高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版.docx

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高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版

2019-2020年高考数学导学练系列圆锥曲线教案苏教版

考纲导读

1.掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程.

2.掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质.

3.掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质.

4.了解圆锥曲线的初步应用.

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圆锥曲线是高中数学的一个重要内容,它的基本特点是数形兼备,兼容并包,可与代数、三角、几何知识相沟通,历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查,基本上是两个客观题,一个主观题,分值21分~24分,占15%左右,并且主要体现出以下几个特点:

1.圆锥曲线的基本问题,主要考查以下内容:

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解.

②圆锥曲线的几何性质的应用.

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高,此类问题的解决需掌握四种基本方法:

直译法、定义法、相关点法、参数法.

3.有关直线与圆锥曲线位置关系问题,是高考的重热点问题,这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等,分析这类问题时,往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理,多以解答题的形式出现.

4.求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题,是高考命题的一大热点,这类问题综合性较大,运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合,特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题,是常考常新的试题,将是今后高考命题的一个趋势.

第1课时椭圆

基础过关

1.椭圆的两种定义

(1)平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆,这两个定点叫做椭圆的,之间的距离叫做焦距.

注:

①当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是.

②当2a<|F1F2|时,P点的轨迹不存在.

(2)椭圆的第二定义:

到的距离与到的距离之比是常数,且的点的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的,定直线l是,常数e是.

2.椭圆的标准方程

(1)焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:

,其中(>>0,且)

(2)焦点在轴上,中心在原点的椭圆标准方程是,其中a,b满足:

(3)焦点在哪个轴上如何判断?

3.椭圆的几何性质(对,a>b>0进行讨论)

(1)范围:

≤x≤,≤y≤

(2)对称性:

对称轴方程为;对称中心为.

(3)顶点坐标:

,焦点坐标:

,长半轴长:

,短半轴长:

;准线方程:

(4)离心率:

(与的比),,越接近1,椭圆越;越接近0,椭圆越接近于.

(5)焦半径公式:

设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,则,=。

4.焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形):

(1)定义:

r1+r2=2a

(2)余弦定理:

+-2r1r2cos=(2c)2

(3)面积:

=r1r2sin=·2c|y0|(其中P()为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)

典型例题

 

变式训练2:

已知P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:

以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.

证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.

∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r

∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结OA,由三角形中位线定理,知

|OA|=

故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。

例3.如图,椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线的焦点重合,过的直线与椭圆交于A、B两点,与抛物线交于C、D两点.当直线与x轴垂直时,.

(1)求椭圆的方程;

(2)求过点O、,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;

(3)求的最大值和最小值.

解:

(1)由抛物线方程,得焦点.

设椭圆的方程:

解方程组得C(-1,2),D(1,-2).

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,

∴,,∴.…………2分

∴又,

因此,,解得并推得.

故椭圆的方程为.…………4分

(2),

圆过点O、,

圆心M在直线上.

设则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切,

由得解得

所求圆的方程为…………………………8分

(3)由

①若垂直于轴,则,

…………………………………………9分

②若与轴不垂直,设直线的斜率为,则直线的方程为

由得

,方程有两个不等的实数根.

设,.

………………………………11分

=

,所以当直线垂于轴时,取得最大值

当直线与轴重合时,取得最小值

变式训练3:

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:

△ABC的周长为2+2

.记动点C的轨迹为曲线W.

(1)求W的方程;

(2)经过点(0,

)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,

求k的取值范围;

(3)已知点M(

,0),N(0,1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量与共线?

如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

解:

(Ⅰ)设C(x,y),

∵,,

∴,

∴由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2

的椭圆除去与x轴的两个交点.

∴.∴.

∴W:

.…

(2)设直线l的方程为,代入椭圆方程,得.

整理,得.①

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

,解得或.

∴满足条件的k的取值范围为

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x1+x2,y1+y2),

由①得.②

又③

因为,,所以.………

所以与共线等价于.

将②③代入上式,解得.

所以不存在常数k,使得向量与共线.

例4.已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关于轴的对称点为.

(1)求椭圆W的方程;

(2)求证:

();

(3)求面积的最大值.

解:

(1)设椭圆W的方程为,由题意可知

解得,,,

所以椭圆W的方程为.……………………………………………4分

(2)解法1:

因为左准线方程为,所以点坐标为.于是可设直线的方程为.

.

由直线与椭圆W交于、两点,可知

,解得.

设点,的坐标分别为,,

则,,,.

因为,,

所以,.

又因为

所以.……………………………………………………………10分

解法2:

因为左准线方程为,所以点坐标为.

于是可设直线的方程为,点,的坐标分别为,,

则点的坐标为,,.

由椭圆的第二定义可得

所以,,三点共线,即.…………………………………10分

(3)由题意知

当且仅当时“=”成立,

所以面积的最大值为

变式训练4:

设、分别是椭圆的左、右焦点.

(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;

(2)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?

若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解:

(1)易知

设P(x,y),则

,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;

当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4

(2)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k

直线l的方程为

由方程组

依题意

当时,设交点C,CD的中点为R,

又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|

综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|

小结归纳

1.在解题中要充分利用椭圆的两种定义,灵活处理焦半径,熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义,能够减少运算量,提高解题速度,达到事半功倍之效.

2.由给定条件求椭圆方程,常用待定系数法.步骤是:

定型——确定曲线形状;定位——确定焦点位置;定量——由条件求a、b、c,当焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,要防止遗漏.

3.解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时,一般要从椭圆的定义入手考虑;椭圆的焦半径的取值范围是.

4.“设而不求”,“点差法”等方法,是简化解题过程的常用技巧,要认真领会.

5.解析几何与代数向量的结合,是近年来高考的热点,应引起重视.

第2课时双曲线

基础过关

典型例题

例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m).

解:

如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且=13×2(m),=25×2(m).设双曲线的方程为(a>0,b>0)令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以

解方程组

由方程

(2)得(负值舍去).代入方程

(1)得化简得19b2+275b-18150=0(3)

解方程(3)得b≈25(m).所以所求双曲线方程为:

例3.中,固定底边BC,让顶点A移动,已知,且,求顶点A的轨迹方程.

解:

取BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,因为,所以B(),.利用正弦定理,从条件得,即.由双曲线定义知,点A的轨迹是B、C为焦点,焦距为4,实轴长为2,虚轴长为的双曲线右支,点(1,0)除外,即轨迹方程为().

变式训练3:

已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线的距离为l.

(1)求双曲线的方程;

(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值.

(1)解:

依题意有:

可得双曲线方程为

(2)解:

所以

例4.设双曲线C:

的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且,求点T的坐标;

(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;

(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设,若

(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。

解:

(1)由题,得,设

…………①

又在双曲线上,则…………②

联立①、②,解得

由题意,

∴点T的坐标为(2,0)…………3分

(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y)

由A1、P、M三点共线,得

…………③…………1分

由A2、Q、M三点共线,得

…………④…………1分

联立③、④,解得…………1分

∵在双曲线上,

∴轨迹E的方程为

…………1分

(3)容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为

中,得

则由根与系数的关系,得……⑤

……⑥…………2分

∵∴有

将⑤式平方除以⑥式,得

…………1分

…………1分

令∴,即

而,∴

变式训练4:

)已知中心在原点,左、右顶点A1、A2在x轴上,离心率为的双曲线C经过点P(6,6),动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点.

(1)求双曲线C的标准方程

(2)当直线l的斜率为何值时,。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。

(1)设双曲线C的方程为

②②

又P(6,6)在双曲线C上,

由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

(2)由双曲线C的方程可得

所以△A1PA2的重点G(2,2)

设直线l的方程为代入C的方程,整理得

③③②

整理得

④②

解得

由③,可得

⑤③②

解得

小结归纳

由④、⑤,得

 

5.对于直线与双曲线的位置关系,要注意“数形转化”“数形结合”,既可以转化为方程组的解的个数来确定,又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较,从“形”的角度来判断.

第3课时抛物线

基础过关

1.抛物线定义:

平面内到和距离的点的轨迹叫抛物线,叫抛物线的焦点,叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一条直线).

2.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程

①,焦点为,准线为.

②,焦点为,准线为.

③,焦点为,准线为.

④,焦点为,准线为.

3.抛物线的几何性质:

对进行讨论.

①点的范围:

、.

②对称性:

抛物线关于轴对称.

③离心率.

④焦半径公式:

设F是抛物线的焦点,是抛物线上一点,则.

⑤焦点弦长公式:

设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)

i)若,,则=,.

ii)若AB所在直线的倾斜角为(则=

特别地,当时,AB为抛物线的通径,且=.

iii)S△AOB=(表示成P与θ的关系式).

iv)为定值,且等于.

典型例题

例1.已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点到焦点的距离为5,求抛物线的方程和n的值.

解:

设抛物线方程为,则焦点是F

∵点A(-3,n)在抛物线上,且|AF|=5

故解得P=4,

故所求抛物线方程为

变式训练1:

求顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程.

解:

因为对称轴是轴,可设抛物线方程为或∵,∴p=12

故抛物线方程为或

例2.已知抛物线C:

的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.

(1)若,求直线l的方程.

(2)求的最小值.

解:

(1)解法一:

设直线的方程为:

代入整理得,

则是上述关于的方程的两个不同实根,所以

根据抛物线的定义知:

|AB|=

若,则

即直线有两条,其方程分别为:

解法二:

由抛物线的焦点弦长公式

|AB|=(θ为AB的倾斜角)易知sinθ=±,

即直线AB的斜率k=tanθ=±,

故所求直线方程为:

或.

(2)由

(1)知,

当且仅当时,|AB|有最小值4.

解法二:

(1)知|AB|==

∴|AB|min=4(此时sinθ=1,θ=90°)

变式训练2:

过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()

A.有且仅有一条B.有且仅有两条

C.有无数条D.不存在

解:

B

例3.若A(3,2),F为抛物线的焦点,P为抛物线上任意一点,求的最小值及取得最小值时的P的坐标.

解:

抛物线的准线方程为

过P作PQ垂直于准线于Q点,由抛物线定义得|PQ|=|PF|,∴|PF|+|PA|=|PA|+|PQ|

要使|PA|+|PQ|最小,A、P、Q三点必共线,即AQ垂直于准线,AQ与抛物线的交点为P点

从而|PA|+|PF|的最小值为

此时P的坐标为(2,2)

1.(xx·辽宁理,10)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.

答案

变式训练3:

一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2,在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是。

解:

例4.设A(x1,y1),B(x2,y2),两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.

(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?

证明你的结论?

(2)当直线l的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.

解:

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0.∴上述条件等价于

y1=y2(x1+x2)(x1-x2)=0

∵x1≠x2∴x1+x2=0

即当且仅当x1+x2=0时,l过抛物线的焦点F.

(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y=-x+m

所以x1、x2满足方程:

2x2+x-m=0

且x1+x2=-,由于A、B为抛物线上不同的两点,所以△=+8m>0,即m>-

设AB之中点为N(x0,y0),则x0=

y0=-x0+m=+m

由N∈l得:

+m=-+b

于是b=+m>-=

即l在y轴上截距的取值范围是(,+)

变式训练4:

正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线y2=x上,求正方形的面积.

设C、D的坐标分别为(y12,y1),(y22,y2)(y1>y2),则直线CD的斜率为1.

∴==1,即y1+y2=1①

又|CD|==

=(y1-y2)

|BC|=(y12-y1+4恒正)

由|CD|=|BC|,有(y1-y2)=②

解①、②得y1=2或y1=3

当y1=2时,有|BC|=3,此时SABCD=18

当y1=3时,有|BC|=5,此时SABCD=50

∴正方形的面积为18或50.

小结归纳

1.求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向,以便准确设出方程,然后用待定系数法.

2.利用好抛物线定义,进行求线段和的最小值问题的转化.

3.涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算.

4、解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,应注意焦点弦的几何性质.

基础过关

第4课时直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程组的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>0时,有两个公共点,△=0时,有一个公共点,△<0时,没有公共点.但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解(即直线与曲线只有一个交点)时,直线与曲线未必相切,在判定此类情形时,应注意数形结合.(对于双曲线,重点注意与渐近线平行的直线,对于抛物线,重点注意与对称轴平行的直线)

2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则:

|AB|=————————或:

—————————.

利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理.

当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算.

3.中点弦问题:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上不同的两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为AB的中点,则

两式相减可得

即.

对于双曲线、抛物线,可得类似的结论.

典型例题

例1.直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.

(1)当a为何值时,A、B两点在双曲线的同一支上?

当a为何值时,A、B两点分别在双曲线的两支上?

(2)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点?

解:

消去y

(1)联立(3-a2)x2-2ax-2=0①

显然a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点.

若交点A、B在双曲线同支上,则方程①满足:

a∈(-,-)∪(,)

若A、B分别在双曲线的两支上,则有:

a∈(-,)

(2)若以AB为直径的圆过点O,则OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1+x2=,x1x2=.

∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1

=a2·+a·+1=1

∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0∴+1a=±1

此时△>0,符合要求.

变式训练1:

已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.

解:

联立方程为

(1)当a=0时,此时方程组恰有一组解

(2)当a≠0时,消去x得

①若=0,即a=-1方程变为一次方程,-y-1=0,方程组恰有一组解

②若≠0,即a≠-1,令△=0

得1+,解得a=-

此时直线与曲线相切,恰有一个公共点,综上所述知,当a=0,-1,-时,直线与曲线只有一个公共点.

例2.已知双曲线方程2x2-y2=2.

(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程;

(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?

这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

解:

(1)即设的中点弦两端点为,则有关系.又据对称性知,所以是中点弦所在直线的斜率,由、在双曲线上,则有关系.两式相减是:

∴∴

所求中点弦所在直线为,即.

(2)可假定直线存在,而求出的方程为,即

方法同

(1),联立方程,消去y,得

然而方程的判别式,无实根,因此直线与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线不存在.

变式训练2:

若椭圆的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()

A.2B.-2

C.D.-

解:

D

例3.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

解法一:

设、关于直线对称,直线方程为,代入得,,设、,中点,则

∵点在直线上,∴

∴,代入,得,即

解得

解法二:

设,关于对称,中点,则

相减得:

∴,则

∵在抛物线内部,∴

化简而得,即,解得.

变式训练3:

设抛物线的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点,又知点P恰为AB的中点,则.

解:

8

例4.已知椭圆=1(a为常数,且a>1),向量=(1,t)(t>0),过点A(-a,0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B,直线BO交椭圆于点C(O为坐标原点).

(1)求t表示△ABC的面积S(t);

(2)若a=2,t∈[,1],求S(t)的最大值.

 

解:

(1)直线AB的方程为:

y=t(x+a),

由得

∴y=0或y=

∴点B的纵坐标为

∴S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|·yB

(2)当a=2时,S(t)==

∵t∈[,1],∴4t+≥2=4

当且仅当4t=,t=时,上式等号成立.

∴S(t)=≤=2

即S(t)的最大值S(t)max=2

变式训练4:

设椭圆C:

的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且

(1)求椭圆C的离心率;

(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:

相切,求椭圆C的方程.

解:

⑴设Q(x0,0),由F(-c,0)

A(0,b)知

…2分

设,得……

因为点P在椭圆上,所以

……

整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,,故椭圆的离心率e=

……

⑵由⑴知

于是F(-

a,0),Q

△AQF的外接圆圆心为(a,0),半径r=

|FQ|=a………

所以,解得a=2,∴c=1,b=,

小结归

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