第2章谓词逻辑习题及答案.docx
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第2章谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题
1.将下列命题用谓词符号化。
(1)小王学过英语和法语。
(2)2大于3仅当2大于4。
(3)3不是偶数。
(4)2或3是质数。
(5)除非李键是东北人,否则他一定怕冷。
解:
(1)令:
x学过英语,Q(x):
x学过法语,c:
小王,命题符号化为
(2)令:
x大于y,命题符号化为
(3)令:
x是偶数,命题符号化为
(4)令:
x是质数,命题符号化为
(5)令:
x是北方人;:
x怕冷;:
李键;命题符号化为
2.设个体域,消去下列各式的量词。
(1)
(2)
(3)(4)
解:
(1)中,显然对y是自由的,故可使用规则,得到
,因此,再用规则,
,,所以
(2)中,它对y不是自由的,故不能用规则,然而,对
中约束变元y改名z,得到,这时用规则,可得:
(3)略
(4)略
3.设谓词表示“等于”,个体变元和的个体域都是。
求下列各式的真值。
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
解:
(2)当时可使式子成立,所以为。
(3)当时就不成立,所以为。
(4)任意的使得,显然有的情况出现,所以为。
(4)存在使得,显然当时是一种情况,所以为。
(5)存在x,任意的y使得成立,显然不成立,所以为。
(6)任意的y,存在x,使得成立,显然不成立,所以为。
4.令谓词表示“说德语”,表示“了解计算机语言”,个体域为杭电全体学生的集合。
用、、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
(1)杭电有个学生既会说德语又了解。
(2)杭电有个学生会说德语,但不了解。
(3)杭电所有学生或会说德语,或了解。
(4)杭电没有学生会说德语或了解。
假设个体域为全总个体域,谓词表示“是杭电学生”。
用、、、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解:
(ⅰ)个体域为杭电全体学生的集合时:
(1)
(2)
(3)
(4)
(ⅱ)假设个体域为全总个体域,谓词表示“是杭电学生”时:
(1)
(2)
(3)
(4)
5.令谓词表示“爱”,其中和的个体域都是全世界所有人的集合。
用、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
(1)每个人都爱王平。
(2)每个人都爱某个人。
(3)有个人人都爱的人。
(4)没有人爱所有的人。
(5)有个张键不爱的人。
(6)有个人人都不爱的人。
(7)恰有一个人人都爱的人。
(8)成龙爱的人恰有两个。
(9)每个人都爱自己。
(10)有人除自己以外谁都不爱。
解:
:
王平:
张键:
张龙
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)
(8)
(9)(10)
§2.2谓词公式及其解释
习题2.2
1.指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
(1)
(2)
(3)
解:
(1)x是指导变元,的辖域是,对于的辖域而言,x是约束变元,y是自由变元。
(2)都为指导变元,的辖域是,的辖域是;对于的辖域而言,都为约束变元,对于的辖域而言,x是自由变元,y是约束变元。
(3)为指导变元,的辖域是,的辖域是,的辖域是;对于的辖域而言,为约束变元,z为自由变元,对于的辖域而言,z为自由变元,y为约束变元,x即为约束变元也为自由变元,对于的辖域而言,x为约束变元,是自由变元。
在整个公式中,即为约束变元又为自由变元,z为自由变元。
2.判断下列谓词公式哪些是永真式,哪些是永假式,哪些是可满足式,并说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
解:
(1)易知公式是的代换实例,而
是永真式,所以公式是永真式。
(2)易知公式是的代换实例,而
是永真式,所以公式是永真式。
(3)易知公式是的代换实例,而
是永假式,所以公式是永假式。
(4)易知公式是的代换实例,而
是永真式,所以公式是永真式。
(5)易知公式是的代换实例,而
是永真式,所以公式是永真式。
(6)易知公式是的代换实例,而
是永假式,所以公式是永假式。
(7)易知公式是的代换实例,而
是可满足式,所以公式是可满足式。
§2.3谓词公式的等价演算与范式
习题2.3
1.将下列命题符号化,要求用两种不同的等价形式。
(1)没有小于负数的正数。
(2)相等的两个角未必都是对顶角。
解:
(1):
x为负数,:
x是正数,:
x小于y,命题可符号化为:
或
(2)略
2.设、和都是谓词,证明下列各等价式
(1)
(2)
(3)
(4)
证明:
(1)左边=
=
==右边
(2)左边=
=
==右边
(3)左边=
=
==右边
(4)左边=
=
==右边
3.求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)前束析取范式
前束合取范式
(2)原式前束析取范式
前束合取范式
(3)原式
前束析取范式
前束合取范式
(4)原式
§2.4谓词公式的推理演算
习题2.4
1.证明:
证明:
(1)左边
=
2.指出下面演绎推理中的错误,并给出正确的推导过程。
(1)①P规则
②规则:
①
(2)①P规则
②规则:
①
(3)①P规则
②规则:
①
(4)①P规则
②规则:
①
(5)①P规则
②规则:
①
(6)①P规则
②规则:
①
解:
(1)②错,使用规则应对前束范式,而①中公式不是前束范式,所以不能用规则。
(2)②错,①中公式为,这时,,因而使用规则时,应得A(a)(或A(y)),故应有,而不能为。
3.用演绎法证明下列推理式
证明:
①前提引入
②①
③前提引入
④T①③
⑤④
⑥T②
⑦T⑤⑥
⑧⑦
4.将下列命题符号化,并用演绎推理法证明其结论是有效的。
(1)有理数、无理数都是实数;虚数不是实数。
因此,虚数既不是有理数,也不是无理数。
(个体域取全总个体域)
(2)所有的舞蹈者都很有风度;万英是个学生并且是个舞蹈者。
因此,有些学生很有风度。
(个体域取人类全体组成的集合)
(3)每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车;每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车;有的人不喜欢乘汽车。
所以有的人不喜欢步行。
(个体域取人类全体组成的集合)
(4)每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱;每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱;有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。
因此有些旅客坐经济舱。
(个体域取全体旅客组成的集合)
解:
(2)证明:
设P(x):
x是个舞蹈者;Q(x):
x很有风度;S(x):
x是个学生;a:
王华
上述句子符号化为:
前提:
、结论:
(1)P
(2)P
(3)
(2)
(4)T
(1)I
(5)T(3)(4)I
(6)T
(1)I
(7)T(5)(6)I
(8)(7)
](3)命题符号化为:
F(x):
x喜欢步行(x):
x喜欢骑自行车,H(x):
x喜欢坐汽车。
前提:
,,
结论:
.
证明:
(1)P
(2)
(1)
(3)P
(4)(3)
(5)T
(2)(4)I
(6)P
(7)(6)
(8)T(5)(7)I
(9)(8)
(4)命题符号化为:
F(x):
x坐头等舱,G(x):
x坐经济舱,H(x):
x富裕。
前提:
,,,
结论:
.
证明:
(1)P
(2)
(1)
(3)P
(4)(3)
(5)T
(2)(4)I
(6)P
(7)(6)
(8)T(5)(7)I
(9)(8)
5.令谓词、、和分别表示“是婴儿”,表示“的行为符合逻辑”、“能管理鳄鱼”和“被人轻视”,个体域为所有人的集合。
用、、、、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
(1)婴儿行为不合逻辑。
(2)能管理鳄鱼的人不被人轻视。
(3)行为不合逻辑的人被人轻视。
(4)婴儿不能管理鳄鱼。
请问,能从
(1)、
(2)和(3)推出(4)吗?
若不能,请写出
(1)、
(2)和(3)的一个有效结论,并用演绎推理法证明之。
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
能从
(1)
(2)(3)推出(4)。
证明:
(1)P(x)前提假设
(2)前提引入
(3)T规则:
(1),
(2)
(4)P规则
(5)T规则:
(3),(4)
(6)P规则
(7)拒取式
(8)规则