高考数学考点通关练第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例试题理.docx
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高考数学考点通关练第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例试题理
考点测试67 变量间的相关关系与统计案例
一、基础小题
1．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）
A.＝－2x＋100B.＝2x＋100
C.＝－2x－100D.＝2x－100
答案 A
解析 B、D为正相关，C中值恒为负，不符合题意．
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
答案 B
解析 ∵＝－＝－9.4×＝9.1，∴回归方程为＝9.4x＋9.1.令x＝6，得＝9.4×6＋9.1＝65.5（万元）．
3．设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
答案 D
解析 由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本点中心（，），因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，故C正确．当某女生的身高为170cm时，其体重估计值是58.79kg，而不是具体值，因此D不正确．
4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0C.D．1
答案 D
解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi＝i，代入相关系数公式r＝＝1.
5.设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）
A．直线l过点（，）
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
答案 A
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误；D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误；根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确．
6．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：
说谎
不说谎
合计
男
6
7
13
女
8
9
17
合计
14
16
30
根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是（ ）
A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关
答案 D
解析 由于K2＝≈0.0024，由于K2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.
7.如图所示，有5组（x，y）数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．
答案 D
解析 由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.
8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2＝________.
根据表中所给的数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有差别？
________________________________________________________________________.
答案 1.779 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
解析 根据列联表中的数据，
可以求得K2＝≈1.779，而K2<2.072，
所以我们不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
二、高考小题
9．[2015·全国卷Ⅱ]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D
解析 由柱形图，知2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势，故其排放量与年份负相关，故D错误．
10．[2015·福建高考]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（ ）
A．11.4万元B．11.8万元
C．12.0万元D．12.2万元
答案 B
解析 ∵＝＝10，
＝＝8，
∴＝－0.76＝8－0.76×10＝0.4，
∴＝0.76x＋0.4.
当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8.
11．[2014·江西高考]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩B．视力C．智商D．阅读量
答案 D
解析 根据K2＝，代入题中数据计算得
表1：
K2＝≈0.009；
表2：
K2＝≈1.769；
表3：
K2＝≈1.3；
表4：
K2＝≈23.48.
∵D选项K2最大，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D.
12．[2014·湖北高考]根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则（ ）
A．a>0，b>0B．a>0，b<0
C．a<0，b>0D．a<0，b<0
答案 B
解析 把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图，由图可知b<0，a>0.故选B.
13．[2014·重庆高考]已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A.＝0.4x＋2.3B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5D.＝－0.3x＋4.4
答案 A
解析 由变量x与y正相关知C、D均错，又回归直线经过样本中心（3,3.5），代入验证得A正确，B错误．故选A.
三、模拟小题
14．[2017·大连双基测试]已知x，y的取值如表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x线性相关，且线性回归方程为＝x＋，则的值为（ ）
A．－B.C．－D.
答案 A
解析 将＝3，＝5代入到＝x＋中，得＝－.故选A.
15．[2016·兰州、张掖联考]对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，8），其回归直线方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2（y1＋y2＋y3＋…＋y8）＝6，则实数的值是（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 依题意可知样本中心点为，则＝×＋a，解得＝.
16．[2016·漳州二模]下列说法错误的是（ ）
A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定
B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
答案 B
解析 对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，∴A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；对于D，在回归分析中，用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，说明模型拟合的效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，D正确．故选B.
17．[2017·温州月考]为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：
“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：
①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是________．
答案 ①
解析 根据查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．
18．[2016·兰州一模]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：
千元）与月储蓄yi（单位：
千元）的数据资料，计算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为＝x＋，则变量x与y________（填“正相关”或“负相关”）；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．
答案 正相关 1.7
解析 由题意，知n＝10，＝i＝8，＝i＝2，∴＝＝0.3，＝2－0.3×8＝－0.4，
∴＝0.3x－0.4，∵0.3>0，∴变量x与y正相关．当x＝7时，＝0.3×7－0.4＝1.7（千元）．
一、高考大题
1．[2016·全国卷Ⅲ]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi＝9.32，tiyi＝40.17,＝0.55，≈2.646.
参考公式：
相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
解
（1）由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，（ti－）2＝28,＝0.55，
（ti－）（yi－）＝tiyi－yi
＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）由＝≈1.331及
（1）得＝＝≈0.103，
＝－＝1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
2．[2015·全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1,2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi－）2
（wi－）2
（xi－）（yi－）
（wi－）（yi－）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi＝，＝wi.
（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据
（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据
（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
解
（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
（3）①由
（2），知当x＝49时，年销售量y的预报值
＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据
（2）的结果，知年利润z的预报值
＝0.2×（100.6＋68）－x＝－x＋13.6＋20.12，
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值，
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
二、模拟大题
3．[2016·石家庄模拟]班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：
在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系．
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解
（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩
电脑游戏
10
2
12
不喜欢玩
电脑游戏
3
7
10
总计
13
9
22
（2）K2＝≈6.418，
∵3.841<6.418，
∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．
4．[2016·广东模拟]2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：
生二胎
不生二胎
合计
70后
30
15
45
80后
45
10
55
合计
75
25
100
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d
参考数据：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解
（1）由已知得70后“生二胎”的概率为，
并且X～B，
所以P（X＝k）＝Ck3－k（k＝0,1,2,3），
其分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以E（X）＝3×＝2.
（2）K2＝
＝
＝≈3.030>2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
5．[2017·成都诊断]PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量x（万辆）
100
102
108
114
116
浓度y（微克/立方米）
78
80
84
88
90
（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y与x的线性回归方程；
（2）若周六同一时段车流量是200万辆，试根据
（1）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？
参考公式：
＝，＝－·.
解
（1）由条件可知＝i＝＝108，
＝i＝＝84，
（xi－）（yi－）＝（－8）×（－6）＋（－6）×（－4）＋0×0＋6×4＋8×6＝144，
（xi－）2＝（－8）2＋（－6）2＋02＋62＋82＝200，
＝＝＝0.72，
＝－＝84－0.72×108＝6.24，
故y关于x的线性回归方程为＝0.72x＋6.24.
（2）当x＝200时，＝0.72×200＋6.24＝150.24.
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．
6．[2017·厦门质检]某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年薪（万元）
3
3.5
4
5
5.5
6.5
7
7.5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少．
附：
线性回归方程＝x＋中系数计算公式＝，＝－，其中，表示样本均值．
解
（1）平均值为10万元，中位数为6万元．
（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，所以从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，ξ的可能取值为0,1,2.
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.
（3）设xi，yi（i＝1,2,3,4）分别表示工作年限及相应年薪，则＝2.5，＝5，
（xi－）2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，
（xi－）（yi－）＝－1.5×（－2）＋（－0.5）×（－0.8）＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，
＝＝＝1.4，
＝－＝5－1.4×2.5＝1.5，
所以线性回归方程为＝1.4x＋1.5.
当x＝5时，＝8.5.
故可预测该员工第五年的年薪为8.5万元．
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