新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案.docx
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新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案
2020年新高考全国卷I高考数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓需.准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结朿后,将本试卷和答题卡一并交回。
1.选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合J=U1≤jv≤3},5=U2Cy<4},则AU^
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆•甲场馆安排1需,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有
A.120种B.90种
C.60种D.30种
4・日屈是中国古代用来测左时间的仪器,利用与畠面垂直的屈针投射到畧而的影子来测定时间・把地球看
成一个球(球心记为0),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平而所成角,点A处的水平而是指过点川且与Ql垂直的平面•在点月处放置一个日畧,若畧面与赤道所在平而平行,点£处的纬度为北纬
C.50oD.90o
5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60$的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A・62%B・56%
C・46%D・42%
6.基本再生数&与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间•在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:
/(r)=err描述累计•感染病例数/(D随时间亡(单位:
天)的变化规律,指数增长率2•与凡,T近似满足Λ=l+rT.有学者基于已有数据估计出3.28,Q6.拯此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累讣感染病例数增加1倍需要的时间约为(1∏2^O.69)
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
7.已知尸是边长为2的正六边形個遊•内的一点,则APAB的取值范围是
A.(-2,6)B.(-6,2)
C.(-2,4)D.(M,6)
8.若泄义在R的奇函数f(χ)在(—s,0)单调递减,且f
(2)二0,则满足xf{x-∖)≥O的X的取值范围是
A.[-l,l]U[3,-κ^)B.[-3,-l]∪[O,l]
C.[-l,0]∪[l,+oo)D.[-l,0]∪[l,3]
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知曲线C:
nix2+ny2=1・
A.若m>n>0,则Q是椭圆,其焦点在y轴上
B.若护小0,则Q是圆,其半径为亦
C.若劭<0,则Q是双曲线,其渐近线方程为y=±栏X
D.若沪0,n>0,则C是两条直线
10・下图是函数产Sin(GM→)的部分图像,则Sin(G对如二
11・已知a>0,b>0.且a÷Z>=b则
D.√7÷√^≤√2
C.1跆2Cl+log?
bn-212・信息爛是信息论中的一个重要概念•设随机变量X所有可能的取值为1,2,…山,且
P(X=Z)=Pl>0(/=1,2,…"),£门=1»电义X的信息炳H(X)=一工PIog2门・
/-1r-!
A.若尸1,则H(X)=O
B.若尸2,则Feo随着刃的增大而增大
C.若P产丄(心12・・・加,则从力随着卫的增大而增大
H
D.若用2加随机变量F所有可能的取值为12…,加,且卩(丫=丿)=巴+%3(«/=12・・・冲),则
3.填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.斜率为√J的直线过抛物线G尺心的焦点,且与Q交于乩万两点,则IABl二・
14.将数列{2”1}与{3λ-2}的公共项从小到大排列得到数列{打,贝叽%}的前”项和为.
15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.0为圆孔及轮娜圆弧所在圆的圆
心,E是圆弧初与直线肋的切点,万是圆弧M与直线證的切点,四边形Q啟为矩形,BCLDG,垂足为C,tanZ6!
P^∣,BH∕∕DG,EF=Λ2cm,DE丸cm,月到直线虺和空的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的而枳为cπΛ
16.已知直四棱柱ABCD_AbCD的棱长均为2,ZBAD=^.以D∣为球心,点为半径的球面与侧面BCGBi
的交线长为.
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①M=羽,②CSinA=3,③C=^b这三个条件中任选一个,补充在下而问题中,若问题中的三角
形存在,求C的值:
若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:
是否存在ZXABC,它的内角A,5C的对边分别为a,b.c,且SinA=√JsinB,C=,?
6
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答汁分.
18.(12分)
已知公比大于1的等比数列{%}满足①+①=20®=8.
(1)求B”}的通项公式;
(2)记S为{an}在区间(O,m](∕n∈NJ中的项的个数,求数列{bm}的前IOO项和SIoo.
19.(12分)
为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了IOO天空气中的
PM2.5和SQ浓度(单位:
μg∕m3),得下表:
PM2.5
[0,50]
(50J50]
(150,475]
[0,3习
32
18
4
(35,75]
6
8
12
(75,115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?
浓度不超过150”的概率:
(2)根据所给数据,完成下而的2x2列联表:
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
(75J15)
(3)根据
(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有关?
K?
_呱皿-bc$
(a+b)(c+d)(a+c)(b+〃)
P(K1≥k)
0.050
0.010
0.OOl
k
3.841
6.635
10.828
20.(12分)
如图,四棱锥H5d的底而为正方形,刃丄底而磁9・设平而如与平而磁的交线为2・
(1)证明:
/丄平而刊G
(2)已知PgAD^0为』上的点,求丹与平而血所成角的正弦值的最大值・
21.(12分)
已知函数f(x)=acx^-Inx+In6/・
(1)当a=e时,求曲线(X)在点(1,f
(1))处的切线与两坐标轴囤成的三角形的而积:
(2)若f(X)21,求a的取值范用.
22・(12分)
已知椭圆G二+二=l(α>b>0)的离心率为返,且过点A(2,1).
CrIr2
(1)求曲方程:
(2)点",解E6±,且刖丄心;初丄宓D为垂足・证明:
存在立点Q使得1%为肚值・
参考答案
一、选择题
1・C
2・D
3・C
4・B
5・C
6・B
7.A
8・D
二、选择题
9.ACD
10.BC
11.ABD
12.AC
三、填空题
13.J
14.3/r-In
15.竺+4
2
16.迺
2
四、解答题
17.解:
方案一:
选条件①.
由C=Z和余弦定理得"+/厂一/=兰.
62ab2
由SinA=>∕3SinB及匸弦怎理得α=χ∕3∕?
•于是*I?
]'=孕由此可得b=c.
由①ac=y∣3,解得“=∙j3,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c∙=l.方案二:
选条件②.
由c=≡和余弦定理得□SΞ∑i=V1.
62ah2
由SinA=>∕3sinB及TF弦怎理得α=>∕3∕?
・
于是Wf茸,由此可得b=c,B=C=∖A=⅛.
2亦263
由②CSinA=3,所以c=∕7=2√3√∕=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2√3.
方案三:
选条件③.
由C=Z和余弦泄理得=E.
62ab2
由SinA=>∕3SinB及.正弦定理得α=y∕3b.
f工=斗,由此可得b=C
2√3∕r2
由③c=*b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
18.解:
(1)设0}的公比为9.由题设得+t√=20,t√=8.
解得q=_t(舍去),q=2.由题设得q=2.
所以SJ的通项公式为山=2".
(2)由题设及
(1)知勺=0,且当Z所以Sωo≈bl+(2+勺)+(2+2+&+対)+・・・+(妬2+仇3+・・・+〃63)+(入+々5+・・・+久)0)
=0+1×2+2×22+3×25+4×24+5×25+6x(100-63)
=480.
19•解:
(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO,浓度不超过150的天数为
32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SC^浓度不超过150的概率的估计
≡τδδ=0∙64∙
(3)根据
(2)的列联表得K?
=
(2)根据抽查数据,可得2x2列联表:
PM2.5
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10
IoOX(64x10-16x10)2
≈7.484・
80×20×74×26
由τ7.484>6.635,故有99%的把握认为该巾•一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有关.
20.解:
(1)因为PD丄底而ABCD,所以PD丄AD.
又底而ABCD为正方形,所以AD丄ZX因此AD丄底而PDC•
因为AD(Z平面PBC,所以Ar)〃平而PBC・
由已知得因此/丄平面PDC.
(2)以D为坐标原点,丽的方向为X轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-Xy
则D(0,0,0),C(O,l,0)∙B(l,l,0),P(0,0J),DC=(OJ,0),PB=(IJ,-1).
由
(1)可设QSOJ),则DQ≈{aM).
可取∕i=(-L0√∕).
因为斗Jl+总斗'当且仅当21时等号成立,所以削与平面0CD所成角的正弦值的最大值21・解:
/W的定义域为©炖),f(x)=a^--・
X
(1)当α=e时,/(χ)=ev-lnx+∏∕r(D=e-l,
曲线y=∕ωa点(IJ(I))处的切线方程为y-(e+l)=(e-l)(Λ-l),即y=(C-I)λ+2.
直线y=(e-l)Λ∙+2在X轴,卩轴上的截距分别为f,2・
e-1
2因此所求三角形的面积为二7・
e-1
(2)当OVdVI时,f(l)=a+∖na<∖.
当4=1时,/(A)=C^1-Inx,∕,(x)=eχ-,-l.
X
当Λ-∈(0.1)时,.厂(x)<0;当X∈(L-KO)时,.厂(x)>0.
所以当χ=ι时,∕ω取得最小值,最小值为/(D=ι,从而∕ω≥ι.
当">1时,f(x)=6∕ev∙l-lnA∙+InU≥e'"1-lnx≥l.
综上,α的取值范围是[l,+∞)∙
22•解:
41Cr-h21
(1)由题设得-+^=H—解得u2=6,b2=3.
CrIyClI2
=2
所以C的方程为^-+y=l.
(2)设Λ∕(xry1),N(x2.y2).
若直线MN与X轴不垂直,设直线MN的方程为V=Λa+∕h,
代入—+^-=1得(∖+2k2)x2+AhnX+2,√-6=O・
63
于是召+召=
4km_2m2一6
l+2⅛2tAIAa=∖+2k1
由AM丄/W知AM∙∕V√=O,故(舛一2)(兀一2)+(牙一1)(儿一1)=0,
可得(A,+I)XlA2+(km_k—2)(XI+x2)+(W-I)2+4=O.
Oill^^—A4Zr"7
将①代入上式可得(k2+1)^――一(如一£一2)――+(m-I)2+4=O・
1+2Λ-l+2/r
整理得(2k+3m+1)(2«+加一1)=O.
因为A(2,l)不在直线MN上,所以2k+m-∖≠0t故2k+3n汁1=0,k≠∖.
O1
于是MN的方程为y=ReV-土)——伙Hl)・
33
71
所以直线MN过点P(j-A)・
若直线MN与兀轴垂直,可得N(X^yi).
由AMAN=O得(石一2)(召一2)+(”一1)
(一)[一1)=0・
又£+^=1,可得3<-8x1+4=0.解得A1=2(舍去),x,=∣.
此时直线MN过点P(∣,-l).
令Q为AP的中点,即磅,*)•
若D与P不重合,则由题设知AP是RtAADP的斜边,故IDQl=*1API=年.若D与P重合,贝∣J∣D0I=1∣ΛPI.
41
综上,存在点使得ID21为泄值・
3・、