光电子学与光子学2223翻译资料.docx

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2.2平面波导中的模间色散和波导色散

A.波导色散图和群速度

一个平板波导中存在的传输模式是由波导条件确定的。

从0导最大值的每一个m对应于一个不同的解和一个可能的传播常数βm。

可以看到，即使是单色光波入射，每种模式都以一个不同的传播常数传播。

图2.7的实验给人们留下的印象是，轴线光波的反射次数最少，因此到达端面的速度更快（更短）于高阶模式光波。

高阶模式光波沿着波导方向z字形曲折传播，传播路径更长。

然而，这种观点有两个严重的误解。

第一，波导中最重要的是能量或者信息传播的群速度vg。

第二，高阶模式渗透进入包层较多，包层折射率较低，因此光波传播较快。

从第一章可以知道，群速度vg由dω/dβ决定，其中ω是频率，β是传播常数。

对每一个模式m，模式角θ可以明显由式（2.1.3）的波导条件求取，即取决于光波波长（也是频率ω）和波导特性（n1,n2,a）。

因此，θm=θm（ω），βm=k1sinθm=βm（ω）是关于ω的函数，给定模式的群速度是关于光的频率和波导性能的函数。

可以看到，即使折射率为常数（与频率或波长无关），一个给定的模式群速度vg仍然依赖于与波导结构的波导特性参数相关的频率。

根据式（2.1.3）的波导条件，在给定折射率（n1和n2）和波导尺寸（a）的条件下，可以计算出每个m和ω的βm值，并可以得到波导的ω与βm的关系图，即色散图，如图2.10所示。

在任何频率ω处的切线dω/dβm就是群速度vg。

所有允许的传输模式都被包含在斜率c/n1和c/n2的两条线之间。

截止频率ωcutoff对应于当V=π/2时的截止条件（λ=λc）。

当ω>ωcutoff时，波导中不只存在一个模式。

从图2.10的实验可以直接看出两点：

首先，相同频率的不同模式的群速度不同；其次，一个给定模式的群速度随着光波波长而变化。

因此，群速度不仅与频率有关，还与波导特性参数有关。

其实，可以把V值和群速度联系起来，下面会讨论。

可以用斜率dω/dβ作为ω的一个函数来计算三个不同模式的群速度vg，如图2.11所示。

注意，当模式尚未被激发时，vg刚开始很大，数值接近于c/n2（包层中的相速度）；当模式被激发时，vg降低并小于c/n1（纤芯层相速度），并最终在更高的频率下到达c/n1。

图2.10平板波导中不同Tem模式的ω相对于β的色散示意图。

ωcutoff对应于V=π/2。

在任何频率ω处的群速度vg等于ω相对于β的曲线在该频率点的斜率

图2.11平面介质波导中三个模式的群速度vg与角频率的关系图。

该平面介质波导中，n1=1.455,n2=1.440,a=10μm。

m=0对应着TE0模式等。

B.模间色散

多模传播过程中，即光波频率大于ωcutoff，在最低模式（m=0时）具有最慢的群速度，接近c/n1，而在最高模式具有最快的群速度。

其原因是，高阶模的一部分电场在折射率较小的包层中传播。

最低模式基本上包含在纤芯层内。

因此，各模式在整个光纤中传输的时间不同，这种现象被称为模态色散或模间色散。

模间色散的一个直接后果就是：

如果一个短持续时间的光脉冲信号被耦合到电介质波导中，该脉冲将激发分解为各种模式并沿波导传输。

这些模式将以不同的群速度传输。

在接收端对不同模式的光脉冲的重构将导致脉冲信号展宽，如图2.7所示。

很显然，只允许一种模式（m=0的模式）传播的单模波导中不存在模间色散。

为了评估沿着波导传播信号的模间色散，需要考虑信号通过波导的最短时间和最长时间，这无异于识别波导中由群速度决定的最低和最高模式。

如果Δτ表示最高与最低模式通过距离L的传播时间差值，则模间色散定义为Δτ=

（模间色散）（2.2.1）式中，vgmin是最低模式对应的最慢群速度，vgmax是最高模式对应的最快群速度。

从图2.10和图2.11可以明显看出，当ω>ωcutoff时，最低模式（m=0）的群速度为vgmin=c/n1。

最快的传输对应着最高模式，它的群速度大约为c/n2。

因此，近似有Δτ/L≈

（2.2.2）仅考虑两种极端的模式（最低模式和最高模式），而没有考虑是否存在某些中间模式的群速度超出c/n1～c/n2范围之外。

另外，式子中也没有考虑不同模式的光能量如何分布。

取n1=1.480（纤芯层）和n2=1.460（包层），可以发现Δτ/L≈6.7×10-11s·m-1或者6.7ns.km-1。

一般情况下，由于“模间耦合”，即不同传播模式能量交换，模间色散没有预计的那么高。

式子（2.2.2中展宽）分布Δτ是指展宽输出光脉冲两个极值的时间差值。

在光电子学中，通常对小于全宽度的半高强度点的分布Δτ1/2感兴趣。

Δτ1/2的大小取决于输出光脉冲的瞬间形状。

但当存在许多模式时，可以取一阶近似，有Δτ1/2≈Δτ。

C.模内色散

图2.10和图2.11显示了最低模式（m=0）时的群速度取决于频率ω或波长λ。

因此，即使在波导处于单模工作的情况下，只需要激发源具有有限的光谱，光波就含有不同的频率（即事实上没有完美的单色光波源）。

由图2.11可以明显看出，这些频率光波以不同的群速度传播，其到达波导输出端面的时间不同。

光波波长越大（频率越低），电场渗入包层越多，如图2.12所示。

因此，光波的相速度越大，其渗入包层的能量越多。

即便对于相同模式，光波波长越大，传播越快。

这种现象称为波导色散，这是因为它来源于介电结构的波导特性，而和与折射率相关的频率（或者光波波长）无关。

由于光波波长增大时，V值减小是波导的一个特性，故色散也可以描述为是光波波长对V值的依赖关系。

由于需要结合输入光谱并由图2.10所示的色散图来计算群色散，因此没有计算波导色散的简便方法。

图2.12当波长增加时，更多TE0模式的电场扩展进入包层。

由于包层又更多的模场，因此群速度得到增大。

波导材料的折射率也与光波波长相关，因此要对图2.10中ω相对于βm的曲线稍作修改。

由于折射率b随波长λ变化，给定模式的群速度的变化将导致传输脉冲的展宽，这称为材料色散。

因此，波导色散和材料色散共同作用，使得一个给定模式传播的光脉冲发生展宽，这两种色散合称为模内色散。

2.3阶跃折射率分布光纤

A.原理和允许的模式

对平面介质波导中光波导传播的总的思路作出某些修正后，可以很容易地扩展到如图2.13所示的阶跃折射率光纤。

该光纤本质上是一个圆柱形介质波导，并且纤芯层的电解质折射率n1大于外介质层包层的折射率n2。

在实际中，光纤刚拉伸完以后，就会在包层上涂上保护聚合物涂层，这在理解基本光纤工作原理中并不需要提及。

归一化折射率差△定义为

Δ=

（归一化折射率差）（2.3.1）对于所有应用于光通信领域的实际光纤，n1和n2的区别非常小，通常小于百分之几，因此Δ<<1。

图2.13阶跃折射率光纤。

中央区域纤芯层的折射率大于外侧区域包层的折射率。

光纤胃圆柱形对称结构。

坐标可用于表示在光纤中的任意一点P。

包层通常比图示要厚得多

平面波导只在一维有边界，因此光波反射只发生在图2.4中的y方向。

光波的想长干涉要求导致波导中存在几种不同的模式，用m来标志。

如图2.13所示为y轴成任意φ角度的任意径向的平面上。

由于任意径向可以用χ轴和y轴表示，χ轴和y轴方向上的光波反射都涉及光波的相长干涉，因此需要考虑用两个整数来表述，如平面波导中的m，但是二维驻波需要两个整数。

在平面波导的情况下，形象地认为波导中传播的光波在波动中以z字形曲线传播，并且所有光线都需要通过波导的轴线平面。

此外，波导中的光波要么是TE（横向电场）光波，要么是TM（横向磁场）光波。

相比于平面波导，阶跃折射率光纤的最大不同特性在于，光纤Z字形曲线传播的光线不一定通过光纤的轴线，即所谓的斜光线。

进入光纤的子午光线通过光纤轴线，因此在光纤Z字形曲线传播过程中每次反射通过光纤轴线。

该光线在包含光纤轴线的一个平面内传播，如图2.14（a）所示。

另一方面，斜光线进入光纤后，偏离光纤的轴线，并且在光纤Z字形曲线传播过程中不通过轴线。

当对着光纤端面看过去时（即光纤在垂直光纤轴线平面上的投影），斜光线的轨迹是围绕光纤轴线的多边形，如图2.14（b）所示。

因此，斜光线的行进轨迹是围绕光纤轴的螺旋路径。

在阶跃折射率光纤中子午光线和斜光线产生的导模（允许传播的波）都沿光纤传播，每个导模都有一个沿z方向的传播常数β。

子午光线产生的导模类似于平面波导中的情况，是TE型或TM型。

另一方面，斜光线产生的导模同时具有Ez和Bz（或Hz）两个分量，因此不是TE模式或TM模式的波，他们被称为HE模或EH模，因为电场和磁场都沿z方向的分量，它们也被称为混合模式。

很明显，不同于平面波导中，在阶跃折射率光纤中的导模很难描述。

Δ<1的阶跃折射率光纤被称为弱导光纤，该光纤中的导模通常被认为是行波，几乎为平面偏振光波。

光纤中的传播光波具有横向电场和横向磁场（E和B相互垂直并垂直于z轴），这类似于平面光波的场方向，但是平面上的场强大小并非为常数。

这种光波称为线偏振光波，具有横向电场和横向磁场特性。

沿着光纤的波导线偏振模式可以用沿着z轴传播的电场分布E（r,φ）表示。

该电场分布（或者图样）是在垂直于光纤轴线的平面上，因此取决于r和φ的大小，而与z无关。

此外，由于存在两个边界，电场分布由两个整数参数l和m来表征。

因此，线偏振模式的传播电场分布表示为Elm（r，φ），把该模式写为LPlm。

因此，一个LPlm模式可以写成沿着z轴传播的行波ELP=Elm（r,θ）expj（ωt-βlmZ）（2.3.2）式中，ELP是线偏振模式的电场，βlm是沿着z方向的传播常数。

很明显，对于给定的l和m，Elm（r，φ）表示在有效传播常数或者波矢量为βlm的光纤上传播光波在点z处的特定电场图样。

图2.14（a）子午光线及（b）斜光线之间得差异示意图。

数字代表光线得反射

如图2.15（a）所示为阶跃折射率中基模。

纤芯中央（或光纤轴线）上电场强度达到最大，并且伴随倏逝波，有一部分电场渗透包层中，渗透程度取决于光纤的V值（因此与光波波长相关）。

模式的光强正比于E2，这意味着LP01模式中电场强度分布在光纤轴线上达到最大，如图2.15（b）所示，即中心位置最亮且亮度向包层方向逐渐降低。

图2.15（c）和图2.15（d）也显示了在LP11和LP21模式的强度分布。

LPlm模式中整数l和m与强度图样相关。

从轴线开始，沿着r方向有m个最大值，而在圆周方向上有2l个最大值，如图2.15所示。

l通常被称为径向模式数。

在射线图中，l代表螺旋传播的程度，或对模式有贡献的斜光线的数量。

在基模中，l为0。

另外，类似于平面波，m直接与光线的反射角θ相关。

从上面的讨论中可以看到，沿着光纤传播的光波具有不同的传播模式，并且每种模式都有对应的传播常数βlm和电场分布图样Elm（r，φ）。

每种模式都有自己的群速度vg（l,m），群速度大小取决于ω与βlm的色散曲线，。

当光脉冲输入到光纤时光波在光纤中以不同的模式传播。

不同模式的光束以不同的群速度传播，因此到达光纤端面的时间不相同，这意味着输出脉冲相对于输入脉冲已经展宽了。

类似于平面波导中，光脉冲的展宽是一种模间色散现象。

然而，可以设计出一种合适的光纤，从而只允许基模光波传播，这样就不存在模间色散了。

图2.15与光纤Z轴垂直得横向平面内基模的电场分布。

基模的光强在光纤中心中达到最大。

图出分别给出了LP01、LP11和LP21的光强分布

在阶跃折射率光纤中，以类似平面波导的方式定义V值，或归一化的频率，即V=

（V值的定义）（2.3.3）式中，a是光纤纤芯，λ是自由空间波长，n是芯与包层的平均折射率，即n=（n1+n2）／2,Δ是相对于折射率差，即

Δ=

≈

（相对折射率差）（2.3.4）

当V<2.405时，可以看出光纤中只有一种模式，如图2.15（a）和图2.15（b）所示的基模（LP01）可以在光纤纤芯中传播。

减小纤芯尺寸而进一步降低V值时，光纤仍然可以支持LP01模式，但该模式更多地扩展渗透到包层中。

有限尺寸的包层可能会导致光波的一些能量丢失。

设计（由a和△的选择）只允许特定波长的基模传播的光纤纤芯半径和相对折射率△较小。

如果有效减小光源的波长λ，使V值超过2.405，单模光纤将成为多模光纤，这样高阶模式也可以在光纤中传播。

单模光纤的截止波长λc可由下式子推导：

Vcutoff=

（n12-n22）1/2=2.405（单模光纤的截止波长）（2.3.5）

当V值参数增加到2.405以上时，模式的数量急剧上升。

阶跃折射率多模光纤中，模式数目M很好的近似为

M≈

（当V>>2.405时的模式数目）（2.3.6）

阶跃折射率光纤的各种物理参数的变化对传播数量的影响，可以很容易地从式子（2.3.3）的V值推导出来的。

例如，增大纤芯半径（a）或它的折射率n1，模式的数量增加。

另一方面，增大波长或包层的折射率（n2）会减少模式的数量。

包层直径没有在V值方程中出现，所以它对波的传播没有明显的作用。

在多模光纤中，光通过多种模式传播，这些模式主要局限于纤芯。

在阶跃折射率光纤中，当倏逝波沿边界传播时，基模电场渗透包层中。

如果没有足够厚的包层，则电场将达到包层的外端并逃脱，从而导致光强损失。

例如，通常情况下，单模阶跃折射率光纤的包层直径至少是纤芯直径的10倍。

B.模场直径

从图2.15中可以看出，基模电场渗透包层中。

模场直径（用2w表示）表示波导中基模的场强分布的程度。

基模电场渗透包层中，所以模场直径不仅仅等于纤芯直径。

需要知道光功率或场强的平方E（r）2，其沿着光纤分布并且是到光纤轴线上径向距离r的函数。

实际上，一般用高斯函数来表示光纤中的场强分布，如图2.16所示。

同时，可以用来定义MFD，即

E（r）2=E（0）2exp［-（r/w）2］（基模电场）（2.3.7）式子中，E（0）是中心的场强。

在r=w处，功率降到1/e2。

一个比较有效的用V值来对w的估计是马尔库塞模场直径方程，即

2w=2a（0.65+1.619V-3/2+2.879V-6）；0.8

图2.16单模光纤中功率密度（正比于E2）分布。

2w是模场直径

由于V值通常为2，模场直径大约是纤芯直径的1.27倍。

当1.6

2w≈

（1.6

C.传播常数和群速度

由于LP模式的传播常数βlm取决于波导特性和工作波长，可以很方便地用仅与V值相关的归一化传播常数来描述光的传播特性。

给定k=2π/λ（自由空间）及波导折射率n1和n2，归一化传播常数b与β=βlm有如下关系

b=

（归一化传播常数）（2.3.10）

根据上面的定义，其下限b=0对应于β=kn2,即光波在包层中传播；上限b=1对应于β=kn1,光波在纤芯层中传播。

多种模式下b与V值的关系已由相关文献计算出如图2.17所示为几个低阶LP模式的关系曲线。

这种b随V变化的曲线十分普遍，适用于所有的跃迁折射率光纤，并且在预测这些光纤中光传播本质方面具有重要意义。

没注意到，所有V值都对应有基模LP01，而LP11的截止条件为V=2.405。

每一个高于基模LP模式都有其截止V值和对应的截止波长。

给定光纤的V值，能从图2.17中轻易得到b，因此得到所允许LP模式的β。

一旦由V值获得b,传播常数可以很容易地计算出来。

图2.17阶跃折射率光纤的各种LP模式的归一化传播常数b与V值的曲线

β/k=［n22+b（n12-n22）］1／2

几乎所有阶跃折射率光纤的相对折射率Δ都非常小，也就是它们的波导作用较弱，所以式子（2.3.10）可以简化为更简单的形式

b≈

（归一化传播常量的近似值）

（2.3.12）

单模光纤基模的群速度计算涉及b与光频率的关系，如图2.17所示，b的大小取决于V值。

超过1.5

b≈（1.148-

）2

式（2.3.13）实际上能非常有效地计算单模光纤中光的传输特性。

D.多模阶跃折射率光纤的模间色散

由平面波导可知，若光波为多模波导（有V>π/2），则入射到波导的光脉冲分解为不同的模式，并且这些模式以不同的群速度在波导中传播，如图2.7所示。

对应于多模光纤中的同样精确讨论，得出V>2.405，图2.7很好的表示了多模光纤中光波传播过程。

式（2.2.2）给出了长为L的平面波导输出光波的模间色散Δτ的大小，有

Δτ/L≈

=

（两极限点的模间色散）（2.3.14）

可以用相同的公式来估算阶跃折射率多模光纤的模间色散，从本质上讲，该模间色散取决于最慢速度（最低模式）和最快速度（最高模式）的速度差，即（n1-n2）/c。

合适的计算过程应当考虑模式传播方式，并找到输出端模式到达时间的差异。

但是多模光纤中具有很多模式，且Δ<<1，因此可以推导出式子（2.3.14），然而式（2.3.14）有一个重要的附加条件。

它适用于从第一个到最后一个出来的模式，因此代表输出脉冲的全部展宽。