基于极点配置方法的直流电机转速控制系统设计.docx
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基于极点配置方法的直流电机转速控制系统设计
摘要
建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。
在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。
建模是控制理论中所要解决的第一个问题。
控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。
所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。
设计控制系统是控制理论的核心内容。
在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。
在非线性系统中，我们用到了微分几何。
可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。
优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。
例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。
本报告首先介绍了直流电动机的物理模型,并测量计算了它的具体参数。
然后根据牛顿第二定律和回路电压法分别列写运动平衡方程式和电机电枢回路方程式，从而通过一些数学变换抽象出了以电压为输入、转速为输出、电流和转速为状态变量的数学模型。
通过对抽象出来的模型进行性能分析，确定需要使用状态观测器来修正系统。
继而借助MATLAB软件对转速环进行了状态反馈控制器的设计，使系统的阶跃响应达到了设计指标。
关键词：
建模控制理论设计控制系统直流电动机转速状态反馈控制器
1系统的物理模型、参数及设计要求
1.1系统模型
本组设计的被控对象为前一课程设计——《直流拖动自动控制系统》所采用的直流电机，其物理模型如下图1—1。
图1—1
双闭环控制电流调速系统的特点是电机的转速和电流分别由两个独立的调节器分别控制，且转速调节器的输出就是电流调节器的给定，因此电流环能够随转速的偏差调节电机电枢的电流。
当转速低于给定转速时，转速调节器的积分作用使输出增加，即电流给定上升，并通过电流环调节使电机电流增大，从而使电机获得加速转矩，电机转速上升。
当实际转速高于给定转速时，转速调节器的输出减小，即给定电流减小，并通过电流环调节使电机电流下降，电机将因为电磁转矩减小而减速。
在当转速调节器饱和输出达到限幅值时，电流环即以最大电流限制Idm实现电机的加速，使电机的启动时间最短。
双闭环调速系统的原理框图如图1—2所示：
图1—2
1.2系统参数
电机型号：
DJ15
额定参数：
，，，，。
电枢电阻：
R=25.7143s，电枢电感：
L=0.7347s。
电机飞轮惯量：
电枢回路电磁时间常数：
，系统的机电时间常数：
，电动机电势时间常数：
，转矩常数：
，电流反馈系数：
，转速反馈系数：
。
1.3设计要求
设计状态反馈控制器，使得系统的单位阶跃响应性能指标为：
（1）调节时间小于2秒
（2）系统的超调量小于5%
（3）稳态误差小于1%
2系统模型的建立
2.1模型抽象
直流电机转矩和电枢电流的关系为：
电枢旋转产生反电动势e与旋转运动角速度ω的关系为：
根据牛顿第二定律列写运动平衡方程式为：
其中b为电机摩擦系数，此处忽略不计。
根据回路电压法列写电机电枢回路方程式为：
由于：
，可得：
，
其中，m为一个旋转体上的一个质点的质量，质量m为该质量的重量G和重力加速度g之比，R和D分别为旋转体的半径和直径，综合上两式可得：
从而可以得到电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式
其中，摩擦系数=b/9.55,此处忽略不计。
设系统的状态变量为：
，以输入电压u为输入，转速n为输出。
建立系统状态空间表达式为：
带入数据进行计算化简可得：
可得：
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];B=[1.3611;0];C=[01];D=0。
2.2所建模型的性能分析
通过利用MATLAB软件对所建模型进行分析的过程如下：
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];B=[1.3611;0];C=[01];D=0;
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）
num=
1.0e+003*
005.5905
den=
1.000034.9997641.1612
sys=ss（A,B,C,D）
a=
x1x2
x1-35-0.1561
x241070
b=
u1
x11.361
x20
c=
x1x2
y101
d=
u1
y10
Continuous-timemodel.
tf（sys）
传递函数如下所示：
Transferfunction:
5591
------------------
s^2+35s+641.2
（1）当给定电压是220V时，系统的阶跃响应曲线如图2—1。
图2—1
由上图可得：
系统在未配置前是存在超调的，且当给定输入电压220V时，输出的理想空载转速为1920rad/min，此时根据实验数据求出的理想空载转速应为，可以看出两个数据相差不大，其中误差是由忽略摩擦以及实验测量偏差引入的。
由图中可以得出：
最大值是2010rad/min,稳态值是1920rad/min,原系统的超
调量为σ%=4.96，调节时间Ts=0.237s（误差带是2%）。
原系统的能控性判断：
rank[B,AB]==2,所以原系统
完全能控的。
原系统的能观性判断：
=2,所以系统是完全能观测的。
（2）绘出系统的零极点图如图2—2所示：
图2—2
由所绘图形可得：
原系统存在两个稳定的共轭复根。
（3）绘出系统的根轨迹曲线如图3—3所示：
图3—3
（4）求出系统的Wn和ξ（zeta）如下：
[Wnzeta]=damp（sys）
Wn=
25.3212
zeta=
0.6911
从而求出原系统在空载的情况下超调量和调节时间（2%的误差带）为：
调节时间：
Ts=0.2286s
超调量：
σ%=4.96%
系统的稳态误差：
Ess=（1920-1918）/1918*100%=0.1%
从以上数据计算结果可得，系统的调节时间和稳态误差均满足设计指标，超调量虽然也满足要求，但较为接近，性能不是太好。
所以，有必要设计一个状态观测器来修正原系统，使新系统指标达到所要求的设计指标。
3系统状态观测器的设计
3.1期望配置的极点的确定以及状态观测器的设计
根据设计要求，要设计的状态反馈控制器，需使得系统的单位阶跃响应性能指标满足：
（1）调节时间小于2秒；
（2）系统的超调量小于5%；（3）稳态误差小于1%。
3.1.1第一组极点配置
由以上指标要求，选择调节时间（2%的误差带）Ts=1s,超调量σ%=4%，则由公式
，
可解得：
ξ=0.7157，ωn=5.5889
运用公式：
，
算出期望配置的极点坐标为：
-P1=-4+j3.9033,-P2=-4-j3.9033
3.1.2第二组极点配置
由以上指标要求，选择调节时间（2%的误差带）Ts=0.2s,超调量σ%=2%，则由公式：
，
可解得：
ξ=0.7796，ωn=25.6542
运用公式：
，
算出期望配置的极点坐标为：
-P1=-20+j16.0667,-P2=-20-j16.0667
3.2状态观测器的设计
3.2.1第一组极点
（1）用MATLAB软件计算状态观测器的方程：
已经验证过系统是状态完全能观的。
通过该系统的对偶系统极点配置求出状态反馈阵K，则状态观测器的增益阵为。
设状态反馈阵，先按能控标准型进行极点配置求出Ky,再还原到非能控标准状态空间中，因此K=Ky*Tc,Tc为将对偶系统化成能控标准型的变换阵。
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];
B=[1.3611;0];
C=[01];
D=0;
A=A';
B=C';
C=B';
D=0;
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）;
denf=[1831.2358];
k1=den（:
3）-denf（:
3）
k2=den（:
2）-denf（:
2）
ky=[k1k2]
Qc=[BA*B];
p1=[01]*inv（Qc）;
Tc=[p1;p1*A]
K=ky*Tc
Kz=-K'
C=[01];
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];
Az=A-Kz*C
（2）计算结果：
k1=
609.9254
k2=
26.9997
ky=
609.925426.9997
Tc=
0.00020
-0.00851.0000
K=
-0.081626.9997
Kz=
0.0816
-26.9997
Az=
1.0e+003*
-0.0350-0.0002
4.10740.0270
状态反馈k=[-0.081626.9997]
因此，观测器的增益阵为,状态观测器的增益阵
Az=[A-Kz*c]=，则状态观测器的方程为：
3.2.2第二组极点
（1）用MATLAB软件计算状态观测器的方程：
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];
B=[1.3611;0];
C=[01];
D=0;
A=A';
B=C';
C=B';
D=0;
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）;
denf=[140658.1380];
k1=den（:
3）-denf（:
3）
k2=den（:
2）-denf（:
2）
ky=[k1k2]
Qc=[BA*B];
p1=[01]*inv（Qc）;
Tc=[p1;p1*A]
K=ky*Tc
Kz=-K'
C=[01];
A=[-34.9997-0.1561;4107.3750];
Az=A-Kz*C
（2）计算结果：
k1=
-16.9768
k2=
-5.0003
ky=
-16.9768-5.0003
Tc=
0.00020
-0.00851.0000
K=
0.0385-5.0003
Kz=
-0.0385
5.0003
Az=
1.0e+003*
-0.0350-0.0001
4.1074-0.0050
状态反馈k=[0.0385-5.0003]
因此，观测器的增益阵为,状态观测器的增益阵
Az=[A-Kz*C]=，则状态观测器的方程为：
3.3状态观测器的仿真图
在SIMULINK仿真界面下画出带有状态观测器的系统结构图，并进行仿真，所绘图形如图3—1所示：
图3—1
3.4原系统加了状态观测器后的仿真结果图及分析
3.4.1第一组极点
给定220V时，绘出系统的阶跃图如图图3—2：
当给定220v电压时，输出转速n
系统输出y和状态观测器z的误差
图3—2
最大峰值转速：
2013.33rad/min,稳态转速：
1918.27rad/min，所以超调量为：
σ%=（2013.33-1918.27）/1918.27*100%=4.96%，满足设计要求。
到稳态值时的时间为：
0.4531s,所以调节时间肯定满足设计要求。
稳态转速为：
1918.27rad/min，额定转速为：
1918rad/min,稳态误差为：
Ess=（1918.27-1918）/1918*100%=0.01%,满足设计要求。
由上可知：
三项指标均满足设计要求，所以说明极点配置合理。
3.4.2第二组极点
给定220V时，绘出系统的阶跃图如图图3—3：
当给定220v电压时，输出转速n
系统输出y和状态观测器z的误差
图3—3
由上图可得出相关参数为：
最大峰值转速：
2013rad/min,稳态转速：
1918.26rad/min，所以超调量为：
σ%=（2013-1918.26）/1918.26*100%=4.94%，满足设计要求。
到稳态值时的时间为：
0.4531s,所以调节时间肯定满足设计要求。
稳态转速为：
1918.26rad/min，额定转速为：
1918rad/min,稳态误差为：
Ess=（1918.26-1918）/1918*100%=0.01%,满足设计要求。
由上可知：
三项指标均满足设计要求，所以说明极点配置合理。
4状态观测器极点配置与PID方法的比较
在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。
PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。
当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。
即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。
PID控制，实际中也有PI和PD控制。
PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。
4.1直流电机转速、电流PID控制的设计
（1）simulink仿真如图4—1所示:
图4—1
（2）仿真结果如图4—2所示：
图4—2
说明：
此处所用仿真图为我上一个课程设计时设计的，我们当初做实验时，受实验设备的限制，故指导老师要求，电机的额定转速选择的是1500rad/min。
由上图可以得出数据如下：
转速的最大值为：
1798rad/min,转速的稳态值为1446rad/min,由此可以计算出系统的超调量为：
σ%=（1798-1446）/1446*100%=24.34%；
调节时间Ts=0.266s；
稳态误差为：
Ess=（1500-1446）/1500*100%=3.6%。
4.2两种方法的比较
从以上计算结果可以看出（可能会由于实验设备陈旧或者测量误差的缘由，实验数据会有误差存在）：
除了调节时间满足要求的性能指标外，超调量和稳态误差均不满足设计指标，所以性能还是比较差的。
将经过PID调节后的系统与利用状态观测器设计之后系统的性能进行比较，可见，利用极点配置的状态观测器无论是超调量还是稳态误差都要好很多，所以可以得出结论，本报告中，利用极点配置的状态观测器控制要优于PID控制。
设计心得
通过本次课程设计，我加深了对线性系统理论基础课程的认识与理解，将课本上学到的理论知识与物理世界中的真实系统进行了紧密联系，并利用matlab与simulink软件对整个设计过程做了较多的计算与仿真,进一步熟悉了对这两种软件的应用。
在设计过程中，我发现matlab真的是一个很好的软件，它可以将人们从繁杂的计算过程中解脱出来，从而替代人们以更加精确的简单语句快速的得出计算数据。
同样的，simulink也是一款很好用的软件，他可以将以前只能在实物或者通过电子元件搭建起来的系统通过简单的模拟模型选择与连接运行出仿真结果，从而简单直观的看到调节各种参数对输出结果的影响，从而避免了很多错误的发生，也节约了设备的投资。
另一方面，对于本次的直流电机转速的调节，我们尝试了通过极点配置设计状态观测器来对原系统进行修正，实验结果也令人满意，各项性能指标都能很好地满足设计指标。
最后，我还通过将《直流拖动自动控制系统》课程设计中所设计的转速、电流PID控制与本次设计的状态观测器进行了比较，得出了后者优于前者的结论。
在课程设计的过程中我深刻的体会到了团队合作的重要性与大家一起讨论的优点，在讨论的过程中，我学到了很多，队友们也告诉我了很多以前没有注意到的地方与一些技巧，真可谓人多力量大，并且在每次的讨论中，我都可以学习到新的知识，感觉对自己特别有帮助。
所以，在此，首先感谢指导老师的耐心辅导，帮助我解决了很多疑惑，其次，感谢帮助过我的同学教给我的新知识。
参考文献
[1]陈伯时.电力拖动自动控制系统[M].北京：
机械工业出版社，2007.
[2]侯媛彬、稽启春等.现代控制理论基础[M].北京：
北京大学出版社，2007.
[3]王建辉、顾树生.自动控制原理[M].北京：
清华大学出版社.
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