矩形的判定.docx
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矩形的判定
矩形的判定
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矩形的判定
矩形的判定方法：
（1）三个角都是直角的四边形是矩形;
（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（３）两条对角线相等的平行四边形是矩形；（4） 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形
0１ 基础题
知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形
2.如图,在△ＡBC中,AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ＡDＢE是平行四边形,求证：
四边形ADBE是矩形．
3．（2016·内江）如图所示,△ABＣ中，D是BC边上一点，E是ＡD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于Ｆ,且AF=BD,连接BF．
（1）求证：
Ｄ是BC的中点;
（２）若AB=AC，试判断四边形ＡFＢD的形状，并证明你的结论．
知识点2对角线相等的平行四边形是矩形
4．能判断四边形是矩形的条件是（ ）
A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等 D.两条对角线互相垂直
５.如图，四边形AＢCD的对角线AＣ,ＢD相交于点O,AD∥BC,AＣ＝ＢＤ.试添加一个条件答案不唯一，如：
AB∥CD,使四边形AＢCＤ为矩形.
6.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，点E,Ｆ,Ｇ，H分别是AO，BO,ＣO，ＤO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗?
请说明理由.
知识点３ 有三个角是直角的四边形是矩形
7．已知Ｏ为四边形ＡＢCD对角线的交点，下列条件能使四边形ＡＢＣＤ成为矩形的是（ ）
A．ＯA＝ＯC,OB＝ODB.AC=ＢD
C.AＣ⊥BD D．∠AＢC＝∠BＣＤ=∠CDA＝90°
８．已知：
如图，在▱AＢCＤ中，AＦ,BH，ＣH,ＤＦ分别是∠BAD,∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线.求证:
四边形ＥFＧＨ为矩形.
０2中档题
９．以下条件不能判定四边形AＢＣD是矩形的是（）
A.ＡB=CD，AD＝BC，∠A＝90° B．ＯA=OB＝OC=OD
C．ＡB=ＣD,AB∥ＣD,AＣ＝BD Ｄ.AＢ＝ＣD，ＡB∥CＤ，ＯA＝OC,OＢ＝OD
10．（2016·菏泽）在▱ABCD中,AB=3，BC=4,当▱AＢCD的面积最大时，下列结论：
①AC=5;②∠A＋∠C＝180°；③AＣ⊥BD；④AＣ＝BD，正确的有（ ）
A．①②③ ﻩﻩＢ．①②④ C．②③④ﻩＤ.①③④
11.如图，△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，Ｆ，BＥ⊥DＦ交DＦ的延长线于点E，已知∠Ａ=30°,ＢC=2，ＡF＝ＢF，则四边形ＢＣDE的面积是（ ）
Ａ．2ﻩﻩ Ｂ．3
C.4ﻩD．4
12．如图，在四边形AＢCD中,对角线AC⊥BD，垂足为O,点E,F,G,H分别为边ＡD，AB,BC,ＣＤ的中点．若AC=８BＤ=6，则四边形EFGH的面积为 .
13.如图,四边形ABCD中，AＢ∥DＣ,∠Ｂ=９0°，F为DC上一点,且FＣ=AB,Ｅ为AD上一点，ＥC交AＦ于点G．
（1）求证：
四边形ABCF是矩形;
（2）若EＤ=ＥC，求证:
ＥA=EＧ.
14.如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使AB=ＢE,连接ＢＤ，DE,EＣ,ＤＥ交BC于点O．
（1）求证：
△ＡBＤ≌△BＥC；
（2）若∠BOD＝２∠A，求证：
四边形BECD是矩形.
已知：
如图，□ＡBCＤ中,AC与BＤ交于O点,∠OAB=∠OBＡ.
（1）求证:
四边形ABCD为矩形;
（2）作BE⊥ＡC于Ｅ，ＣF⊥BD于F，求证：
BＥ＝ＣF.
03 综合题
15．（经典题）如图所示,在△AＢC中，点O是AＣ边上的一个动点,过O作直线MN∥ＢC，设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于F.
（１）求证：
OＥ=OＦ；
（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论．
如图所示，矩形ABCD的对角线ＡC，BＤ相交于点Ｏ,E，Ｆ，G,H分别是OA，ＯB,OC,OD的中点,求证:
四边形EFGH是矩形．
7．如图所示，在△ABＣ中,∠AＢC=9０°，BＤ是△ABＣ的中线,延长ＢD到E,使DE＝BD,连结AE，ＣE，求证：
四边形ＡＢＣE是矩形.
11．如图，在△ABＣ中，Ｄ是BC边上的一点，Ｅ是ＡＤ的中点,过点Ａ作BＣ的平行线交BE的延长线于F，且AF=DＣ，连结CF．
（１）求证:
D是BC的中点;
（２）如果AＢ＝AC，试猜测四边形ADＣF的形状,并证明你的结论．
１2.如图,矩形ABCD中,AＢ＝6cm，BC=8ｃm，若将矩形折叠,使点Ｂ与Ｄ重合,求折痕ＥＦ的长。
已知：
如图，在△AＢC中,D是ＡB上一点，且AD=CD=BD，DE、ＤF分别是∠BDC与∠ＡＤC的平分线。
求证：
四边形CＦDＥ是矩形。
13．已知:
如图,在矩形ＡBCD中,Ｅ、F分别是边BC、ＡB上的点,且EF＝EＤ,EF⊥EＤ.
求证:
AE平分∠BＡＤ．
如图所示,已知在
ABＣD中,各个内角的平分线相交于点E，F,Ｇ,Ｈ.
（１）猜想EG与FＨ之间的关系;
（2）试说明你猜想的正确性.
拓展、探究、思考
14．如图，在矩形ABCD中,AB=２，
.
（1）在边CＤ上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明;
（2）若P为BC边上一点，且ＢP=2CP,连结EP并延长交AB的延长线于F．
①求证:
AB＝ＢＦ；
②△PＡE能否由△ＰFＢ绕P点按顺时针方向旋转而得到?
若能,加以证明,并写出旋转度数；若不能,请说明理由。
1.如图，在平面直角坐标系中,ＡB∥OＣ,A（0，12），B（a,c），Ｃ（b，０）,并且a，ｂ满足b＝＋
+1６.动点P从点A出发,在线段ＡＢ上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒１个单位长度的速度向点Ｃ运动,点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点Ｂ时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B,C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PＱCB是平行四边形?
并求出此时P，Q两点的坐标;
（3）当t为何值时，△PQC是以ＰＱ为腰的等腰三角形?
并求出Ｐ，Q两点的坐标.
已知点P是矩形ABＣD边ＡＢ上的任意一点（与点A、B不重合）
（１）如图①，现将△PＢC沿PC翻折得到△PEC
；再在AD上取一点
F，将△PAＦ沿PF翻折得到△PGＦ,并使得射线ＰE、PG重合,试问FG与ＣE的位置关系如何，请说明理由;
（2）在
（1）中,如图②,连接ＦC，取FC的中点H，连接GH、EH,请你探索线段ＧＨ和线段EH的大小关系，并说明你的理由;
G
B
C
E
D
F
A
P
H
图②
A
B
D
P
C
C’
F
E
G
H
图③
G
F
B
A
C
D
P
E
图①
（3）如图③,分别在AD、ＢC上取点F、C’,使得∠APＦ＝∠BPC’,与
（1）中的操作相类似，即将△PAＦ沿PF翻折得到△PＦG,并将△PBC’沿ＰC’翻折得到△PEＣ’,连接ＦC’，取FＣ’的中点H，连接GH、EH,试问
（2）中的结论还成立吗?
请说明理由.
如图：
在△ABC中,CE，CF分别平分∠ＡCB与它的邻补角∠ACD,AE⊥CＥ于Ｅ,AＦ⊥CＦ于F，直线EF分别交AＢ,ＡC于点Ｍ,N.
（１）求证:
四边形AEＣF为矩形;
（２）试猜想MＮ与BC的关系，并证明你的猜想．
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