高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版.docx

高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版.docx

《高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版

2019-2020年高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版

考纲导读

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

知识网络

高考导航

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：

直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时椭圆

基础过关

1．椭圆的两种定义

（1）平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．

注：

①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．

②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

（2）椭圆的第二定义：

到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是．

2．椭圆的标准方程

（1）焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：

，其中（>>0，且）

（2）焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足：

．

（3）焦点在哪个轴上如何判断？

3．椭圆的几何性质（对,a>b>0进行讨论）

（1）范围：

≤x≤，≤y≤

（2）对称性：

对称轴方程为；对称中心为．

（3）顶点坐标：

，焦点坐标：

，长半轴长：

，短半轴长：

；准线方程：

．

（4）离心率：

（与的比），，越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近于．

（5）焦半径公式：

设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，=。

4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：

（1）定义：

r1＋r2＝2a

（2）余弦定理：

＋－2r1r2cos＝（2c）2

（3）面积：

＝r1r2sin＝·2c|y0|（其中P（）为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝）

典型例题

变式训练2：

已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：

以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.

证明设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.

∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r

∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知

|OA|=

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

例3.如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（3）求的最大值和最小值．

解：

（1）由抛物线方程，得焦点．

设椭圆的方程：

．

解方程组得C（-1，2），D（1，-2）．

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，，∴．…………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故椭圆的方程为．…………4分

（2），

圆过点O、，

圆心M在直线上．

设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴

由得解得

所求圆的方程为…………………………8分

（3）由

①若垂直于轴，则，

，

…………………………………………9分

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由得

，方程有两个不等的实数根．

设，.

………………………………11分

=

，所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值

变式训练3：

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,0）、B（1,0）,动点C满足条件：

△ABC的周长为2＋2

.记动点C的轨迹为曲线W.

（1）求W的方程；

（2）经过点（0,

）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

（3）已知点M（

，0），N（0,1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？

如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

解：

（Ⅰ）设C（x,y）,

∵,,

∴,

∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2

的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴.∴.

∴W:

.…

（2）设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.

整理，得.①

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或.

∴满足条件的k的取值范围为

（3）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则＝（x1+x2，y1+y2）,

由①得.②

又③

因为，，所以.………

所以与共线等价于.

将②③代入上式，解得.

所以不存在常数k，使得向量与共线.

例4.已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

（1）求椭圆W的方程；

（2）求证：

（）；

（3）求面积的最大值.

解：

（1）设椭圆W的方程为，由题意可知

解得，，，

所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分

（2）解法1：

因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线的方程为．

得

.

由直线与椭圆W交于、两点，可知

，解得．

设点，的坐标分别为，,

则，，，．

因为，，

所以，.

又因为

，

所以．……………………………………………………………10分

解法2：

因为左准线方程为，所以点坐标为.

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,

则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得

所以，，三点共线，即．…………………………………10分

（3）由题意知

，

当且仅当时“=”成立，

所以面积的最大值为

．

变式训练4：

设、分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？

若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：

（1）易知

设P（x，y），则

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，

则

又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|

综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|

小结归纳

1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．

2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：

定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．

3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是．

4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．

5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．

第2课时双曲线

基础过关

典型例题

例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.

解：

如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2（m），=25×2（m）.设双曲线的方程为（a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以

解方程组

由方程

（2）得（负值舍去）.代入方程

（1）得化简得19b2+275b－18150=0（3）

解方程（3）得b≈25（m）.所以所求双曲线方程为：

例3.中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．

解：

取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B（），．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点（1，0）除外，即轨迹方程为（）．

变式训练3：

已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.

（1）求双曲线的方程；

（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.

（1）解：

依题意有：

可得双曲线方程为

（2）解：

设

所以

例4.设双曲线C：

的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；

（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若

（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。

解：

（1）由题，得，设

则

由

…………①

又在双曲线上，则…………②

联立①、②，解得

由题意，

∴点T的坐标为（2，0）…………3分

（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）

由A1、P、M三点共线，得

…………③…………1分

由A2、Q、M三点共线，得

…………④…………1分

联立③、④，解得…………1分

∵在双曲线上，

∴

∴轨迹E的方程为

…………1分

（3）容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为

中，得

设

则由根与系数的关系，得……⑤

……⑥…………2分

∵∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

…………1分

由

…………1分

∵

又

故

令∴，即

∴

而，∴

∴

变式训练4：

）已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.

（1）求双曲线C的标准方程

（2）当直线l的斜率为何值时，。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

解

（1）设双曲线C的方程为

①

②②

又P（6,6）在双曲线C上，

由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

（2）由双曲线C的方程可得

所以△A1PA2的重点G（2,2）

设直线l的方程为代入C的方程，整理得

③③②

整理得

④②

解得

由③，可得

⑤③②

解得

小结归纳

由④、⑤，得

5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

第3课时抛物线

基础过关

1．抛物线定义：

平面内到和距离的点的轨迹叫抛物线，叫抛物线的焦点，叫做抛物线的准线（注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线）．

2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程

①，焦点为，准线为．

②，焦点为，准线为．

③，焦点为，准线为．

④，焦点为，准线为．

3．抛物线的几何性质：

对进行讨论．

①点的范围：

、．

②对称性：

抛物线关于轴对称．

③离心率．

④焦半径公式：

设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则．

⑤焦点弦长公式：

设AB是过抛物线焦点的一条弦（焦点弦）

i）若，，则＝，．

ii）若AB所在直线的倾斜角为（则＝

．

特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝．

iii）S△AOB＝（表示成P与θ的关系式）．

iv）为定值，且等于．

典型例题

例1.已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．

解：

设抛物线方程为，则焦点是F

∵点A（－3，n）在抛物线上，且|AF|＝5

故解得P＝4，

故所求抛物线方程为

变式训练1：

求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．

解：

因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或∵，∴p＝12

故抛物线方程为或

例2.已知抛物线C：

的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．

（1）若，求直线l的方程．

（2）求的最小值．

解：

（1）解法一：

设直线的方程为：

代入整理得，

设

则是上述关于的方程的两个不同实根，所以

根据抛物线的定义知：

|AB|＝

＝

若，则

即直线有两条，其方程分别为：

解法二：

由抛物线的焦点弦长公式

|AB|＝（θ为AB的倾斜角）易知sinθ＝±，

即直线AB的斜率k＝tanθ＝±，

故所求直线方程为：

或.

（2）由

（1）知，

当且仅当时，|AB|有最小值4．

解法二：

由

（1）知|AB|＝＝

∴|AB|min＝4（此时sinθ＝1，θ＝90°）

变式训练2：

过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）

A．有且仅有一条B．有且仅有两条

C．有无数条D．不存在

解：

B

例3.若A（3，2），F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．

解：

抛物线的准线方程为

过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝|PF|，∴|PF|＋|PA|＝|PA|＋|PQ|

要使|PA|＋|PQ|最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|＋|PF|的最小值为

此时P的坐标为（2，2）

1.（xx·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.

答案

变式训练3：

一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是。

解：

例4.设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．

（1）当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？

证明你的结论？

（2）当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．

解：

（1）F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于

y1＝y2（x1＋x2）（x1－x2）＝0

∵x1≠x2∴x1＋x2＝0

即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．

（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m

所以x1、x2满足方程：

2x2＋x－m＝0

且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－

设AB之中点为N（x0，y0），则x0＝

y0＝－x0＋m＝＋m

由N∈l得：

＋m＝－＋b

于是b＝＋m＞－＝

即l在y轴上截距的取值范围是（，＋）

变式训练4：

正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．

设C、D的坐标分别为（y12，y1），（y22，y2）（y1>y2），则直线CD的斜率为1．

∴＝＝1，即y1＋y2＝1①

又|CD|＝＝

＝（y1－y2）

|BC|＝（y12－y1＋4恒正）

由|CD|＝|BC|，有（y1－y2）＝②

解①、②得y1＝2或y1＝3

当y1＝2时，有|BC|＝3，此时SABCD＝18

当y1＝3时，有|BC|＝5，此时SABCD＝50

∴正方形的面积为18或50．

小结归纳

1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．

2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．

3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．

4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．

基础过关

第4课时直线与圆锥曲线的位置关系

1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）

2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）,直线AB的斜率为k，则：

｜AB｜=————————或：

—————————．

利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．

当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．

3．中点弦问题：

设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M（x0，y0）为AB的中点，则

两式相减可得

即．

对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．

典型例题

例1.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．

（1）当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？

当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？

（2）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？

解：

消去y

（1）联立（3－a2）x2－2ax－2＝0①

显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．

若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：

a∈（－，－）∪（，）

若A、B分别在双曲线的两支上，则有：

a∈（－，）

（2）若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2）由于x1＋x2＝，x1x2＝．

∴y1y2＝（ax1＋1）（ax2＋1）＝a（x1＋x2）＋a2x1x2＋1

＝a2·＋a·＋1＝1

∵OA⊥OB∴x1x2＋y1y2＝0∴＋1a＝±1

此时△＞0，符合要求．

变式训练1：

已知直线y＝（a＋1）x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.

解：

联立方程为

（1）当a＝0时，此时方程组恰有一组解

（2）当a≠0时，消去x得

①若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解

②若≠0，即a≠－1，令△＝0

得1＋，解得a＝－

此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．

例2.已知双曲线方程2x2－y2＝2.

（1）求以A（2,1）为中点的双曲线的弦所在直线方程；

（2）过点B（1,1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？

这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解：

（1）即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：

∴∴

所求中点弦所在直线为，即．

（2）可假定直线存在，而求出的方程为，即

方法同

（1），联立方程，消去y,得

然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．

变式训练2：

若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）

A．2B．－2

C．D．－

解：

D

例3.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

解法一：

设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则

∵点在直线上，∴

∴，代入，得，即

解得

解法二：

设，关于对称，中点，则

相减得：

∴，则

∵在抛物线内部，∴

化简而得，即，解得．

变式训练3：

设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则.

解：

8

例4.已知椭圆＝1（a为常数，且a>1），向量＝（1,t）（t>0），过点A（－a,0）且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．

（1）求t表示△ABC的面积S（t）；

（2）若a＝2，t∈[,1]，求S（t）的最大值．

解：

（1）直线AB的方程为：

y＝t（x＋a），

由得

∴y＝0或y＝

∴点B的纵坐标为

∴S（t）＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB

＝

（2）当a＝2时，S（t）＝＝

∵t∈[，1]，∴4t＋≥2＝4

当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.

∴S（t）＝≤＝2

即S（t）的最大值S（t）max＝2

变式训练4：

设椭圆C：

的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

相切，求椭圆C的方程.

解：

⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

…2分

设，得……

因为点P在椭圆上，所以

……

整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝

……

⑵由⑴知

，

于是F（－

a，0），Q

△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=

|FQ|=a………

所以，解得a=2，∴c=1，b=，

小结归