851 直线与直线平行.docx
《851 直线与直线平行.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《851 直线与直线平行.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![851 直线与直线平行.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-4/16/86d831cf-2095-423e-8593-2b1900ad1616/86d831cf-2095-423e-8593-2b1900ad16161.gif)
851直线与直线平行
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
学习目标
1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
知识点一 基本事实4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
知识点二 空间等角定理
1.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考 如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?
答案 不一定,这两条直线可能相交、平行或异面.
1.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.( √ )
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等.( × )
3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条也与这条直线垂直.( √ )
4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
( √ )
一、基本事实4的应用
例1
(1)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:
EE′∥FF′.
证明 ∵E,E′分别是AB,A′B′的中点,
∴BE∥B′E′,且BE=B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形,
∴EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:
BFD1E是平行四边形.
证明 如图所示,取BB1的中点G,连接GC1,GE.
因为F为CC1的中点,
所以BG∥FC1,
且BG=FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1,BF=GC1,
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,
A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1,ED1=GC1,
所以BF∥ED1,BF=ED1,
所以四边形BFD1E是平行四边形.
反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1 如图,在三棱锥P-ABC中,G,H分别为PB,PC的中点,M,N分别为△PAB,△PAC的重心,且△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,求证:
GH∥MN.
证明 如图,取PA的中点Q,连接BQ,CQ,则M,N分别在BQ,CQ上.
∵M,N分别为△PAB,△PAC的重心,
∴
=
=
,则MN∥BC.
又G,H分别为PB,PC的中点,
∴GH∥BC,∴GH∥MN.
二、等角定理的应用
例2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.
求证:
∠BGC=∠FD1E.
证明 因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,
所以CE∥GD1,CE=GD1,BF∥GD1,BF=GD1,
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E,GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
反思感悟 等角定理的结论是相等或互补,在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补,还是两种情况都有可能.
跟踪训练2 如图,已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
证明
(1)如图,连结AC,在△ACD中,
∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,且MN=
AC.
由正方体的性质,得
AC∥A1C1,且AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=
A1C1,
即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由
(1)可知,MN∥A1C1.
又ND∥A1D1,且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同,∴∠DNM=∠D1A1C1.
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
答案 D
解析 可能相交也可能异面,但一定不平行(否则与条件矛盾).
2.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则有( )
A.∠BAC=∠B′A′C′
B.∠BAC+∠B′A′C′=180°
C.∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°
D.∠BAC+∠B′A′C′=90°
答案 C
解析 由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行,所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.
3.如图,空间四边形ABCD的对角线AC,BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是( )
A.矩形B.正方形
C.菱形D.空间四边形
答案 C
解析 利用E,F,G,H分别为各边中点,可得这个四边形是平行四边形,再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.
4.两等角的一组对应边平行,则( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
答案 D
解析 另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补)的区别.
5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )
A.全等B.不相似
C.仅有一个角相等D.相似
答案 D
解析 由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,故选D.
1.知识清单:
(1)基本事实4的应用.
(2)等角定理的应用.
2.方法归纳:
转化思想.
3.常见误区:
用等角定理时,角度有可能相等或互补.
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案 D
2.不平行的两条直线的位置关系是( )
A.相交B.异面
C.平行D.相交或异面
答案 D
3.如图所示,在长方体木块AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.3条B.4条C.5条D.6条
答案 B
解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
4.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )
A.一定平行B.一定垂直
C.一定是异面直线D.一定相交
答案 B
解析 ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
5.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面B.相交或异面
C.异面D.相交
答案 B
解析 假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),c与b可能相交或异面.
6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
答案 0条或1条
解析 以如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l,过l外的两点A,B可以作一条直线与l平行,过l外的两点B,C不能作直线与l平行.
7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M,N,P,Q,则四边形MNPQ是________.
答案 矩形
解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是四条边的中点,
∴MN∥AC,且MN=
AC,
PQ∥AC,且PQ=
AC,
∴MN∥PQ,且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形,
又∵AC⊥BD,NP∥BD,
∴PQ⊥NP,
∴四边形MNPQ是矩形.
8.如图所示,两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且
=
=
=
,则
=________.
答案
解析 如图,
=
=
=
,
可证AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′.
由等角定理∠CAB=∠C′A′B′,∠ACB=∠A′C′B′,
∴△ABC∽△A′B′C′,
∴
=
.
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?
并说明理由.
解 如图所示,在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
10.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:
四边形EFGH为平行四边形.
证明 ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,
∴EF∥AB且EF=
(AB+CD),
又C′D′∥EF,EF∥AB,∴C′D′∥AB.
∵G,H分别为AD′,BC′的中点,
∴GH∥AB且GH=
(AB+C′D′)=
(AB+CD),
∴GH∥EF且GH=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形.
11.若直线a,b与直线l所成的角相等,则a,b的位置关系是( )
A.异面B.平行
C.相交D.相交、平行、异面均可能
答案 D
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交B.异面C.平行D.垂直
答案 C
解析 如图,连接AD1,CD1,AC,
则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.
13.(多选)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下结论正确的是( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
答案 CD
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故AB错误;CD正确.
14.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若
=
=
,
=
=
,则四边形EFGH的形状为________.
答案 梯形
解析 如图,
在△ABD中,∵
=
=
,
∴EH∥BD且EH=
BD.
在△BCD中,∵
=
=
,
∴FG∥BD且FG=
BD,∴EH∥FG且EH>FG,
∴四边形EFGH为梯形.
15.如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN≥
(AC+BD)B.MN≤
(AC+BD)
C.MN=
(AC+BD)D.MN<
(AC+BD)
答案 D
解析 如图所示,取BC的中点E,连接ME,NE,则ME=
AC,NE=
BD,
所以ME+NE=
(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>MN,
所以MN<
(AC+BD).
16.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:
E,F,G,H四点共面;
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?
(3)在
(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明:
EG=FH.
(1)证明 ∵AE∶EB=AH∶HD,∴EH∥BD.
又∵CF∶FB=CG∶GD,∴FG∥DB.
∴EH∥FG.∴E,F,G,H四点共面.
(2)解 当且仅当EH∥FG且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.
∵
=
=
,∴EH=
BD.
同理FG=
BD,由EH=FG,得m=n.
故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.
(3)证明 当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,∴EF∥AC.
又∵AC⊥BD,EH∥BD,
∴∠FEH=90°,从而平行四边形EFGH为矩形,
∴EG=FH.