高三统一质量检测理科数学含答案.docx

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高三统一质量检测理科数学含答案

2021-2022年高三3月统一质量检测理科数学含答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：

本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若集合

，则

A．B．或

C．D．

2.已知向量,,,则“”是“”的

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．B．C．D．

4.双曲线的渐近线方程为

A．B．C．D．

5.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是

A．B．C．D．

6.函数图象的一条对称轴方程可以为

A．B．C．D．

7.过点作圆的两条切线，切点分别为和，则弦长

A．　　　B．　　　C．　　　D．

8.已知实数满足约束条件

，则的最小值是

A．B．C．D．1

9.由曲线，直线所围成封闭的平面图形的面积为

A．B．C．D．

10.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意，；

（2）对任意，

．

关于函数的性质，有如下说法：

①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．

其中所有正确说法的个数为

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知（），其中为虚数单位，则；

12.已知随机变量服从正态分布，若，为常数,则；

13.二项式展开式中的常数项为；

14.如图所示是一个四棱锥的三视图，

则该几何体的体积为；

15.已知函数

，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为.

三、解答题：

本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在中,分别是角的对边，且

.

（Ⅰ）求的大小;

（Ⅱ）若，,求的面积.

17．（本小题满分12分）

年月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为、、、，并且各个环节的直播收看互不影响．

（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;

（Ⅱ）若用表示该班某一位同学收看的环节数,求的分布列与期望．

18．（本小题满分12分）

如图几何体中，四边形为矩形，，，，，.

（Ⅰ）若为的中点，证明：

面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知是等差数列，首项，前项和为.令,的前项和.数列是公比为的等比数列，前项和为，且，.

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）证明：

.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆的中心为原点，离心率，其一个焦点在抛物线的准线上，若抛物线与直线相切．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点在椭圆上运动时，设动点的运动轨迹为．若点满足：

，其中是上的点，直线与的斜率之积为，试说明：

是否存在两个定点，使得为定值？

若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）当时，对于，求证：

．

青岛市高三统一质量检测

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：

本大题共10小题．每小题5分，共50分．

CACBCDADBC

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.12.13.14．15．或

三、解答题：

本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由

得：

………………………………………………………2分

，………………………………………………………………………4分

，又

……………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：

，………………………………………………………………8分

又，，……………………………10分

………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解:

（Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件,

则

.…………………………………………………4分

（Ⅱ）由条件可知可能取值为.

即的分布列

…………………………………………………………………10分

的期望

.………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以………………………………………………………………………2分

面，面，

所以面………………4分

（Ⅱ）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面…………………………………………………………6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由

，令

………………………………………………………………………………8分

设面的法向量

，

由

，令

……………………………………………………………………………10分

设二面角的平面角为，

则

…………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为

所以

则

则

解得，所以……………………………………………………4分

所以，

所以………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

要证，

只需证

即证：

……………………………………………………………………………8分

当时，

下面用数学归纳法证明：

当时，

（1）当时，左边，右边，左右，不等式成立

（2）假设，

则时，

时不等式成立

根据

（1）

（2）可知：

当时，

综上可知：

对于成立

所以

………………………………………………………12分

20．（本小题满分13分）

解：

（I）由

，

抛物线与直线相切，

……………………………………………………2分

抛物线的方程为：

，其准线方程为：

，

离心率，，

故椭圆的标准方程为…………………………………………………………5分

（II）设，，

则

当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹

的轨迹方程为：

………………………………………………………7分

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此…………………………………………9分

因为点在椭圆上，

所以

，

故

所以，从而可知：

点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为．…………………………………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）函数的定义域为，．

当时，，在上为增函数，没有极值；……………1分

当时，，

若时，；若时，

存在极大值，且当时，

综上可知：

当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时，

…………………………………………………………4分

（Ⅱ）函数的导函数，

，，……………………………………5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，则问题可转化为：

对于，，由于，

当时，，

，，

，从而在上为减函数，

………………………………………………………………………………………9分

（Ⅲ）当时，，令，则，

，且在上为增函数

设的根为，则，即

当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，

，，

由于在上为增函数，

…………………………………………………………………………14分2286426FE2濢324917EEB绫=249856199憙D

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