851 直线与直线平行.docx
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851直线与直线平行
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
学习目标
1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
知识点一 基本事实4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
知识点二 空间等角定理
1.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？
答案 不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.
1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.（ √ ）
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.（ × ）
3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.（ √ ）
4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.
（ √ ）
一、基本事实4的应用
例1
（1）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：
EE′∥FF′.
证明 ∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，
∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形，
∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
（2）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：
BFD1E是平行四边形.
证明 如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，
且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形.
反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1 如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：
GH∥MN.
证明 如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上.
∵M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
∴
＝
＝
，则MN∥BC.
又G，H分别为PB，PC的中点，
∴GH∥BC，∴GH∥MN.
二、等角定理的应用
例2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.
求证：
∠BGC＝∠FD1E.
证明 因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
反思感悟 等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM＝∠D1A1C1.
证明
（1）如图，连结AC，在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，且MN＝
AC.
由正方体的性质，得
AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝
A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
（2）由
（1）可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）
A.一定平行B.一定相交
C.一定异面D.相交或异面
答案 D
解析 可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.
2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有（ ）
A.∠BAC＝∠B′A′C′
B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
答案 C
解析 由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.
3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（ ）
A.矩形B.正方形
C.菱形D.空间四边形
答案 C
解析 利用E，F，G，H分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.
4.两等角的一组对应边平行，则（ ）
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
答案 D
解析 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理（若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补）的区别.
5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）
A.全等B.不相似
C.仅有一个角相等D.相似
答案 D
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
1.知识清单：
（1）基本事实4的应用.
（2）等角定理的应用.
2.方法归纳：
转化思想.
3.常见误区：
用等角定理时，角度有可能相等或互补.
1.空间两条互相平行的直线指的是（ ）
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案 D
2.不平行的两条直线的位置关系是（ ）
A.相交B.异面
C.平行D.相交或异面
答案 D
3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A.3条B.4条C.5条D.6条
答案 B
解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
4.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）
A.一定平行B.一定垂直
C.一定是异面直线D.一定相交
答案 B
解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行或异面B.相交或异面
C.异面D.相交
答案 B
解析 假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行（否则c∥b，则有a∥b，矛盾），c与b可能相交或异面.
6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________.
答案 0条或1条
解析 以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行.
7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.
答案 矩形
解析 如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝
AC，
PQ∥AC，且PQ＝
AC，
∴MN∥PQ，且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
又∵AC⊥BD，NP∥BD，
∴PQ⊥NP，
∴四边形MNPQ是矩形.
8.如图所示，两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且
＝
＝
＝
，则
＝________.
答案
解析 如图，
＝
＝
＝
，
可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.
由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴
＝
.
9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？
并说明理由.
解 如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：
因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：
四边形EFGH为平行四边形.
证明 ∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝
（AB＋CD），
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝
（AB＋C′D′）＝
（AB＋CD），
∴GH∥EF且GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形.
11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是（ ）
A.异面B.平行
C.相交D.相交、平行、异面均可能
答案 D
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（ ）
A.相交B.异面C.平行D.垂直
答案 C
解析 如图，连接AD1，CD1，AC，
则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.
13.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下结论正确的是（ ）
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
答案 CD
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故AB错误；CD正确.
14.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若
＝
＝
，
＝
＝
，则四边形EFGH的形状为________.
答案 梯形
解析 如图，
在△ABD中，∵
＝
＝
，
∴EH∥BD且EH＝
BD.
在△BCD中，∵
＝
＝
，
∴FG∥BD且FG＝
BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形.
15.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.MN≥
（AC＋BD）B.MN≤
（AC＋BD）
C.MN＝
（AC＋BD）D.MN<
（AC＋BD）
答案 D
解析 如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝
AC，NE＝
BD，
所以ME＋NE＝
（AC＋BD）.
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
所以MN<
（AC＋BD）.
16.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
（1）证明：
E，F，G，H四点共面；
（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
（3）在
（2）的条件下，若AC⊥BD，试证明：
EG＝FH.
（1）证明 ∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD.
又∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥DB.
∴EH∥FG.∴E，F，G，H四点共面.
（2）解 当且仅当EH∥FG且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形.
∵
＝
＝
，∴EH＝
BD.
同理FG＝
BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形.
（3）证明 当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，∴EF∥AC.
又∵AC⊥BD，EH∥BD，
∴∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，
∴EG＝FH.
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