学年新教材高中数学 第五章 统计与概率 531 样本空间与事件学案 新人教B版必修第二册.docx

学年新教材高中数学 第五章 统计与概率 531 样本空间与事件学案 新人教B版必修第二册.docx

《学年新教材高中数学 第五章 统计与概率 531 样本空间与事件学案 新人教B版必修第二册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年新教材高中数学 第五章 统计与概率 531 样本空间与事件学案 新人教B版必修第二册.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年新教材高中数学第五章统计与概率531样本空间与事件学案新人教B版必修第二册

5．3.1　样本空间与事件

考点

学习目标

核心素养

事件

了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件

数学抽象

样本空间

理解样本点的定义，会求试验中的样本空间以及事件A包含的样本点的个数

数学抽象、数学运算

问题导学

预习教材P93－P97的内容，思考以下问题：

1．必然现象和随机现象是如何定义的？

2．事件分为哪三类？

3．样本点和样本空间是如何定义的？

1．样本点与样本空间

（1）必然现象与随机现象

现象

条件

特征

必然现象

在一定条件下

发生的结果事先能确定的现象

随机现象

发生的结果事先不能确定的现象

（2）样本点：

随机试验中每一种可能出现的结果．

（3）样本空间

①定义：

由所有样本点组成的集合称为样本空间．

②表示：

样本空间常用大写希腊字母Ω表示．

2．随机事件

（1）如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：

若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生．

（2）每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．

（3）一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．

3．随机事件的概率

事件发生的可能性大小可以用该事件的概率来衡量，概率越大代表越有可能发生．事件A的概率通常用P（A）表示．不可能事件∅的概率规定为0，必然事件Ω的概率规定为1，即P（∅）＝0，P（Ω）＝1.

对任意事件A，P（A）应该满足不等式0≤P（A）≤1．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）三角形的内角和为180°是必然事件．（　　）

（2）“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．（　　）

（3）“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）√

下列现象是必然现象的是（　　）

A．一天中进入某超市的顾客人数

B．一顾客在超市中购买的商品数

C．一颗麦穗上长着的麦粒数

D．早晨太阳从东方升起

解析：

选D.只有D是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次发生的结果不一定相同．

下列事件：

①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③下周六是晴天．

其中，是随机事件的是（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．②

解析：

选B.①是必然事件，②③是随机事件．

从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________．

答案：

{ab，ac，ad，bc，bd，cd}

样本点与样本空间

　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？

【解】　

（1）试验的样本空间Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．

（2）样本点的总数是8.

（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：

（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）．

[变问法]在例题条件下，写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点．

解：

“恰有一枚正面向上”包含3个样本点，分别是：

（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）．

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件；

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．　

　一个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取两球．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点总数；

（3）写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点．

解：

（1）Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}．

（2）样本点总数为10.

（3）“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为（1，5），（2，4）．

事件类型的判断

　判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．

（1）“抛一石块，下落”；

（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

（3）“某人射击一次，中靶”；

（4）“如果a＞b，那么a－b＞0”；

（5）“掷一枚硬币，出现正面”；

（6）“导体通电后，发热”；

（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

（9）“没有水分，种子能发芽”；

（10）“在常温下，焊锡熔化”．

【解】　事件

（1）（4）（6）是必然事件；事件

（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件．

要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　

　下列事件中的随机事件为（　　）

A．若a，b，c都是实数，则a（bc）＝（ab）c

B．没有水和空气，人也可以生存下去

C．抛掷一枚硬币，反面向上

D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

解析：

选C.A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．

随机事件的概率

　做掷红、蓝两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．

（1）写出这个试验的所有可能的结果；

（2）求这个试验共有多少种不同的结果；

（3）写出事件“出现的点数之和大于8”包含的结果；

（4）写出事件“出现的点数相同”包含的结果；

（5）记“出现的点数之和大于8”为A，记“出现的点数相同”为B，从直观上判断P（A）与P（B）的大小．

【解】　

（1）这个试验所有可能的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．

（2）由

（1）知这个试验不同的结果共有36种．

（3）事件“出现的点数之和大于8”包含的结果为（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）．

（4）事件“出现的点数相同”包含的结果为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）．

（5）事件A出现了10次，事件B出现了6次，故P（A）＞P（B）．

概率的性质

（1）范围：

任何事件A的概率P（A）∈[0，1]．

（2）必然事件的概率P（Ω）＝1.

（3）不可能事件的概率P（∅）＝0.　

　（2019·河南郑州一中期末）下列结论正确的是（　　）

A．事件A发生的概率P（A）的值满足0＜P（A）＜1

B．若P（A）＝0.999，则A为必然事件

C．灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，是合格品的可能性是99%

D．若P（A）＝0.001，则A为不可能事件

解析：

选C.由事件发生的概率的基本性质，可知事件A的概率P（A）的值满足0≤P（A）≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；不可能事件的概率为0，故D错误．故选C.

1．下列现象：

①当x是实数时，x－|x|＝2；

②某班一次数学测试，及格率低于75%；

③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；

④体育彩票某期的特等奖号码．

其中是随机现象的是（　　）

A．①②③B．①③④

C．②③④D．①②④

解析：

选C.由随机现象的定义知②③④正确．

2．下列事件中，是不可能事件的是（　　）

A．三角形的内角和为180°

B．三角形中大角对大边，小角对小边

C．锐角三角形中两内角和小于90°

D．三角形中任意两边之和大于第三边

解析：

选C.锐角三角形中两内角和大于90°.

3．同时投掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选D.有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）共6个样本点．

4．甲、乙两人做出拳游戏（锤、剪、布）．

（1）写出样本空间；

（2）写出事件“甲赢”；

（3）写出事件“平局”．

解：

（1）用（锤、剪）表示甲出锤，乙出剪，其他的样本点用类似方法表示，则Ω＝{（锤，剪），（锤，布），（锤，锤），（剪，锤），（剪，剪），（剪，布），（布，锤），（布，剪），（布，布）}．

（2）记“甲赢”为事件A，则A＝{（锤，剪），（剪，布），（布，锤）}．

（3）记“平局”为事件B，则B＝{（锤，锤），（剪，剪），（布，布）}．

[A　基础达标]

1．下列现象中，是随机现象的有（　　）

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；

②若a为整数，则a＋1为整数；

③发射一颗炮弹，命中目标；

④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．

A．1个　　　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

选C.当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然现象，其余3个均为随机现象．

2．有下列事件：

①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在1℃结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．

其中是随机事件的有（　　）

A．①②B．①④

C．①③④D．②④

解析：

选B.①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．

3．下列事件是必然事件的是（　　）

A．明天太阳从西边升起

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C．实心铁球会沉入水底

D．抛一枚硬币，正面朝上

解析：

选C.A是不可能事件，B是随机事件，C是必然事件，D是随机事件．

4．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

选C.该生选报的所有可能情况是：

（数学和计算机），（数学和航空模型），（计算机和航空模型），所以样本点有3个．

5．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有（　　）

A．6种B．12种

C．24种D．36种

解析：

选D.试验的全部结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种．

6．写出下列试验的样本空间：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________；

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________.

解析：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）可能有三种：

胜，平，负，所以Ω＝{胜，平，负}．

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0，1，2，3，4，

所以Ω＝{0，1，2，3，4}．

答案：

（1）Ω＝{胜，平，负}　

（2）Ω＝{0，1，2，3，4}

7．投掷两枚骰子，点数之和为8所含的样本点有______种．

解析：

样本点为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5种．

答案：

5

8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．

解析：

从1，2，3，…，10中任意选一个数，所得到的数可能是从1到10中的任意一个数，所以这个试验的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，“它是偶数”这一事件包含的样本点有5个，分别为2，4，6，8，10.

答案：

Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5

9．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别标有号码1，2，3，4，5.从中任取一个，记下号数后放回，再取出1个，记下号数后放回，按顺序记录为（x，y），试写出“所得两球的和为6”所包含的样本点．

解：

由图可直观地看出，“所得两球的和为6”包含以下5个样本点：

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．

10．指出下列试验的结果：

（1）从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；

（2）从1，3，6，10四个数中任取两个数（不重复）作差．

解：

（1）结果：

红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．

（2）结果：

1－3＝－2，3－1＝2，

1－6＝－5，3－6＝－3，

1－10＝－9，3－10＝－7，

6－1＝5，10－1＝9，

6－3＝3，10－3＝7，

6－10＝－4，10－6＝4.

即试验的结果为：

－2，2，－5，－3，－9，－7，5，9，3，7，－4，4.

[B　能力提升]

11．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是（　　）

A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”

C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”

解析：

选B.“出现2点”这个事件发生，因为2为偶数，故“出现偶数点”这一事件发生．

12．下列现象是必然现象的是（　　）

A．某路口单位时间内通过的车辆数

B．n边形的内角和为（n－2）·180°

C．某同学竞选学生会主席成功

D．一名篮球运动员每场比赛所得的分数

解析：

选B.A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．

13．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为________．

解析：

至少需摸完黑球和白球共15个．

答案：

16

14．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．

（1）写出这个试验的样本空间；

（2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？

“x<3且y>1”呢？

（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？

“x＝y”呢？

解：

（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．

（2）样本点的总数为16.

（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．

（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：

（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含以下4个样本点：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．

[C　拓展探究]

15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．

（1）写出该事件的样本空间Ω；

（2）写出事件A、事件B包含的样本点；

（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？

解：

（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．

（2）A＝S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10；

B＝S7，S8，S9，S10.

（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45（种）．