3
或p≥2，又因为p∈[0,5]，所以使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的p
2（1-2）+（5-2）
3
2.
的取值范围为（,1][2,5]，故所求的概率3=2，故填：
35-03
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.
【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x轴负半轴有两个交点.从而得到参数p的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.
题型三抽样与样本数据特征
例1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，
400
，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
件．
【答案】18
【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300⨯60
1000
=18（件）．
例2已知样本数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值x=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，
⋅⋅⋅，2xn+1的均值为．
【答案】11
【解析】
因为样本数据x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值x=5，又样本数据2x1+1，
2x2+1，⋅⋅⋅，2xn+1的和为2（x1+x2++xn）+n，所以样本数据的均值为2x+1＝11.
例3某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，
发现消费金额（单位：
万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中的a=.
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为.
万万/万万
a
2.5
2.0
1.5
0.8
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9万万/万万
【答案】a=3人数为0.6⨯10000=6000
【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得
0.2⨯0.1+0.8⨯0.1+1.5⨯0.1+2⨯0.1+2.5⨯0.1+a⨯0.1=1，解之得a=3.
于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2⨯0.1+0.8⨯0.1+2⨯0.1+3⨯0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6⨯10000=6000.
例4某城市100户居民的月平均用电量（单位：
度），以[160,180），
[180,200），[200,220），[220,240），[240,260），[260,280），[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．
万万
0.012
5
0.011
0.0095
x
0.005
0.0025
0.002
万万
0160180200220240260280300万万万万万万/万
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220,240），[240,260），[260,280），[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220,240）的用户中应抽
取多少户？
【答案】见解析
【解析】
（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）⨯20=1，
得x=0.0075．
2
220+240=230
（2）由图可知，月平均用电量的众数是.
因为（0.002+0.0095+0.011）⨯20=0.45<0.5，
又（0.002+0.0095+0.011+0.0125）⨯20=0.7>0.5，
所以月平均用电量的中位数在[220,240）内.
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）⨯20+0.0125⨯（a-220）=0.5，得a=224，所以月平均用电量的中位数是224.
（3）月平均用电量为[220,240）的用户有0.0125⨯20⨯100=25（户）；月平均用电量为[240,260）的用户有0.0075⨯20⨯100=15（户）；
月平均用电量为[260,280）的用户有0.005⨯20⨯100=10（户）；月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025⨯20⨯100=5（户）.
11
=
1
25+15+10+5
5
抽取比例为，
所以从月平均用电量在[220,240）的用户中应抽取25⨯1=5（户）．
5
【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小.
题型四回归与分析
例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图
万
万1.80
万
万1.60
万万
万1.40
万
万1.20
万万
1.00
y
0.80
1234567
年份代码t
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
7
y=9.32，
7
∑
i=1
7
（y-y）
2
i
ty=40.17，=0.55，≈2.646.
7
∑i
i=1
∑ii
i=1
n
∑（ti-t）（yi-y）
∑
i=1
n
n
（t-t）（y-y）
2
∑
2
i
i
i=1
参考公式：
相关系数r=i=1
n
回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑（ti-t）（yi-y）
n
b=i=1a=y-bt.
∑（ti-t）2
i=1
【答案】见解析
72
【解析】
（1）由折线图中数据和附注中参考数据得t=4，∑（ti-t）=28，
i=1
∑（
7
2
y-y
i
）
i=1
=0.55，
∑7（t-t）（y-y）=∑7ty-t∑7y=40.17-4⨯9.32=2.89≈2.89≈.
，r0.99
iiiii0.55⨯2⨯2.646
i=1i=1i=1
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
7777
∑（ti-t）（yi-y）7∑tiyi-∑ti⋅∑yi
∑
i=1
7
7
（t-t）⋅（y-y）
2
∑
2
i
i
i=1
∑
i=1
7
（t-t）
2
i
i=1
∑
i=1
7
（y-y）
2
i
（1）变量y与t的相关系数r=i=1=i=1i=1，
7⨯⋅
∑
7
（t-t）2
i
i=1
777
7
又∑ti=28，∑yi=9.32，∑tiyi=40.17，=2=5.292，
i=1i=1i=1
∑
i=1
7
（y-y）
2
i
=0.55，
所以r=7⨯40.17-28⨯9.32≈0.99
7⨯5.292⨯0.55，故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.
ty-7t⋅y1
17∑7
ii40.17-7⨯4⨯7⨯9.32
（2）t=4，y=∑y，所以bˆ=i=1==0.10，
i
7i=1i
∑7
i=1
t2-7t228
aˆ=y-bˆx=1⨯9.32-0.10⨯4≈0.93，所以线性回归方程为yˆ=0.1t+0.93.
7
当t=9时，yˆ=0.1⨯9+0.93=1.83.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨.
【易错点】没有读懂题意,计算错误.
【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.题型五独立性检验
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
115
106
124
103
例1甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？
（）A．甲B．乙C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】D因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强
【巩固训练】
题型一古典概型
1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．
【答案】5
6
【解析】将先后两次点数记为（x,y），则基本事件共有6⨯6=36（个），
其中点数之和大于等于10有（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6），共6种，则点数之和小于10共有30种，所以概率为30=5．
366
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）.
A.
18
1
15
1
14
1
12
1
B．C．D．
【答案】C
P=3=1
4515
【解析】不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两数有45（种）情况，其中两数相加和为30的有7和23，11和
19，13和17，共3种情况，根据古典概型得.故选C.
3.袋中有形状、大小都相同的
4只球，其中1只白球，1只红球，
2只黄球，从
2
中一次随机摸出
P=5
6
【答案】
只球，则这2只球颜色不同的概率为．
【解析】1只白球设为
a，1只红球设为b，2只黄球设c为
，d，
则摸球的所有情况为（a,b），（a,c），（a,d），（b,c），（b,d），（c,d），共6件，
满足题意的事件为（a,b），（a,c），（a,d），（b,c），（b,d），共5件，故概率为P=5．
6
题型二几何概型
1.某公司的班车在7:
00，8:
00，8:
30发车，学.小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概
率是（）.
A.F
（1）1
3
B.1
2
F
（1）C.F
（2）2
3
D.3
4
【答案】B
【解析】如图所示，画出时间轴.
7:
307:
407:
508:
008:
108:
208:
30
ACDB
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段
AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟.
根据几何概型，所求概率P=10+10=1.故选B.
402
2.从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1,y1），（x2,y2），…，
（xn,yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）.
4n2n4m
A.mB.mC.
2mn
nD.
【答案】C
【解析】由题意得：
（xi△△△△yi）（i=1
2
⋅⋅⋅n）
在如图所示方格中，而平方和小于1的
π
4=mπ=4m
点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知1n，所以
C．
n.故选
3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，
AB
三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边，AC，
△ABC
的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在
整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，
p2
，p3，则
A.
p1=p2+p3
p2=p3
p1=p3
p1=p2
B．C．D．
【答案】A
【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域面积即可.设直角三角形ABC的三个角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则区域Ⅰ
的面积为S1
=1ab，
2
区域Ⅱ的面积为
1⎛1⎫21⎛1⎫211⎛1⎫21
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
S2=2πç2c⎪+2πç2b⎪+2ab-2πç2a⎪=2ab，
2
2
区域Ⅲ的面积为S=1π⎛1c⎫+1π⎛1b⎫-1ab=1πa2-1ab.
32ç2⎪2ç2⎪282
⎝⎭⎝⎭
显然p1=p2.故选A.
题型三抽样与样本的数据特征
1.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．
【答案】10
【解析】平均数
x=1（4+6+5+8+7+6）=6．6
2.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：
万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的a=；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.
【答案】3；6000
【解析】频率和等于1可得0.2⨯0.1+0.8⨯0.1+1.5⨯0.1+2⨯0.1+2.5⨯0.1+a⨯0.1=1，解之得a=3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2⨯0.1+0.8⨯0.1+2⨯0.1+3⨯0.1=0.6，
所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：
0.6⨯10000=6000，故应填
3；6000.
3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数
据按照[0,0.5），[0.5,1），⋅⋅⋅，[4,4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方
图.
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
【答案】见解析
【解析】
（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为
0.08⨯0.5=0.04，同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.
由0.04+0.08+0.5⨯a+0.20+0.26+0.5⨯a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30.
（2）由
（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人
数为300000⨯0.12=36000.
（3）因为前6组的频率之和为0.04-0.08-0.15-0.20-0.26-0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15-0.20-0.26=0.73<0.85，所以2.5„
x<3.
由0.3⨯（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9.
题型四回归与分析
1.
收入x（万
元）
8.2
8.6
10.
0
11.
3
11.9
支出y（万
元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社
bˆ=0.76,aˆ=y-bˆx
yˆ=bˆx+aˆ
区一户收入为15万元家庭年支出为（）
A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元
D．12.2万元
【答案】B
【解析】由已知得
x=8.2+8.6+10.0+11.3+11.9=105
y=6.2+7.5+8.0+8.5+9.8=85
（万元），
（万元），故aˆ=8-0.76⨯10=0.4，
所以回归直线方程为
yˆ=0.76x+0.4．当社区一户收入为15万元，家庭年支出为
0.4=11.8
yˆ=0.76⨯15+
（万元）．故选B．
2.为了研究某班学生的脚长x（单位：
厘米）和身高y（单位：
厘米）的关系，
y
从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与x之间有线性相
10
关关系，设其回归直线方程为yˆ=bˆx+aˆ．已知∑xi
i=1
10
∑
=225，yi=1600，bˆ=4．该
i=1
班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）.
A.160B.163C.166D.170
【答案】C
【解析】
故选C.
x=22.5，y=160，所以a=160-4⨯22.5=70，x=24时，y=4⨯24+70=166.
3.
t
某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）
对年销售量
y（单位：
）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣
传费xi和年销售量计量的值．
yi（i=1,2,⋅⋅⋅,8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统
万万万万/t
620
600
580
560
540
520
500
480
343638404244464850525456
万万万万/万万
wi=
xi
x
y
w
∑8（）2
x
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