有理数的教案.docx

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有理数的教案

具有相反意义的量

【教学目标】

1、理解正数、负数的意义，会用正数、负数表示具有相反意义的量。

并让学生感受数学来源于现实生活，培养学生对数学的学习兴趣。

2、通过思考、归纳，完成从整数集和分数集到有理数数集分扩展。

并掌握有理数的概念以及有理数的分类

3、培养学生发散思维，渗透化归、分类的数学思想方法。

【教学重点】

有理数的概念以及分类

【教学难点】

有理数分类的探究以及分类中小数的理解。

【教学过程】

一、应用生活，回顾旧知

数的概念是随着生产和生活的需要而不断发展的，在现实生活中，我们常碰到一些量，它们具有相反意义，比如：

盈利与亏损，收入与支出，增加与减少，上升与下降，等等，小学中我们已经学习了负数，知道正数和负数可以表示具有相反意义的量.

如果我们把在银行中存款当作正，那么从银行中提款便是负.

如果把树的位置当作0，我们规定树右边的位置为正，那么树左边的位置便是负.

思考1：

1.如果把收入50元记作50元，那么下列各数分别表示什么意义？

（1）20元;

（2）2.5元；（3）

元；（4）0元.

2.如果6摄氏度用

表示，那么零下4摄氏度如何表示？

练习：

1、在知识竞赛中，如果用+20分表示加20分，那么扣20分怎样表示？

2、东西为两个相反的方向，如果—4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？

物体原地不动记为什么？

二、学习新课

正数，负数的概念：

像

等数叫做正数，在正数前面加上“-”的数叫做负数，如

等，有时为了强调符号，在正数前面加上“+”，如

等，零既不是正数也不是负数.零和正数又可以称为非负数.

例题1把数

分别填在表示正数和负数的圈里.

解：

在这些数中，正数有

负数有

.

思考2

老师提问：

0能放到以上两个圈中吗？

回答：

不能！

强调理由：

零既不是正数又不是负数.

-----------------------零是正数和负数的分界.

对于这一点要作为重点强调，也要学生真正的理解.

71，-5，0分别是一个正整数，负整数和零，它们都是整数.

都是正分数，而

和

是负分数，它们都是分数.

分数是由正分数和负分数组成的.

整数和分数统称为有理数.

有理数

在这里指出对于一个分数来说，它总可以化为有限小数或循环小数，反之有限小数和循环小数也总可以化为分数。

所以，有限小数和循环小数也是有理数。

那么无限不循环小数不是有理数。

学习了分数后，我们可以再说明一个问题，这个问题是十分重要的.

[注]如果我们把整数看成是分母为1的分数，那么在这个意义下，所有的有理数都是分数.

例题2在下列数中，哪些是整数？

哪些是正数？

哪些是负数？

哪些是有理数？

解：

是整数;

是正数;

是负数;

都是有理数.

.

补充：

有理数还可以这样分类

三、巩固练习

1．如果规定向东走为正，那么走

米表示什么意义？

如果规定向南走为正，那么走

米又表示什么意义？

2.任意写出6个正数与6个负数，分别把它们填入相应的大括号里：

正数：

负数：

3.下列各数分别表示什么数？

将它们分别填在相应的圈里：

正数负数非负数

强调：

非负数的概念，零和正数.

四、自主小结，深化提高

通过今天的课，你有什么收获？

有什么感受？

五、布置作业

1.复习所学的知识

2.预习新课

教学反思：

数轴

【教学目标】

使学生知道数轴上有原点、正方向和单位长度，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数，知道有理数都可以用数轴上的点表示；向学生渗透对立统一的辩证唯物主义观点及数形结合的数学思想。

【内容简析】

本节课是数轴的第一课时，在学生学了有理数概念的基础上，从标有刻度的温度计来表示温度高低这个事实出发引出数轴画法和用数轴上点表示数的方法，可以使学生借助图形的直观来理解有理数的有关问题，突出知识的产生过程，也为以后学习实数奠定基础。

本节的重点是掌握数轴的概念和画法，明确其三要素缺一不可。

数轴上的点与有理数的对应关系的理解是难点。

教学中要求学生多动手，增强对“形”的感性认识，培养动手、动脑和实际操作能力。

【教学过程】

一、情景创设

1．有理数包括哪些数？

0是正数还是负数？

2．温度计的用途是什么？

类似于这种用带有刻度的物体表示数的东西还有哪些（直尺、弹簧秤等）？

数学中，在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零。

二、新知探索

1．请学生阅读新课第8-10页，思考并讨论：

①零上25℃用正数_____表示。

0℃用数____表示；零下10℃用负数_____表示。

②数轴要具备哪三个要素？

③原点表示什么数？

原点右方表示什么数？

原点左方表示什么数？

④表示+2的点在什么位置？

表示-3的点在什么位置？

⑤原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？

原点向左1

个单位长度的B点表示什么数？

2．数轴的画法

师生共同总结数轴的画法步骤：

第一步：

画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；（相当于温度计上的0℃。

）

第二步：

规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。

相反的方向就是负方向；（相当于温度计0℃以上为正，0℃以下为负。

）

第三步：

适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。

（相当于温度计上1℃占1小格的长度。

）

在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。

3．数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。

直线也不一定是水平的。

三、范例共做

例1：

判断下图中所画的数轴是否正确？

如不正确，指出错在哪里？

分析：

原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。

解答：

都不正确，

（1）缺少单位长度；

（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。

例2：

把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：

（1）2，-1，0，

，+3.5

（2）-5，0，+5，15，20；

（3）-1500，-500，0，500，1000。

分析：

要在数轴上表示数，首先要正确画出数轴，标明原点、正方向（一般从左到右为正方向）和单位长度这三要素，然后再表示数，第

（1）题，数不大，单位长度取1cm代表1，第

（2）、（3）题数轴较大，可取1cm分别代表5和500。

数轴上原点的位置要根据需要来定，不一定要居中，如第

（1）题的原点可居中，

（2）的原点可偏左，（3）的原点可偏右，单位长度也应根据需要来确定，但在同一条数轴上，单位长度不能变。

表示某个数的点，在图形上一定要用较大的“．”突出来，并且在数轴上写出该点表示的数。

这样画出的图形较合理、美观。

例3：

借助数轴回答下列问题

（1）有没有最小的正整数？

有没有最大的正整数？

如果有，把它指出来；

（2）有没有最小的负整数？

有没有最大的负整数？

如果有，把它标出来。

解答：

观察数轴易知：

（1）有最小的正整数，它是1，没有最大的正整数；

（2）没有最小的负整数，有最大的负整数，它是-1．

四、检测反馈

1．判断下图中所画的数轴是否正确？

（1）

（2）

2．下面数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？

3．将-3、1.5、

、-6、2.25、

、-5、1各数用数轴上的点表示出来。

4．画一条数轴，并在上面标出下列的点。

±100±200±300

提示：

1．图

（1）是数据标注错误；图

（2）的画法是正确的，在以后的学习中会遇到。

五、小结提高

1．数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；

2．画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。

六、巩固练习

七、课后思考

1．一个点从原点开始，按下列条件移动两次后到达终点，说出它是表示什么数的点？

（1）向右移动

个单位长度，再向左移动2个单位。

（2）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度。

2．数轴上表示3和-3的点离开原点的距离是多少？

这两个点的位置有什么不同？

3．数轴上到原点的距离是5的点有几个？

它们分别表示什么数？

4．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画一条长100cm的线段AB，则线段AB盖住的整数点有（）

A．99个或100个B．100个或101个

C．99个或101个D．99个、100个或101个

有理数的大小比较

【教学目标】

使学生进一步理解有理数与数轴上的点的对应关系；巩固在数轴上由数找点、由点读数的方法；会借用数轴直观的进行有理数的大小比较，体会数形结合的数学思想。

【内容简析】

本节课内容是数轴的一个简单应用，利用数轴比较有理数的大小。

小学有关比较正整数、正分数、正小数的大小的知识是本节学习比较有理数大小的基础。

从温度计的刻度表示温度高低来类比数轴上的点所表示的有理数的大小的方法是很自然的。

本节的重点是利用数轴比较有理数的大小，并归纳出一般规律；将多个有理数按要求用不等号连接是本节的难点。

【教学过程】

一、旧知再现

1．将-5、2.5、

、-4、3.25、

、-4、0、1各数用数轴上的点表示出来。

2．下面数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？

3．用“＜”或“＞”填空：

（简单复习小学有关比较正整数、正分数、正小数的大小的知识）

2517；0.90.85；3.72.9；

；

。

二、新知探索

观察温度计的刻度，发现上边的温度总比下边的高。

类似地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

进一步观察数轴，发现所有的负数都在“0”的左边，所有的正数都在“0”的右边，这说明什么？

由学生归纳出：

正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

三、范例共做

例1：

比较–3，0，2的大小。

分析一：

先在数轴上分别找到表示–3、0、2的点，由“右边的数总比左边的数大”得到–3＜0＜2；

分析二：

直接由“正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数”的规律得出–3＜0＜2。

例2：

把下列各组数用“＜”号连接起来．

（1）–10，2，–14；

（2）–100，0，0.01；

（3）

，–4.75，3.75。

解：

（1）–14＜–10＜2；

（2）–100＜0＜0.01；

（3）–4.75＜3.75＜

。

说明：

按题意用“＜”号连接，解题中不能用“＞”号连接，否则与题意不符，更不能把“＜”与“＞”混用，如第

（1）小题不能写成“–10＜2＞–14”或者写成“2＞–14＜–10”的形式。

四、反馈检测

1．在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（C）

（A）正数（B）整数（C）非负数（D）非正数

2．下列说法正确的个数为（C）

①数轴上所有的点都表示有理数；②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大；③在数轴上表示–2的点与表示+3的点距离为1；④在数轴上表示–

的点位于原点左边，距原点

个单位。

（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个

3．若有理数a＜b，在数轴上点A和点B分别表示数a和数b,那么下列说法正确的是（B）

（A）点A在点B的右边（B）点A在点B的左边

（C）点A在原点左边，点B在原点右边（D）点A和点B都在原点右边

4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来。

6，1.5，–6，

，0，–0.5，

五、小结提高

比较有理数大小法则是：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“＜”号连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦．另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，则比较更方便些．

六、巩固练习

1．把下列各组数用“＜”号连接起来：

–

，–

，–

。

3．数轴上在

与

之间表示整数的点有_______个。

3．一个点从数轴上的原点开始，①先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位长度，到达的终点表示的数是_______；②先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，到达的终点表示的数是_______；③先向左移动6个单位长度，再向右移动4个单位长度，到达的终点表示的数是________；④先向右移动8个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是______。

相反数

【教学目标】

使学生了解互为相反数的几何意义；会求一个已知数的相反数；会对含有多重符号的数进行化简；培养学生的观察、归纳与概括的能力；渗透数形结合思想。

【内容简析】

本节内容较为简单，经过教师适当引导，便可使学生充分参与认知过程。

由于“新”知识与有关的“旧”知识的联系较为直接，在教学中应着力引导观察、归纳和概括的过程。

重点是理解相反数的代数定义与几何定义，熟练地求出一个已知数的相反数；难点是多重符号的数的化简问题。

【教学过程】

一、旧知再现

1．在数轴上分别找出表示各数的点。

6与–6，–

与

，–2.5与2.5

2．观察数6与–6，–

与

，–2.5与2.5有何特点？

，观察每组数所对应的两个点的位置关系有什么规律？

学生归纳：

每组中的两个数只有符号不同，他们所对应的两点分别在原点的两侧，到原点的距离相等。

二、新知探索

总结相反数的定义：

代数定义：

只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

几何定义：

在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

说明：

“互为相反数”的含义是相反数是成对出现的，因而不能说“–6是相反数”；“0的相反数是0”是相反数定义的一部分。

这是因为0既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是O，这是相反数等于它本身的唯一的数。

三、范例共做

例1：

判断下列说法是否正确：

（1）–5是5的相反数；（）

（2）5是–5的相反数；（）

（3）5与–5互为相反数；（）

（4）–5是相反数；（）

（5）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

（）

解答：

√；√；√；×；√。

例2：

（1）分别写出9、–7、0.2的相反数；

（2）指出–2．4各是什么数的相反数．

（3）a的相反数是什么？

分析：

由特殊到一般，归纳出一般结论：

“a的相反数是–a”。

其中a可表示任意正数、负数和零。

由“a的相反数是–a”可得，求任意一个数的相反数就可以在该数前面加上一个“–”号，即改变该数的符号。

思考：

（1）–（+1.2）表示什么含义？

（2）–（–6）表示什么含义？

（1）中–（+1.2）表示1.2的相反数，即–（+1.2）=–1.2；

（2）中–（–6）表示–6的相反数，即–（–6）=6。

例3：

填空

（1）–（+7）是的相反数，–（+7）=；

（2）–（–2.9）是的相反数，–（–2.9）=；

（3）+（–2）=；–[–（–9）]=。

分析：

一个数前面加“+”可以省略，故+（–2）=–2；–[–（–9）]即将–9的符号改变两次，故–[–（–9）]=–9。

四、检测反馈

五、小结提高

1．只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；

2．相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；

3．正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“–”的功能是对一个数的符号予以改变。

含多重符号的数（非零），其符号取决于所含“–”（负）号的个数，当含偶数个“–”（负）号时，该数的符号为“+”（正）；当含奇数个“–”（负）号时，该数的符号为“–”（负）。

六、巩固练习

1．教材P.611—5；

2．一个数的相反数是最小的自然数，则这个数是（）

A.0B.1C.–1D.1或–1

3．下面四对数中互为相反数的是（）

A.

与–2B.–1与–[–（–1）]

C.0.25与–

D.2与–（–2）

4．下面说法①若a为正数，则–a＜0；②若–a为负数，则a＜0；③若a为非负数，则–a≤0；④若–a为非正数，则a≥0，其中正确的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

5．如果–x＞x，那么x一定是（）

A.负数B.正数C.非正数D.非负数

6．若果–（a–b）是负数，那么a–b0；若果–[–（a+b）]是负数，那么a+b0。

7．一个正数越大，它的相反数就越；一个负数越小，它的相反数就越；

8．简化符号：

+[–（–1.5）]=；–{–[–（–1.6）]}=。

解答：

绝对值

（1）

【教学目标】

使学生初步理解绝对值的概念；明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值；会在已知一个数的绝对值条件下求这个数；培养学生用数形结合思想解决问题的能力，渗透分类讨论的数学思想。

【内容简析】

绝对值是中学数学中一个非常重要的概念，它具有非负性，在数学中有着广泛的应用。

本节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念，重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值，对绝对值的几何意义、代数定义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点。

【教学过程】

一、旧知再现

1．在数轴上分别标出–5，3.5，0及它们的相反数所对应的点。

2．在数轴上找出与原点距离等于6的点。

3．相反数是怎样定义的？

引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义。

从几何方面可以说在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数；从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数。

那么互为相反数的两个数有什么特征相同呢？

由此引入新课，归纳出绝对值的几何意义。

二、新知探索

1．绝对值的几何意义

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

如|–5|=5，|3.5|=3.5，|–6|=6，|6|=6，|0|=0。

2．绝对值的表示方法

数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”。

3．绝对值的代数定义（性质）

通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？

在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？

由学生分类讨论，归纳出数a的绝对值的一般规律：

①一个正数的绝对值是它本身；

②一个负数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0。

即：

①若a＞0，则|a|=a；

②若a＜0，则|a|=–a；

③若a=0，则|a|=0；

或写成：

。

4．绝对值的非负性

由绝对值的定义可知绝对值具有非负性，即|a|≥0。

三、范例共做

例1：

在数轴上标出下列各数，并分别指出它们的绝对值：

8，–8，

，–

，0，–3。

分析：

本例旨在巩固绝对值的几何意义。

例2：

计算：

（1）|0.32|+|0.3|；

（2）|–4.2|–|4.2|；

（3）|–

|–（–

）。

分析：

求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。

在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。

解答：

（1）0.62；

（2）0；（3）

。

四、反馈检测

五、小结提高

1．对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2．求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。

六、巩固练习

1．下列说法正确的是（C）

A．一个数的绝对值一定是正数B．一个数的绝对值一定是负数C．一个数的绝对值一定不是负数D．一个数的绝对值的相反数一定是负数2．如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数（C）

A．必为正数B．必为负数

C．一定不是正数D．一定不是负数

3．下列语句正确的个数有（）

①若a=b，则|a|=|b|；②若a=–b，则|a|=|b|；③若|a|=|b|，则a=b；④若|a|=b，则a=b；⑤若|a|=–b，则a=–b；⑥若|a|=b，则a=±b。

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．绝对值等于4的数是（）

A．4B．–4C．±4D．以上均不对

5．计算：

|–（+3.6）|+|–（–1.2）|–|–[+（–4）]|

七、课后思考

已知|x–2|+|y–3|+|z–4|=0，求x+y–z的值。

绝对值

（2）

【教学目标】

使学生进一步巩固绝对值的概念；会利用绝对值比较两个负数的大小；培养学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想。

【内容简析】

前面已经学习了利用数轴比较两个有理数的大小的方法，本节是在讲了绝对值概念之后，介绍利用绝对值比较两个负数的大小的方法，这既可以巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步，利用绝对值，就可以不必借助数轴比较两个有理数大小了。

本节的重点是利用绝对值比较两个负数的大小；利用绝对值比较两个异分母负分数的大小是教学中的难点。

【教学过程】

一、旧知再现

1．复习绝对值的几何意义和代数意义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2．复习有理数大小比较方法：

在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于一切负数和0，负数小于一切正数和0，0大于一切负数而小于一切正数。

二、新知探索

引例：

比较大小

（1）|–3|与|–8|；|–

|与|–

|；

（2）4与–5；0.9与1.2；–8与0；–7与–1。

解答：

（1）|–3|＜|–8|；|–

|＞|–

|；

（2）4＞–5；0.9＜1.2；–8＜0；–7＜–1.5。

通过练习一方面进一步巩固绝对值概念，另一方面又回顾了两个正整数、正分数、正小数、正数与0、0与负数、正数与负数的大小比较方法，对于两个负数可以借助于数轴比较大小，但较繁琐。

通过观察几组负数的大小与他们的绝对值的大小的关系，便可发现两个负数的大小规律：

|–3|＜|–8|–3＞–8

|–

|＞|–

|–

＜–

|–7|＞|–1.5|–7＜–1.5

两个负数，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大。

三、范例共做

例1：

比较大小

（1）–0.3与–0.1；

（2）–

与–