非线性期望理论及金融市场不确定性.docx

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非线性期望理论及金融市场不确定性

非线性期望理论及金融市场不确定性

本文主要研究了非线性期望理论及金融市场中的不确定性问题。

文章共有四章,前两章主要是理论性研究,第一章深入研究了非线性期望乘积空间理论,研究了非线性期望下乘积空间的正则性问题以及非线性期望下独立增量过程的乘积空间问题,是对非线性期望理论的完善和补充。

第二章研究了倒向随机微分方程最优控制问题及资产定价问题。

后两章主要是应用性研究,深入研究了金融市场中的不确定性及非线性期望在金融市场中的应用。

第三章介绍了非线性期望资产定价理论,并利用非线性期望理论改进了目前国际上最通用的SPAN保证金系统,改进SPAN计算原理,得到了均值-方差不确定性下的SPAN保证金系统,可以更为快捷、准确、稳健的度量风险。

并用S&P500指数期权数据进行了实证检验。

第四章深入探讨了金融市场中的不确定性,说明了金融数据的分布不确定性和描述参数不确定性在金融市场中客观存在。

深入研究了均值不确定性和方差不确定性在金融市场中的具体表现、估计方法,并利用均值不确定性构建了投资策略。

各章节主要内容如下:

（一）非线性期望下的乘积空间本章研究非线性期望下的乘积空间理论,主要针对非线性（resp.次线性）期望下乘积空间的正则性及独立增量过程的乘积空间问题进行深入探讨,完善了非线性期望乘积空间理论并弥补了之前理论中的不足。

本章的结果主要出自:

GaoQ,HuM,JiX,LiuG.Productspacefortwoprocesseswithindepen-dentincrementsundernonlinearexpectations.ElectronicCommunicationsinProbability22（2017）.本章主要有以下两部分内容:

1.非线性（resp.次线性）期望下乘积空间的正则性:

正则性是概率论中很重要的概念,一般情况下,次线性期望空间并不满足正则性,而G期望空间满足正则性（[2]）,彭实戈院士在[10]中给出了乘积空间的定义,但是在定义中并未提及正则性,因此一个自然而然的问题就是,对于给定的正则次线性期望空间,其乘积空间是否依然满足正则性。

为解决这个问题,首先研究两个正则次线性期望乘积空间的正则性,通过将经典的有限乘积概率空间构造推广到次线性期望情形,可以得知两个正则次线性期望空间的乘积空间仍保持正则性,并进一步推广到有限维的情形,得到如下结论:

给定有限个正则次线性期望空间（Ωi,Hi,（?

）_i）,i=1,2,...n,则其乘积空间（）也是正则次线性期望空间。

再通过反证法,可将结论推广到可列次线性期望空间。

进一步研究次线性期望下完备乘积空间是否保持正则性,这种情况下问题较为复杂,本文在完备可分的距离空间下,证明了概率表示族是弱紧的及随机变量的逼近性质,最终得到了次线性期望下的完备乘积空间仍保持正则性,整体思路如下:

给定正则次线性期望空间（Ωi,Hi,（?

）_i）,i=1,2,...,n其乘积空间记为（）,记（）为（）的完备化空间。

则可以证明（）也是正则次线性期望空间,）且存在（）上的一族弱紧概率族Pi使得由此可给出有限个正则次线性期望空间的完备乘积空间问题的证明。

基于有限个情形的结论和随机变量的逼近性质,进一步可得如下结论:

给定一列正则次线性期望空间（Ωi,Hi,（?

）_i）,i≥1,其中（Ωi,ρi为完备可分距离空间,Hi=Cb.Lip（Ωi）。

记Ω=,则（Ω,L’（Ω）,E为正则次线性期望空间,且满足Cb（Ω）（?

）L’（Ω）,其中（Ω,L’/（Ω）,1）为（Ω,H,E）的完备化空间。

2.非线性（resp.次线性）期望下独立增量过程的乘积空间接下来研究非线性（resp.次线性）期望空间中独立增量过程的乘积空间问题,即对于给定的两个d-维独立增量过程,是否存在一个非线性期望空间,及一个定义在空间上的2d-维的独立增量过程,使得其前d-维与后d-维过程分别同分布于先前给定的两个独立增量过程。

这是彭院士[10]中的乘积空间方法无法解决的。

本文通过离散化的方法,利用胎紧的性质,提出一种全新的构建思路,研究有限维、可列维和不可列维独立增量过程的乘积空间问题。

有限维独立增量过程的乘积空间的主要定理如下:

定理0.1.令（Mt）t≥0和（Nt）t≥0是两个分别定义在非线性（resp.次线性）空间（Ω1,H1,E1）和（Ω2,H2,E2）上的d-维独立增量过程,满足假设（A）。

则存在定义在非线性（resp.次线性）空间（Ω,H,E）上的2d-维独立增量过程（Mt,Nt）t≥0满足:

（?

）进一步,如果（Mt）t≥0和（Nt）t≥0是两个平稳独立增量过程,则（Mt,Nt）t≥0也是一个平稳独立增量过程。

非线性情形与次线性情形相似,因此本文只讨论次线性情形,非线性情形同理可证。

进一步可知,只需要证明t∈[0,1]的情形即可。

在稠密的有限点集Dn={i2-n:

0≤i≤2n上构造符合要求的次线性期望空间（Ω,Hn,En）:

如下定义Hn:

记δn=2-n,（?

）如下定义En:

Hn→R:

Step1.对于给定的φ∈Cb.Lip（R2d）,满足对i≤2n，φ（Xiδn-X（i-1）δn）=φ（Miδn-M（i-1）δn,Niδn-N（i-1）δn）∈Hn定义En[φ（Xiδn-X（i-1）δn）]=E1[ψ（Miδn-M（i-1）δn）],其中ψ（x）=E2[φ（x,Niδn-N（i-1）δn）],（?

）x∈RdStep2.对给定的φ（Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X（2n-1）δn）∈Hn,φ∈Cb.Lip（R2n×2d）,定义En[φ（Xδn,X2δn-Xδn,...,X2nδn-X（2n-1）δn）]=φ0,其中φ0=En[φ1（Xδn）].引理0.1.按上述方法定义（Ω,Hn,En）,那么

（1）（ΩHn,En）构成一次线性期望空间;

（2）对每个1≤i≤2n,Xiδn-X（i-1）δn独立于（Xδn,...,X（i-1）δn-X（i-2）δn）;（3）（?

）（?

）由此可知在稠密的有限点集Dn={i2-n:

0≤i≤2n}上,（Ω,Hn,En）即为满足定理0.1的次线性期望空间,故在有限点上结论成立。

下面将其延拓到连续点上。

易知对每个n≥1,有Hn（?

）Hn+1.令（?

）,易见（?

）为H的—个子空间,使得对每一个φ∈Cb.Lip（Rm）满足:

若Y1,...,ym∈（?

）,则有φ（Y1,...,Ym）∈（?

）。

下面,我们希望定义一个次线性期望E:

（?

）→R。

然而,在Hn上En+1[·]≠En[·],这是因为在次线性期望下独立性的顺序是不可交换的。

不过,通过下面的胎紧性引理,仍可以构造E:

引理0.2.对每一个固定的n≥1,令Fkn,κ≥n,为（?

）在Eκ下的分布.从而{Fkn:

k≥n}是胎紧的.用这一引理来构造次线性期望E:

（?

）→R.可得如下引理:

引理0.3.设P={i2-n:

n≥1,0≤i≤2n}.那么存在一个次线性期望E:

（?

）->R满足如下条件:

（1）对每一列（?

）;

（2）对每一列（?

）且（?

）.通过以上引理,最终完成了定理0.1的证明。

进一步研究无穷个独立增量过程的乘积空间问题。

首先,利用相容性构造非线性（resp.次线性）期望,结合对角线法则,将结论推广到可列个独立增量过程的乘积空间中,主要定理如下:

定理0.2.令（Mti）t≥0,i≥1是定义在非线性（resp.次线性）期望空间（Ωi,Hi,（?

）_i）,i≥>1上满足假设的至多可列维独立增量过程,则存在非线性（resp.次线性）期望空间（Ω,H,E）及定义在其上的可列维独立增量过程（Mt1,Mt2,...,Mti,…）t≥0满足:

（?

）进一步,如果（Mti）t≥0,i≥1是至多可列维平稳独立增量过程,则同理可得（Mt1,Mt2…,Mii,…）t≥0也是可列维平稳独立增量过程。

进一步推广到不可列个独立增量过程的乘积空间问题,注意到对角线法则方法在不可列个独立增量过程的乘积空间问题上并不适用,因此无法利用之前的方法得到想用的结论。

因此我们定义上独立增量过程,并进一步给出不可列维上独立增量过程的定义:

给定非线性（resp.次线性）期望空间（Ω,H,E）,X,y分别是其上的m-维和n-维随机向量,称Y上独立于X,若对任给的（?

）φ∈Cb.Lip（Rm×n）,都有给定非线性（resp.次线性）期望空间（Ω,H,E）,（Xt）t≥0为此空间上的d-维随机过程,若对（?

）,都有Xt+s-Xt上独立于（Xt1,...,Xtm）,则称（X不）t≥0为上独立增量过程。

进一步的,若对（?

）t≥0还有（?

）,则称（Xt）t≥0为平稳上独立增量过程。

设（Mtλ）t≥0,λ∈I是非线性（resp.次线性）期望空间（Ω,H,E）上的一族随机过程,其中,I为不可列集。

如果对（?

）都有（Mtλ1,Mtλ2,…,Mtλn）t≥0..,是n-维上独立增量过程,则称（Mtλ）t≥,λ∈为不可列上独立增量过程。

进一步的,若对（?

）,n,都有（Mtλ1,Mtλ2,...,Mtλn...,）t≥0是n-维平稳上独立增量过程,则称（Mtλ）t≥0∈J为不可列平稳上独立增量过程。

给出不可列个独立增量过程的乘积空间的主要定理:

定理0.3.令（Mtλ）t≥0,λ∈I（其中I为不可列集）是一族定义在非线性（resp.次线性）空间（Ωλ,Hλ,Eλ）上的不可列个1-维独立增量过程,满足:

（C1）存在次线性期望Eλ:

Hλ→R分别控制Eλ,λ∈I;（C2）对每个t≥0,Mtλ的分布在Eλ下是胎紧的;对每个t≥0,λ∈I,有（?

）则存在一个非线性（resp.次线性）期望空间（Ω,H,E）,及定义在其上的不可列维上独立增量过程（Mtλ,λ∈I）t≥0满足:

进一步,如果（Atλ）t≥0,λ∈I是1-维平稳独立增量过程,则（Mtλ）t≥0,λ∈I是不可列维平稳上独立增量过程。

（二）BSDE随机控制及不完备市场资产定价本章主要研究带有广义效用泛函的FBSDE随机控制最大值原理问题及不完备市场定价问题。

本章的结果主要出自:

1）GaoQ,YangS.Maximumprincipleforforward-backwardSDEswithageneralcostfunctional.Internationaljournalofcontrol（2016）:

1-7.2）GaoQ,YangS.Pricingofcontingentclaimsinanincompletemarketwithfinitestatestochasticprocessesindiscretetime,CompletedManuscript,1-10.本章主要有以下两部分内容:

1.带有广义效用泛函的FBSDE随机控制最大值原理彭实戈院士（[53],[29]）第一次介绍了由倒向随机微分方程或正倒向随机微分方程驱动的最优控制问题,并得到了很多研究者的进一步推广,如Xu[57],LimandZhou[24],ShiandWu[54]等。

在[29]中,彭院士首次研究了如下正倒向随机微分方程系统的随机最优控制问题:

其效用泛函为:

事实上,上述效用泛函中的h（·）和γ（.）可能不仅仅依赖于终端条件（t=T）和起始条件（t=0）,通常情况下,还会依赖于全局时间条件（t∈[0,T]）.也就是说,效用泛函中h（·）和γ（.）不仅由起始和终端这两个特殊时间点决定,还依赖于更一般的全局时间条件。

在本文中,我们会研究带有如下依赖于全局时间条件的广义效用泛函的正倒向随机系统的随机最大值原理,其中,注意到效用泛函（0.2）是上述广义效用泛函（0.3）的一个特殊形式,也就是说,广义效用泛函（0.3）考虑到了更一般的情况,是对经典随机控制问题的十分有意义的推广,而在本文之前,带有（0.3）形式广义效用泛函的控制系统的最大值原理问题还未被认真研究。

利用Frechet导数的框架,可以构建一系列需要逐步求解的伴随方程,从而推导出相应的最大值原理。

最大的难点在于如何得到对应的伴随方程。

本文利用Riesz表示定理与Frechet导数的框架相结合,使Frechet导数Dxh（x[0,引）和Dxγ（y[0,T]）可以被相对应的有限测度μ和β描述。

将测度μ和β分解为连续部分和跳跃部分,可以构建一系列的伴随方程,并通过逐步解这些伴随方程得到相对应的最大值原理。

并且为了更直观的展示本文研究的带有广义效用泛函的随机控制系统与经典情况的不同,本章最后通过简单的例子进行直观的展示。

本章简要过程如下:

令U为R上的非空凸子集.记u={u（·）∈M2（R）|u（t）∈U,a.e.,a.s.}。

令u（·）是一个最优控制,（x（·）,y（·）,z（·））为对应的轨道,记=u（·）+ρu（·）,0≤ρ≤1,u（·）+w（·）∈u,.因为u是凸的,因此up∈u。

引入变分方程,易知变分方程存在唯一解（∈（·）,η（·）,ζ<（·））,记（xρ（·）,yρ（·）,zρ（·））为所对应的轨道,并进一步可证明其收敛性质。

进而在C（[0,r]）中给出Frehet导数的概念,并在Frechet导数的框架下,对于h（x[0,T]和γ（y[0,T）,利用Riesz表示定理,在[0,T]上分别对应存在唯一有限Borel测度μ和使得（?

）η[0,T]∈C（[0,T]）因为μ和β是[0,T]上的有限测度,至多存在可数的正测度。

将其记作为了得到最大值原理,引入下列形式的伴随方程,需要注意的是,在这种情况下,需要引入一系列伴随方程:

其中μ’（t）是μ（t）的导数,li+是li的右极限,定义p（l1+）=0,其中β’（t）是β（t）的导数,si是si的左极限,定义q（s1）=0.可证存在一组（p（·）,k（·）,q（·））是伴随方程的解。

又因为u（·）是一个最优控制,因此,可得如下变分不等式成立:

如下定义汉密尔顿方程H:

R×R×R×R×[0,r]->R:

H（x,y,z,u,p,k,q,t）=pb（x,u,t）+kσ（x,u,t）+qg（x,y,z,u,t）+f（x,y,z,u,t）相应的可以利用汉密尔顿方程改写伴随方程:

因此可以得到主要定理,定理0.4.假设条件（i）-（iii）成立,今u（·）是一个最优控制并令（x（·）,y（·）,z（·））是相对应的轨道,则有2.不完备市场资产组合定价当市场完备时,每一个衍生品收益都可以被市场中的一个投资组合复制,其价格可以由完备市场无套利理论得出。

而在不完备的市场中的定价问题较为复杂,本文运用随机控制的方式来研究最高价与最低价,利用有限时间有限状态过程下的广义Girsanov变换对未定权益或期权定价。

本文的研究是对[35]中研究的进一步扩展。

任一概率测度被称为一个P-鞅测度,如果在FT上等价于P并且其折现价格过程为鞅。

我们将所有的P-鞅测度记作P。

需要注意的是,在完备市场中,P={Q},其折现过程唯一,存在唯一的自融资策略,定价可以通过无套利原则得出,衍生产品价格可以被基础产品的投资组合复制。

而在不完备市场中,存在多个P-鞅测度,因此并不存在唯一的自融资策略,定价也难以通过无套利推导得出,市场存在多种报价（卖方报价,买方报价）,需要关注的是市场的最大价格和最小价格。

在完备市场中,对于给定的未定权益U,存在y≥0和投资组合策略ω满足如下方程其中y是t=0的无套利价格。

记M（t）=θ（t）+M（t）,则在不完备市场中U存在多种价格,t=0,U的最小价格（下价格）为infP∈PEP（Ud）,U的最大价格（上价格）为suP∈PEP（Ud）.利用最优控制方法我们可以对最小最大价格进行动态研究。

U在时刻t的最大可能价格为J（t）=esssupλ∈（?

）EPλ[Ud|Ft],其中Pλ表示所有满足如下形式的关于P的Girsanov变换的概率测度:

其中,其具有以下性质:

定义过程f（t）:

f（t）=A（t）-j（t）,则f（t）是一个增过程,可得特别的,t=T时,有U在时刻的最小可能价格为K（t）=essinfv（?

）Epv）[Ud|Ft],类似最大价格的推导可知,存在一个投资组合过程φ（t）和一个右连续减过程g（t,g（0）=0满足（三）非线性期望下的SPAN保证金本章研究非线性期望理论在保证金计算中的应用。

本部分结果出自:

高强,杨淑振等.基于市场复杂性的新型保证金计算工具,第四届全国金融期货与期权研究大赛获奖论文（全国一等奖）,1-46,2014.首先介绍了保证金制度和国际主流的保证金计算系统,并对国际上最成熟通用的保证金管理系统SPAN进行了深入分析,介绍了SPAN保证金的计算原理:

其最核心的价格侦测风险模块基于情景模拟法,预估未来标的价格和波动率的变化,将未来市场划分为16种可能情形,分别计算16种情形中的可能损失,取其中的最大值作为最大预期损失,以此制定相应的保证金标准。

此外,SPAN保证金还包括跨月价差风险、交割月风险值、商品间价差折抵、空头期权最低风险值等。

分析SPAN保证金的优缺点,指出其只计算了16种情形,无法涵盖未来市场的多种可能性,并且理论基础是Black-Scholes公式,其假设波动率是一个常数,因此不能估计波动率不确定下的风险。

进一步分析了国际上其他SPAN改进系统的改进原理并利用S&P500股指期权数据对标准SPAN系统（SPAN16）和改进SPAN系统（SPAN-44和SPAN-93）进行了实证分析比较,发现改进的SPAN保证金系统划分了更多种可能情形,在一定程度上更为准确的度量了风险,但是同时也加大了计算量,并且无法解决真实市场中波动率不确定性带来的风险。

接下来介绍非线性期望理论中的三个重要分布:

最大分布,G-正态分布和G-分布,以及对应的三个重要的随机过程:

G-布朗运动,有界变差G-布朗运动和广义G-布朗运动,其增量过程分别服从之前的三种分布,例如G-布朗运动的增量过程服从G-正态分布。

其与金融市场不确定性有着直接的对应关系,G-正态分布、G-布朗运动与方差不确定性（波动率不确定性）直接相关,G-正态分布随机变量可表示为（?

）,Λ描述了X的方差不确定性,在一维情形下,（?

）,其中,（?

）,则方差（波动率）不确定性区间为[σ2,σ2]。

最大分布、有界变差G-布朗运动与均值（收益率）不确定性直接相关,最大分布随机变量可记为（?

）Θ描述了Y的均值不确定性程度,在一维情形下,（?

）,其中,μ=E[X],μ=-E[-X],均值不确定性区间为[μ,μ]。

上面的两个分布可以非平凡地组合为一个新的分布,即G-分布,其对应广义G-布朗运动,与均值-方差不确定性（收益率-波动率不确定性）直接相关。

由此,可以给出如下形式的几何G-布朗运动:

dXs=uXsdηs+σXsdBs,Xt=x,其中ηt,≥0服从最大分布,Bt,t≥0服从G-正态分布,且其终端支付函数为Φ（Xr）。

定义风险为u（t,Xt）:

=E[-Φ（XT）,其中u（t,Xt）为下面偏微分方程的解探讨其计算原理,考虑有界边值问题,通过标准的离散格式离散化上述方程给出上述方程的数值解法,并可以证明牛顿迭代的收敛性及全隐格式的收敛性。

利用非线性期望理论改进SPAN保证金系统,给出波动率不确定性下的SPAN保证金计算方法:

假设标的物（股票或者期货）Xt满足G-期望下的几何布朗运动:

其中Bt,t≥0服从G-正态分布,且E[σ21]=σ2,E[-σ21]=-σ2.其终端支付函数为Φ（Xr）。

定义风险u（t,Xt）:

=E[-Φ（XT）],其中u（t,Xt）为下面偏微分方程的解其中σ2=（（σ+Δσ）2,σ2=（σ2=Δσ）2。

则针对SPAN对于标的价格的可能变化情形:

给出9种可能的变化,其中,波动率的可能变动范围在区间[σt-Δσ,σt+Δσ]内连续取值。

取9种情况的最大值作为最大预期风险,将加入波动率不确定性的SPAN保证金称为G-SPAN-9。

G-SPAN-9下收取保证金为:

其中Pt是t时期的期权价格。

同理,可以给出均值不确定性下的SPAN保证金计算方法和均值-波动率不确定性下的SPAN保证金。

由于篇幅原因,这里只给出均值-波动率不确定性下的SPAN保证金计算方法:

假设股票价格满足下面的随机微分方程dXs=uXsdηs+σXsdBs,X=x,其中ηt满足最大分布,Bt满足G-正态分布,且（?

）（?

）其终端支付函数为Φ（Xr）。

定义风险:

u（t,Xt）:

=E[-Φ（XT）],其中u（t,Xt）为下面偏微分方程的解（?

）（?

）其中（?

）（?

）因此,同时引入均值不确定性和波动率不确定性,只需计算一种情形,即可得到全面涵盖标的价格和波动率连续变化的风险值:

价格变动波动率变动计算比例（?

）其中Δx=PSR,Δσ=VSR。

此时G-期望下收取保证金为:

ρt,T（Φ（XT））=Pt+E[-Φ（XT）]其中Pt是t时期的期权价格。

只需进行一次运算,即可得到涵盖更全面风险的运算结果。

利用S&P500期权数据进行实证分析,可知,利用非线性期望理论改进的G-SPAN保证金不仅运算次数更少,还更全面的考虑了价格和波动率不确定导致的风险,是一种准确快捷稳健的保证金计算方式。

（四）金融市场的不确定性金融市场中的不确定性主要体现有:

金融数据分布的不确定性;金融数据特征描述参数的不确定性;金融数据的模型不确定性。

首先验证金融数据分布的不确定性,正态分布是金融市场中最重要的分布之一,很多金融研究都以正态分布假设为基石。

金融数据分析中,常假设某个时间段内的金融数据服从同一分布,比如最常见的,假设资产收益率服从正态分布,现在我们选取最能代表金融市场数据特征的沪深300股指和相对应的沪深300股指期货数据进行实证检验。

经过实际分析,按一天作为窗口长度进行正态检验,服从正态性假设的天数较少,股指只有不到20%,股指期货只有不到10%。

若按一周为窗口长度进行验证,则服从正态分布的周数少于1%,由此可知,正态分布假设在金融市场中存在较大问题。

实际上,不仅是正态分布假设难以成立,在实际的金融市场中,很难找出一种或者几种不同的分布,来准确描述经济、金融数据的分布。

不同金融数据展现出不同的数据特征,即便是同一金融数据的背后,也可能来源于不同的经济、金融、社会原理的共同作用。

因此,分布不确定性在金融中客观存在。

除了分布的不确定性,描述数据特征的重要参数,比如均值（一阶矩）和方差（波动率、二阶矩）,也存在不确定性,收益率和波动率亦存在相应的不确定性。

分析沪深300股指和沪深300股指期货日收益率的均值和方差,可知其均值方差均存在不确定性,股指期货的变动幅度相较股指的变化更为剧烈,具有更大的不确定性。

均值、方差的不确定性亦客观存在,一段时间内,均值和方差在一个范围内变化,当数据量足够大时,可以认为均值、方差在一个区间内连续变动。

由此可知,金融数据存在分布不确定性和特征参数的不确定性,同一时间段内,同一经济现象所产生的数据,并不来自于同一分布,而是来自于不同分布,或者说,来自于一个不确定的分布族;其特征参数,比如均值和方差,也并不是确定的数值,而是在一个区间内连续变动。

对均值不确定性进行深入研究,计算均值不确定性的变动区间。

针对金融市场中重要的均值回归现象,研究均值不确定性下的均值回归模型。

即均值并不是确定的定值,而是在一个区间内变动。

因此,真正的均值回归,并不是围绕一条均线进行回归,而是围绕均值,在一个均值不确定性区间进行回归。

这个均值不确定性区间,可以看作是合理价格区间,价格在这个区间内波动时,被认为是合理的,当价格偏离上界或下界时,价格会有向合理价格区间回归的趋势。

设资产价格为X,其均值为μ,均值不确定性区间为[μ,μ],在经典均值回归模型中,当X<μ或X>μ时,价格会向μ回