新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案.docx
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新高考全国卷Ⅰ高考数学试题及答案
2020年新高考全国卷I高考数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓需.准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。
1.选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.设集合J=U1≤jv≤3},5=U2Cy<4},则AU^
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆•甲场馆安排1需，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A.120种B.90种
C.60种D.30种
4・日屈是中国古代用来测左时间的仪器，利用与畠面垂直的屈针投射到畧而的影子来测定时间・把地球看
成一个球（球心记为0）,地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平而所成角，点A处的水平而是指过点川且与Ql垂直的平面•在点月处放置一个日畧，若畧面与赤道所在平而平行，点£处的纬度为北纬
C.50oD.90o
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60$的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A・62%B・56%
C・46%D・42%
6.基本再生数&与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间•在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
/（r）=err描述累计•感染病例数/（D随时间亡（单位:
天）的变化规律，指数增长率2•与凡，T近似满足Λ=l+rT.有学者基于已有数据估计出3.28,Q6.拯此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累讣感染病例数增加1倍需要的时间约为（1∏2^O.69）
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
7.已知尸是边长为2的正六边形個遊•内的一点，则APAB的取值范围是
A.（-2,6）B.（-6,2）
C.（-2,4）D.（M,6）
8.若泄义在R的奇函数f（χ）在（—s,0）单调递减，且f
（2）二0,则满足xf{x-∖）≥O的X的取值范围是
A.[-l,l]U[3,-κ^）B.[-3,-l]∪[O,l]
C.[-l,0]∪[l,+oo）D.[-l,0]∪[l,3]
二、选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.已知曲线C:
nix2+ny2=1・
A.若m>n>0,则Q是椭圆，其焦点在y轴上
B.若护小0,则Q是圆，其半径为亦
C.若劭<0,则Q是双曲线，其渐近线方程为y=±栏X
D.若沪0,n>0,则C是两条直线
10・下图是函数产Sin（GM→）的部分图像，则Sin（G对如二
11・已知a>0,b>0.且a÷Z>=b则
D.√7÷√^≤√2
C.1跆2Cl+log?
bn-212・信息爛是信息论中的一个重要概念•设随机变量X所有可能的取值为1,2,…山，且
P（X=Z）=Pl>0（/=1,2,…"）,£门=1»电义X的信息炳H（X）=一工PIog2门・
/-1r-!
A.若尸1,则H（X）=O
B.若尸2,则Feo随着刃的增大而增大
C.若P产丄（心12・・・加，则从力随着卫的增大而增大
H
D.若用2加随机变量F所有可能的取值为12…,加，且卩（丫=丿）=巴+%3（«/=12・・・冲），则
3.填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.斜率为√J的直线过抛物线G尺心的焦点，且与Q交于乩万两点，则IABl二・
14.将数列｛2”1｝与｛3λ-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛打，贝叽％｝的前”项和为.
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.0为圆孔及轮娜圆弧所在圆的圆
心，E是圆弧初与直线肋的切点，万是圆弧M与直线證的切点，四边形Q啟为矩形，BCLDG,垂足为C,tanZ6!
P^∣,BH∕∕DG,EF=Λ2cm,DE丸cm,月到直线虺和空的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的而枳为cπΛ
16.已知直四棱柱ABCD_AbCD的棱长均为2,ZBAD=^.以D∣为球心，点为半径的球面与侧面BCGBi
的交线长为.
四、解答题：
本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在①M=羽,②CSinA=3,③C=^b这三个条件中任选一个，补充在下而问题中，若问题中的三角
形存在，求C的值：
若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：
是否存在ZXABC,它的内角A,5C的对边分别为a,b.c,且SinA=√JsinB,C=,?
6
注：
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答汁分.
18.（12分）
已知公比大于1的等比数列｛%｝满足①+①=20®=8.
（1）求B”｝的通项公式；
（2）记S为｛an｝在区间（O,m］（∕n∈NJ中的项的个数,求数列｛bm｝的前IOO项和SIoo.
19.（12分）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了IOO天空气中的
PM2.5和SQ浓度（单位：
μg∕m3）,得下表：
PM2.5
[0,50]
（50J50]
（150,475]
[0,3习
32
18
4
（35,75]
6
8
12
（75,115]
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?
浓度不超过150”的概率:
（2）根据所给数据，完成下而的2x2列联表：
PM2.5
[0,150]
（150,475]
[0,75]
（75J15）
（3）根据
（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有关?
K?
_呱皿-bc$
（a+b）（c+d）（a+c）（b+〃）
P（K1≥k）
0.050
0.010
0.OOl
k
3.841
6.635
10.828
20.（12分）
如图，四棱锥H5d的底而为正方形，刃丄底而磁9・设平而如与平而磁的交线为2・
（1）证明：
/丄平而刊G
（2）已知PgAD^0为』上的点，求丹与平而血所成角的正弦值的最大值・
21.（12分）
已知函数f（x）=acx^-Inx+In6/・
（1）当a=e时，求曲线（X）在点（1,f
（1））处的切线与两坐标轴囤成的三角形的而积:
（2）若f（X）21,求a的取值范用.
22・（12分）
已知椭圆G二+二=l（α>b>0）的离心率为返，且过点A（2,1）.
CrIr2
（1）求曲方程：
（2）点"，解E6±,且刖丄心；初丄宓D为垂足・证明：
存在立点Q使得1%为肚值・
参考答案
一、选择题
1・C
2・D
3・C
4・B
5・C
6・B
7.A
8・D
二、选择题
9.ACD
10.BC
11.ABD
12.AC
三、填空题
13.J
14.3/r-In
15.竺+4
2
16.迺
2
四、解答题
17.解：
方案一：
选条件①.
由C=Z和余弦定理得"+/厂一/=兰.
62ab2
由SinA=>∕3SinB及匸弦怎理得α=χ∕3∕?
•于是*I?
]'=孕由此可得b=c.
由①ac=y∣3,解得“=∙j3,b=c=1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c∙=l.方案二：
选条件②.
由c=≡和余弦定理得□SΞ∑i=V1.
62ah2
由SinA=>∕3sinB及TF弦怎理得α=>∕3∕?
・
于是Wf茸,由此可得b=c,B=C=∖A=⅛.
2亦263
由②CSinA=3,所以c=∕7=2√3√∕=6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2√3.
方案三：
选条件③.
由C=Z和余弦泄理得=E.
62ab2
由SinA=>∕3SinB及.正弦定理得α=y∕3b.
f工=斗,由此可得b=C
2√3∕r2
由③c=*b,与b=c矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
18.解：
（1）设0｝的公比为9.由题设得+t√=20,t√=8.
解得q=_t（舍去），q=2.由题设得q=2.
所以SJ的通项公式为山=2".
（2）由题设及
（1）知勺=0,且当Z所以Sωo≈bl+（2+勺）+（2+2+&+対）+・・・+（妬2+仇3+・・・+〃63）+（入+々5+・・・+久）0）
=0+1×2+2×22+3×25+4×24+5×25+6x（100-63）
=480.
19•解：
（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO,浓度不超过150的天数为
32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SC^浓度不超过150的概率的估计
≡τδδ=0∙64∙
（3）根据
（2）的列联表得K?
=
（2）根据抽查数据，可得2x2列联表:
PM2.5
[0,150]
（150,475]
[0,75]
64
16
（75,115]
10
10
IoOX（64x10-16x10）2
≈7.484・
80×20×74×26
由τ7.484>6.635,故有99%的把握认为该巾•一天空气中PM2.5浓度与SO?
浓度有关.
20.解:
（1）因为PD丄底而ABCD,所以PD丄AD.
又底而ABCD为正方形，所以AD丄ZX因此AD丄底而PDC•
因为AD（Z平面PBC,所以Ar）〃平而PBC・
由已知得因此/丄平面PDC.
（2）以D为坐标原点，丽的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-Xy
则D（0,0,0）,C（O,l,0）∙B（l,l,0）,P（0,0J）,DC=（OJ,0）,PB=（IJ,-1）.
由
（1）可设QSOJ）,则DQ≈{aM）.
可取∕i=（-L0√∕）.
因为斗Jl+总斗'当且仅当21时等号成立，所以削与平面0CD所成角的正弦值的最大值21・解:
/W的定义域为©炖）,f（x）=a^--・
X
（1）当α=e时，/（χ）=ev-lnx+∏∕r（D=e-l,
曲线y=∕ωa点（IJ（I））处的切线方程为y-（e+l）=（e-l）（Λ-l）,即y=（C-I）λ+2.
直线y=（e-l）Λ∙+2在X轴，卩轴上的截距分别为f,2・
e-1
2因此所求三角形的面积为二7・
e-1
（2）当OVdVI时，f（l）=a+∖na<∖.
当4=1时,/（A）=C^1-Inx,∕,（x）=eχ-,-l.
X
当Λ-∈（0.1）时，.厂（x）<0;当X∈（L-KO）时，.厂（x）>0.
所以当χ=ι时,∕ω取得最小值，最小值为/（D=ι,从而∕ω≥ι.
当">1时，f（x）=6∕ev∙l-lnA∙+InU≥e'"1-lnx≥l.
综上，α的取值范围是[l,+∞）∙
22•解：
41Cr-h21
（1）由题设得-+^=H—解得u2=6,b2=3.
CrIyClI2
=2
所以C的方程为^-+y=l.
（2）设Λ∕（xry1）,N（x2.y2）.
若直线MN与X轴不垂直，设直线MN的方程为V=Λa+∕h,
代入—+^-=1得（∖+2k2）x2+AhnX+2,√-6=O・
63
于是召+召=
4km_2m2一6
l+2⅛2tAIAa=∖+2k1
由AM丄/W知AM∙∕V√=O,故（舛一2）（兀一2）+（牙一1）（儿一1）=0,
可得（A，+I）XlA2+（km_k—2）（XI+x2）+（W-I）2+4=O.
Oill^^—A4Zr"7
将①代入上式可得（k2+1）^――一（如一£一2）――+（m-I）2+4=O・
1+2Λ-l+2/r
整理得（2k+3m+1）（2«+加一1）=O.
因为A（2,l）不在直线MN上，所以2k+m-∖≠0t故2k+3n汁1=0,k≠∖.
O1
于是MN的方程为y=ReV-土）——伙Hl）・
33
71
所以直线MN过点P（j-A）・
若直线MN与兀轴垂直，可得N（X^yi）.
由AMAN=O得（石一2）（召一2）+（”一1）
（一）[一1）=0・
又£+^=1,可得3<-8x1+4=0.解得A1=2（舍去），x,=∣.
此时直线MN过点P（∣,-l）.
令Q为AP的中点,即磅，*）•
若D与P不重合，则由题设知AP是RtAADP的斜边，故IDQl=*1API=年.若D与P重合，贝∣J∣D0I=1∣ΛPI.
41
综上，存在点使得ID21为泄值・
3・、
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