第20章平行四边形的判定教案.docx

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第20章平行四边形的判定教案

20．1平行四边形的判定

（1）

教学目的

1．使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形；

2．理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形

3．能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形。

教学重点和难点

重点：

平行四边形的判定定理；

难点：

掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。

教学过程

（一）复习提问：

1.什么叫平行四边形？

平行四边形有什么性质？

（学生口答，教师板书）

2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来。

（如果……那么……）

根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？

除了定义还有什么方法？

平行四边形性质定理的逆命题是否成立？

（二）新课

一．平行四边形的判定：

方法一（定义法）：

两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形

解析：

一个四边形只要其两组

对边分别互相平行，则可判定

这个四边形是一个平行四边形。

活动：

用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等。

方法二：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

设问：

这个命题的前提和结论是什么？

已知：

四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC

求证：

四边ABCD是平行四边形。

分析：

判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是须证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角等。

连结BD。

易证三角形全等。

（见图1）

板书证明过程。

小结：

用几何语言表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明一个四边形是平行四边形的方法为：

判定一：

二组对边分别相等的四边形是平行四边形

∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形

练习：

课本P103练习题第1题。

例题讲解：

例1已知：

如图3，E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点，连结BE、DF。

求证：

分析：

由我们学过平行四边形的性质中，

对角相等，得若证明四边形EBFD为平行

四边形，便可得到

，哪么如何证明该四边形为平行边形呢？

可通过证明ΔABE≌ΔCDF得BE=DF；由AD=BC，E、F分别为AD和BC的中点得ED=FB。

练习：

2.已知如图7，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH。

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

（让学生板演）

本课小结：

一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形这个判定定理来判定一个四边形是平行四边形。

作业布置：

课本P100第4题、第7题。

20．1平行四边形的判定

（2）

教学目的：

1、掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行有关的论证和计算；

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

教学重点：

掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形。

教学难点：

判定定理的证明方法及运用。

教学过程：

一．复习引入：

（1）．我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形？

（提问回答）

二、新课讲解

设问：

若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？

活动：

课本探究内容，并用事准备好的纸条（纸条的长度相等），先将纸条放置不平行位置，让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点，则组成的四边形是不是平行四边形？

若将纸条摆放为平行的位置，则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形？

设问：

我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？

（让学生找出题设、结论，然后写出已知、求证及证明过程。

）

小结：

平行四边形判定方法五：

前提：

若一个四边形有一组对边平行且相等。

结论：

这个四边形是一个平行四边形。

如图用几何语言表达为：

∵AB=CD且AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

平行且相等可用符号“”，读作“平行且相等”。

∵ABCD

∴四边形ABCD是平行四边形

三．例题讲解：

例1：

已知：

E、F分别为平行

四边形ABCD两边AD、BC的中点

，连结BE、DF

求证：

分析：

今天我们证明角相等，除了平行线，全等三角形外，又多了一个新方法，可以证明平行四边形对角相等，即只要四边形EBFD是平行四边形。

由已知平行四边形ABCD的性质可得DE//BF，又AD＝BC，E、F为中点则有DE＝BF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形EBFD是平行四边形。

证明由学生完成。

提问：

此题还有什么方法，证明四边形BEDF是平行四边形。

学生会想到证明

，得到BE＝DF，利用两组对边相等证明四边形是平行四边形。

但应指出第二种方法较第一种方法繁，也就是说要找出较简捷的证法，准确地使用判定定理，就要先分析图形的性质，及所具备的条件。

练习：

课本练习

小结

今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形，注意满足两个条件。

注意：

若一组对边平行，另一组对边相等，是不可以判定为平行四边形的，它是梯形。

作业布置：

20．1平行四边形的判定（3）

教学目的：

1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；

2．理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；

3．培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；

教学重点：

理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。

教学难点：

判定定理的证明方法及运用。

教学过程：

一．复习导入

1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？

2．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？

3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？

是否是真命题？

二、新课讲解：

设问：

“对角线互相平分的四边形是平行四边形。

”这一命题的前提什么？

结论又是什么？

活动：

用事先准备好的纸条按课本探究方法做，让学生判定这个四边形是否是平行四边形。

判定方法三：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

这个方法的前提是什么？

结论又是什么？

已知：

如图：

在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，OA=OC，OB=OD。

求证：

四边形ABCD是平行四边形。

分析：

证明这个四边形是平行四边形

的方法有：

（1）两组对边分别相等；

（2）平行四边形的定义：

两组对边分别平行。

（较简单的）

板书证过程。

小结：

由刚才证明可得，只要有

对角线互相平分，可判定这个四

边形是平行四边形。

几何语言表达：

∵OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形

例题讲解：

课本P104例2。

分析：

由题意可得OB=OD，

再由OA=OC，AE=CF，可得OE=OF。

可证四边形EBFD是平行四边形。

设问：

若是两组对角分别相等的四边形，是不是平行四边形？

前提是什么？

结论是什么？

BC

A

已知：

在四边形ABCD中，

∠A=∠C∠B=∠D。

AD

求证：

四边形ABCD是平行四边形（让学生板书，然后小结）

练习：

延长三角形ABC的中线BD至E，

使DE=BD，连结AE、CE，如图，

求证：

∠BAE=∠BCE。

证明方法：

由对角线互相平分可证四边形ABCE为平行四边形，可得∠BAE=∠BCE。

本课小结：

目前，我们研究平行四边形的哪些性质和判定：

平行四边形的性质：

对边平行；对边相等；对角线互相平分；夹在平行线间的平行线段相等；对角相等；邻角互补；

平行四边形的判定：

两组对边平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分的四边形；

作业布置：

1、熟记判定定理；

2．课本作业

20．2矩形

教学目标：

1．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力

2．通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想

教法设计：

观察、启发、总结、提高，类比探讨，讨论分析，启发式．

教学重点：

矩形的判定．

教学难点：

矩形的判定及性质的综合应用．

教具学具准备：

教具（一个活动的平行四边形）

教学步骤：

一．复习提问：

1．什么叫做平行四边形？

什么叫做矩形？

2．矩形有哪些性质？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？

有什么不同之处？

二．引入新课

设问：

1．矩形的判定．

2．矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法，下面就来研究这些方法．

方法1：

对角钱相等的平行四边形是矩形．（并让学生写出推理过程。

）

矩形判定方法2：

有三个角是直角的四边形是矩形．（分析判定方法2和学生一道写出证明过程。

）

归纳矩形判定方法（由学生小结）：

（1）一个角是直角的平行四边形．

（2）对角线相等的平行四边形．

（3）有三个角是直角的四边形．

2．矩形判定方法的实际应用

除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．

3．矩形知识的综合应用。

（让学生思考，

然后师生共同完成）

例：

已知

的对角线

，

相交于

，

△

是等边三角形，

，

求这个平行四边形的面积

分析解题思路：

（1）先判定

为矩形．

（2）求出

△

的直角边

的长．（3）计算

．

三．小结：

（1）矩形的判定方法l、2都是有两个条件：

①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等．判定方法3的两个条件是：

①是四边形，②有三个直角．

矩形的判定方法有哪些？

一个角是直角的平行四边形

对角线相等的平行四边形-—是矩形。

有三个角是直角的四边形

（2）要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．

八、布置作业

20．3菱形判定

教学目的：

1、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形是菱形；

2、会用这些定理进行有关的论证和计算；

3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。

教学重点：

菱形的判定方法。

教学难点：

定理的证明方法及运用。

教学程序

一、复习提问：

1．什么样的平行四边形是菱形？

2．菱形有什么性质？

3．有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？

二．新课讲解

设问：

（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？

有哪两个条件？

（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形？

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

提问：

这个命题的前提是什么？

结论是什么？

已知：

在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，

求证：

平行四边形ABCD是菱形。

分析：

我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD，得平行四边形ABCD是菱形。

（I板书证明过程。

）

方法二：

四边相等的四边形的菱形。

设问：

如何证明这个命题呢？

（让学生思考并证明）

几何证言表达：

在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD是菱形。

小结：

（1）菱形判定方法，填写下表。

应具备两个条件

菱形的定义

菱形判定方法一（定义）

判定方法1

判定方法2

练习：

（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。

（）

（2）对角线互相平分的四边形是菱形。

（）

（3）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形。

（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。

（）

综合应用练习

（1）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：

四边形OCED是菱形。

四．作业布置

20．4正方形判定

教学目的

1．掌握正方形的判定方法．

2．通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力．

3．通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美

教学设计：

小结、归纳、提高

教学重点：

正方形的判定方法．

教学难点：

正方形判定方法的应用．

教学过程：

一．复习提问

1．矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？

2．正方形是怎样的特殊平行四边形？

正方形，菱形有什么关系？

正方形有什么性质？

二．讲解新课

我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：

1．四条边都相等；

2．四个角都是直角．

因此，正方形可以看作为：

有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．

这些实际上就是判定正方形的方法．

例如图20．4．1，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：

四边形CFDE是正方形．

分析要证明四边形CFDE是正方形，可以先证四边形CFDE是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形CFDE是菱形，然后再证有一个角是直角．

证明∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．

又∵∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°，

∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），

∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

正方形的判定方法：

提问：

1：

对角线相等的菱形是正方形吗？

2：

对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

3：

对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

4：

四条边都相等的四边形是正方形吗？

为什么？

5：

说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

三．小结：

（1）判定一个四边形为正方形的基本方法：

定义法，矩形菱形法．

（2）正方形的性质较多，在证题时要灵活应用．

2．思考题：

已知如图，正方形

的边长

为1，

、

上都有一点

、

，

如果△

周长为2，求

度数．

四．布置作业：

P118。

1。

2

20．5梯形判定

教学目标：

1．理解、掌握并会运用等腰梯形的性质。

2．培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法，能用它们解决简单的问题。

教学重点：

梯形的有关判别方法及其应用。

教学难点：

探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法。

教学过程：

一、复习提问：

1．什么样的几何图形是梯形？

什么样的几何图形是等腰梯形？

2．等腰梯形有何特殊性质？

二、新课讲解

我们已经知道，两腰相等的梯形是等腰梯形．通过它，我们可以判定一个梯形是不是等腰梯形．除此之外，我们还可以利用下面的方法判定等腰梯形

（一）判别等腰梯形的方法一：

定义：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

提问：

1、从定义中，要判定一个四边形是等腰梯形，需要什么条件？

Ａ

2．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡD∥ＢC，∠B=∠C，

ＤＥ∥AＢ且交BC于点E。

问题一：

AB=ED吗？

为什么？

问题二：

∠DEC=∠C吗？

Ｅ

C

问题三：

由此你得到什么结论？

B

注意：

先让学生独立思考，然后再讨论完成问题。

（二）判别等腰梯形的方法二：

结论：

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

（让学生写出已知、求证、证明，然后教师加以讲评）

注意：

等腰梯形判别的用几何语言表达为：

如图：

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC

∴梯形ABCD是等腰梯形（定义法）

2.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D

∴梯形ABCD是等腰梯形（判定法）

随堂练习：

课本练习题1。

2，

三．小结

1.我们今天学习了哪几种方法判定一个梯形是等腰梯形？

2.如何用几何语言表达等腰梯形的判定方法？

四、作业布置

P122。

1。

2

等腰梯形的判定

【教学目的】：

1、由类比的学习方法，在猜想的基础上，论证学习等腰梯形的两个判定定理；

2、通过对几何证明题的逻辑分析，进一步深化学生的推理能力；

3、通过课堂的紧凑练习，加强学生答题的规范化，渗透“细节决定成败”的思想；

4、培养学生课堂学习的好习惯“勤于动脑、勤于动手，勤于动笔；想清楚，理顺序，条

理清晰。

”

【教学重点】：

等腰梯形的两个判定定理：

“同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”及“两条对角线相等的梯形是等腰梯形”

【教学难点】：

对几何证明问题的分析，对所学知识点的应用。

【教学方法】：

启发式、探究式教学法

【教学策略】：

1、采用学案的形式呈现问题，加大课堂教学容量；

2、教师注重课堂教学中对图形的应用，适当用好多媒体；

3、教师要注意课堂教学中解题的示范性。

一.课题引入

如图1，有一张等腰三角形纸片,怎样剪出一个以等腰三角形的底边为下底的等腰梯形?

请说出剪法,画出示意图,并说明理由.

等腰梯形的判定方法之一：

（定义）的梯形是等腰梯形.

练习一

如图2，△ABC中，AB=AC，DE∥BC.求证：

四边形DBCE是等腰梯形.

证明：

∵DE∥BC，DB不平行EC，∴四边形DBCE是

∵AB=AC，∴∠B=∠

∵DE∥BC，∴∠B=∠，∠C=

∴∠=∠，

∴=，∴=.

四边形DBCE是等腰梯形.

二.学习新知

例1.如图,已知在梯形ABCD中,

AD//BC，∠B=∠C.

求证:

梯形ABCD是等腰梯形.

等腰梯形的判定方法之二：

的梯形是等腰梯形.

例2.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AC=BD.

求证：

梯形ABCD是等腰梯形

等腰梯形的判定方法之三：

的梯形是等腰梯.

练习二

1.如图

（1），已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=5cm，当CD=cm，梯形ABCD是等腰梯形;

如图

（2），已知梯形ABCD中，AD//BC，∠A=1300，当∠D=0，梯形ABCD是等腰梯形;

如图（3），已知梯形ABCD中，AD//BC，当AC与BD满足（大小关系），梯形ABCD是等腰梯形.

2.如图，梯形ABCD，AD∥BC，BE=CE，EF⊥AB于F，EG⊥DC于G，且EF=EG.

求证：

梯形ABCD是等腰梯形.

证明：

∵EF⊥AB，EG⊥DC

∴△BEF和△CEG是三角形，

∵=，=，

∴△BEF≌△CEG（），

∴=

∴梯形ABCD是等腰梯形.

3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠1=∠2.求证:

梯形ABCD是等腰梯形.

证明：

AD∥BC

∠1=∠2

梯形ABCD

梯形ABCD是等腰梯形.

4.如图,矩形ABCD中,点E,F在边AD上

AE=FD,

求证:

四边形EBCF是等腰梯形.

三.小结

1.证明一个梯形是等腰梯形：

（1）两腰的梯形是等腰梯形；

（2）同一底上的两个底角的梯形是等腰梯形；

（3）两条对角线的梯形是等腰梯形.

2.证明一个四边形是等腰梯形，分两步证明：

第一步：

证明四边形是；

第二步：

证明是等腰梯形.

3.解决梯形问题常画的辅助线有以下几种：

四.作业

1.如图

（1），是有六个等边三角形围成的图形，那么图中共有个等腰梯形.

如图

（2），梯形ABCD中，∠B=∠C，EF∥BC，那么图中共有个等腰梯形.

2.下列说法正确的是（）.

A.对角线相等的四边形是等腰梯形

B.有两条边相等的梯形是等腰梯形

C.如果一个四边形四个内角的度数比为1：

1：

2：

2，则这个四边形为等腰梯形

D.梯形的对角线相等

3．如图，已知线段a、b、c.求作：

等腰梯形ABCD，使AD∥BC，且AB＝a，BC＝c，AC＝b．

4．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE＝DF．求证：

四边形BCFE是等腰梯形．

5.如图，梯形ABCD，AB∥CD，E、F在AB上，AE=BF，DE=CF.

求证梯形ABCD是等腰梯形.

第20章小结与复习

教学目标

1．利用基本图形结构使本章内容系统化．

2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．

3．总结常用添加辅助线的方法．

4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．

重点：

平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．

难点：

提高数学思维能力．

教学过程：

理解本章基本图形的形成、变化和发展过程

本章知识结构图，如图

说明：

（1）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；

（2）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；

（3）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；

三、师生共同小结

1.基本方法.

（1）利用基本图形结构使知识系统化；

（2）证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；

（3）利用变换思想添加辅助线的方法；

（4）探求解题思路时的分析、综合法.

2.基本思想及观点：

（1）“特殊——一般——特殊”认识事物的方法；

（2）集合、方程、分类讨论及化归的思想；

（3）用类比、运动的思维方法推广命题.

四、随堂练习

1.已知：

如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：

AE=BF.

2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，ㄥAOD=60°.求证：

△EFG是等边三角形.

3.已知：

如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：

MN=12（AB-CD）.