1a1-s+c2a2-s+…+cpap-s
由于|aj|>1,因此ps将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡
衰减（复根情形）。
这种特性称为AR（p）的拖尾性。
AR（p）的典型特征是：
ps拖尾（衰减）
3、ARMA（p,q）的自相关函数
设ARMA（p,q）的形式为：
Yt=©1Yt-1+©2丫t-2+…+©pYt-p+et-01et-1-0qet-q
则Yt的s阶自协方差函数为:
Y=©1Y-l+©2Y-2+…+©pY-p+E（Yt£t+s）_0lE（Yt£t+S-1）-…_0qE（Yt£t+S-q）
1当Ows2当s>q时，&q>0,t+s-q>t,从而£t+S,£t+S-1，…,£t+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此Y中后面的项全为零。
Y=©1Y-1+©2y-2+•…+©pY-P
它只同自回归系数有关。
两边冋除Y，得Ps=©1ps-1+©2Ps-2+©pps-p（s>q）
即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在s>q时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。
借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA（P,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。
二、偏自相关函数
从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是
MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA（P,q）共有的特征，尽管ARMA（p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与ARMA
（p,q）,因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。
因此，
还需寻找序列的其他统计特征。
这就是偏自相关函数的特征。
设｛Yt｝是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。
为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：
设｛Yt｝是一零均值平稳序列，我们设想用Yt-i,Yt-2，…，Yt-s
的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型：
Yt=©siYt-i+©S2Yt-2+…+©ssYt-s+et
其中et为误差项。
估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择©si,©S2,…，©ss
s
使模型的残差方差Q=E（Yt-©sjYt-j）2=Eet2达到最小。
根据极值ji
条件应有：
Q/©sj=0（j=1,2,…，s）
据此，可推出©si,©s2,…，©ss所满足的方程为
其中pk（k=i，…，s）为Yt的k阶自相关系数。
此方程组称为
Yule-Walker方程。
可以证明，©ss是在给定Yt-1,Yt-2，…，Yt-s+1的条件，Yt和Yt-s之间的条件相关系数，即偏相关系数。
｛©ss｝就为｛Yt｝的偏相关函数。
要考察｛Yt｝服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征，
就需要由Yule-Walker方程解出©ss的表达式，然后进行分析。
由于
求解过程比较复杂。
在此我们通过另外一条途径考察©ss的特性。
假定｛丫汀的真实过程为AR（p）（p阶自回归），我们用s阶自
回归过程去逼近，则模型的残差方差为
s
Q=E[（Yt-©sjYt-j）2]
j1
ps
=E[（（©j-©sj）Yt-j+£t-©sjYt-j）2]
j1jpl
2
（T
ps
=E[（（©j-©sj）Yt-j-©sjYt-j）2]+
jijp1
2
（T
则当且仅当
时，Q达到最小值
上式表明，当s>p时，©ss=0,即©pp=©p是AR（p）模型偏自相关函数｛©ss,s>1｝中不为零的最后一项。
这种偏自相关p步截尾是AR（p）的典型特征。
对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，在可逆的条件下，有逆转形式£t=0-1（B）©（B）Yt
这是一个无穷阶的AR模型，根据前面的讨论知，｛Yt｝的偏自相关函数不会出现截尾现象，而是无限延伸的。
（AR（p）是p阶截尾的，AR（心）不会截尾）可以证明，其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减
至此，我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。
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