全等三角形解答题.docx

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全等三角形解答题

2014年09月30日1853699508的初中数学组卷

2014年09月30日1853699508的初中数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．（2014•昌宁县二模）如图，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于点O，∠1=∠2，请你添加一个重要条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是　_________　．

2．（2013•张湾区模拟）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

求证：

AE=BD．

3．（2012•重庆模拟）如图，AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE．

求证：

BD=CE．

4．（2012•石景山区二模）已知，如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，∠1=∠2=∠3．

求证：

BC=DE．

5．（2012•长春模拟）已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F，AB=6，求FC的长．

6．（2011•江津区）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

（1）求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

7．（2011•顺义区一模）已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点F．

求证：

BF=AC．

8．（2011•延庆县二模）如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP于点D，BE⊥CP延长线于点E，

求证：

CD=BE．

9．（2001•黄冈）如图，在△MNP中，∠MNP=45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：

HN=PM．

10．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F，求证：

AE=CF．

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、CA边上，且BD=CE，∠DEF=∠ABC．

（1）求证：

△EDB≌△FEC．

（2）若点D、E、F分别在AB、BC、CA边或它们某一方的延长线上（至少一个点在延长线上），其他条件不变，画出一种符合题意的图形，并要求且说明此时

（1）中的结论仍成立．

12．如图，点B在AD上，AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．试判断线段AD和BE的大小和位置关系，并给予证明．

13．

（1）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．

求证：

CD=CG；

（2）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．

若AD=CG，求证：

AB=AC+BH．

14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F为AC边上的一点，连接BF交AD于点E，若∠BED=∠CAD，求证：

AC=BE．

15．在△ABC中和△DBE中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于F，且AB=DE．

（1）观察并猜想，BD与BC有何数量关系？

并证明你猜想的结论．

（2）若BD=8cm，试求AC的长．

16．已知：

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD﹣BE．

17．如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．

求证：

（1）△ABD≌△ACE；

（2）DF=CE．

18．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？

请说明理由．

19．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD．

（1）试说明：

△BDE与△CFD全等的理由；

（2）若∠A=40°，试求∠EDF的度数．

20．已知：

如图，AD平分∠BAC，M是BC的中点，MF∥AD交CA的延长线于F，求证：

BE=CF．

21．已知：

如图，AB与DE相交于M，AC与DF相交于N，AB=AC，DE=DF，AD平分∠BAC．

求证：

AM=AN．

22．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，连接DE，DF，∠EDF=90°，求证：

BE=AF．

23．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：

CF=EH．

24．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE=ED，如果BE=3，AB+BC=11，求AB的长．

25．如图，在△ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD与BE交于点P．

试证：

（1）CD=BE；

（2）∠BPC=90°．

26．已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AB=FD，BC=DE

（1）请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？

（2）若将△ABC沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？

请说明为什么？

27．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：

AD平分∠BAC．

28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=3cm，求BE的长．

29．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．

①若OC=OB，求证：

点O在∠BAC的平分线上．（提示：

连接AO）

②若点O在∠BAC的平分线上，求证：

OC=OB．

30．如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．

求证：

DE=EF．

　7．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：

DE=DF．

10．（2014•十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：

∠B=∠C．

1．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，

求证：

△ABD≌△AEC．

2．（2014•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．

求证：

AB=BF．

10．（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从

（1）中任选一组进行证明．

5．（2013•大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

（1）求证：

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

4．（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求证：

△ABC≌△AED．

8．（2013•湖北）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

解：

．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

解：

1．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．

求证：

△BEC≌△CDA．

解：

6．（2011•襄阳）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB=AC；②AD=AE；③BD=CE．以此三个等式中的

两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：

①②⇒③：

①③⇒②；②③⇒①

（1）以上三个命题是真命题的为______（直接作答）；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

9．（2011•连云港）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？

为什么？

解：

10．（2011•德州）如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证：

AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

解：

4．（2011•牡丹江）在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

不需要证明，请直接写出你的猜想：

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

6．（2011•内江）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证

明你的猜想

．7．（2011•江津区）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

（1）求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

解：

7．（2010•南宁）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

（2）求证：

CF=EF．

解：

8．（2010•丽江）如图，OP平分∠AOB，且OA=OB．

（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：

不添加任何辅助线）；

（2）从

（1）中任选一个结论进行证明．

解：

2．（2010•西宁）

（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？

若可行，请证明；若不可行，请说明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？

请说明理由．

解：

3．（2010•金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．

（1）你添加的条件是：

______；

（2）证明：

解：

6．（2010•达州）如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？

若有，请找出并证明．

解：

8．（2010•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．

解：

8．（2009•赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：

CA是∠DCF的平分线．

解：

10．（2009•包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿

△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

4．（2009•沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：

AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在

（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为

（1）中猜想的结论还成立吗？

若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

10．（2009•北京）已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．

求证：

AB=FC．

解：

7．（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

一．解答题（共18小题）

1．如图所示：

AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．

（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：

　_________　．

（2）试证明你的猜想．

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程．

2．如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．

（1）证明∠BED=∠C

（2）线段BE和AC有什么位置关系？

证明你的结论．

3．已知如图AD为△ABC上的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF=AC，FD=CD．

求证：

∠C=∠AFE．

4．如图，A、D、B三点在同一直线上，△ADC、△BDO均为等腰三角形，∠ADC和∠BDO是直角，试猜想AO、BC的大小关系和位置关系？

并证明你的结论．

5．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．

求证：

（1）AE=CF；

（2）S四边形AEPF=

S△ABC．

6．如图，△ABC的两条高AD、BE相交于H，且AD=BD，试说明下列结论成立的理由．

（1）∠DBH=∠DAC；

（2）BH=AC；

（3）如果BC=14，AH=2，AC=10，求HE的长度．

7．如图，已知D为BC的中点，∠BOF=∠CAE，CE⊥AD，BF⊥AD，求证：

AO=2DE．

8．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°

求证：

2AE=AB+AD．

9．已知△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．

求证：

AB=AC+CD．

10．

（1）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且EB=FC．求证：

DB=DC．

（2）观察△ACD与△ABD的相等的角和边，由此你可以得到什么结论？

11．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

12．如图，△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE．试判断∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由．

13．如图AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C．求证：

AD+BC=AB．

14．如图，△ABC中，AB⊥BC，AD⊥BD，CE⊥BD，AB=BC，若CE=6，AD=2，求DE的长．

15．两块大小不等的等腰直角三角板如图①所示拼在一起，图②是由它抽象出来的几何图形，点A、C、E在同一直线上，连接AB、BE．

（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得出现未标识的字母）；

（2）求证：

AD⊥BE．

16．先阅读下面材料，再解答所提出的问题

老师在给同学们作已知角的平分线：

已知：

∠AOB．

求作：

射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：

①以O为圆心，适当长为半径画弧交OA于点M，交OB于点N（如图）；

②分别以M、N为圆心，都以不小于

MN长为半径画弧，两弧交于点C；

③作射线OC．

则射线OC就是∠AOB的平分线．

根据老师的作法，想一想，射线OC为什么是∠AOB的平分线，请你运用学过的知识给以证明．

17．阅读下题的两个解答过程，然后回答问题：

如图，已知AD与BC交于点O，且PC=PD，OA=OB，∠A=∠B．

求证：

OP平分∠APB．

（解法一）证明：

在△POA和△POB中，

，∴△POA≌△POB（SAS）

∴∠OPA=∠OPB即OP平分∠APB

（解法二）证明：

∵PC=PD…①

∴PC+AC=PD+BD即PA=PB…②

在△POA和△POB中

…③∴△POA≌△POB（SSS）…④∴∠OPA=∠OPB即OP平分∠APB…⑤

问题：

（1）解法一：

　_________　（填“正确”或“错误”），若是错误的，请你简述错误的原因　_________　；若正确，第二个空格不用回答．

（2）解法二：

　_________　（填“正确”或“错误”），若正确，本题到此结束；

若不正确，在第　_________　步开始出错，错误原因是　_________　．

（3）请对解法二进行更正，或者写出其它正确的解法也可．

18．如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD，BC于点F，G．图中哪个三角形与△FAD全等？

请你找出来并说明全等的理由．

2014年09月30日1853699508的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2014•昌宁县二模）如图，在△ABC和△ABD中，AD和BC交于点O，∠1=∠2，请你添加一个重要条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明．你添加的条件是　∠C=∠D　．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

开放型．

分析：

添加的条件是∠C=∠D，根据AAS推出△ABC≌△DAB，根据全等三角形的性质推出即可．

解答：

添加的条件是∠C=∠D，

证明：

∵在△ABC和△DAB中

，

∴△ABC≌△DAB（AAS），

∴AC=BD，

故答案为：

∠C=∠D

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：

全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．

2．（2013•张湾区模拟）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．

求证：

AE=BD．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题；压轴题．

分析：

要证AE=BD，经过观察分析我们可以将这两条线段放在三角形ACE和三角形BCD中，证其全等即可．首先我们根据△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，得出两对对应边的相等，然后又根据∠ACB=∠ECD，都减去中间的公共角ACD再得一对对应角的相等，根据SAS证三角形ACE和三角形BCD的全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：

证明：

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，

∴EC=CD，AC=CB，

∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．

∴∠ACE=∠BCD．

∴△ACE≌△BCD．

∴AE=BD．

点评：

解此题时要充分利用等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的证明以及对全等三角形的性质的理解掌握．

3．（2012•重庆模拟）如图，AB=AC，∠BAC=∠DAE，AD=AE．

求证：

BD=CE．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

分析：

求出∠BAD=∠EAC，根据SAS证△BAD≌△EAC，根据全等三角形的性质推出即可．

解答：

证明：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠EAC，

在△BAD和△EAC中

，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴BD=EC．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．

4．（2012•石景山区二模）已知，如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，∠1=∠2=∠3．

求证：

BC=DE．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

分析：

根据∠1=∠2，求出∠BAC=∠DAE，根据∠DFC=∠AFE，∠3=∠1，求出∠C=∠E，根据AAS证△ABC≌△ADE即可．

解答：

证明：

∵∠1=∠2=∠3，

∴∠2+∠DAC=∠1+∠DAC，

∴∠BAC=∠DAE，

又∵∠DFC=∠AFE，∠3=∠1，

∴由三角形的内角和定理得：

∠C=∠E，

∵在△ABC和△ADE中

，

∴△ABC≌△ADE（AAS），

∴BC=DE．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出证明△ABC和△ADE全等的三个条件，题目比较典型，难度适中．

5．（2012•长春模拟）已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F，AB=6，求FC的长．

考点：