三角恒等变换和解三角形题型总结有参考答案.docx
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三角恒等变换和解三角形题型总结有参考答案
三角恒等变换和解三角形基本知识回顾（2009年11月19日）
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantan
tan
1tantan
令
sin2
2sincos
令
cos2
cos2
sin2
2cos2
112sin2
cos2
＝1+cos2
2
sin2
＝1cos2
2
tan2
2tan
1tan2
如（）下列各式中，值为1
的是
A、sin15cos15
、
cos
2
sin
2
C
、
1
2
B
12
12
tan22.5
D、
1
cos30
（答：
C）；
1tan222.5
2
0，命题Q：
tanA
tanB
0，则P是Q的
（2）命题P：
tan（A
B）
A、充要条件
B、充分不必要条件
C、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件（答：
C）；
（3）已知sin（
）cos
cos（
）sin
3
，那么cos2
的值为____（答：
7
）；
5
25
（4）
1
3
的值是______（答：
4）；
sin10
sin80
（5）已知tan1100
a，求tan500的值（用a表示）甲求得的结果是a
3，乙求得的结
1
3a
果是
1a
2
2a
，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：
甲、乙都对）
2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：
一角二名三结构。
即首先观察角与
角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换.
如
（
）
（
）
，2
（
）（
），
2（
）
（
），
2
2
，
2
2
2
等），
如
（1）已知tan（
）
2
，tan（
）
1
，那么tan（
）的值是_____（答：
3）；
5
4
4
1
4
2
22
（2）已知0
，且cos（
）
，sin（
）
）的
2
2
9
，求cos（
值（答：
490
2
3
3
）；（3）已知,
为锐角，sin
x,cos
y，cos（
）
，则y与
729
5
x的函数关系为______（答：
y
31
x2
4x（3
x
1）
）
5
5
5
（2）三角函数名互化（切化弦），
2010级高三数学第1页
如
（1）求值sin50（1
3tan10）（答：
1）；
（2）已知sin
cos
1,tan（
）
2，求tan（
2）的值（答：
1）
1
cos2
3
8
（3）公式变形使用（tan
tan
tan
1tantan
。
如
（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB
tanA
tanB
1，则cos（A
B）＝_____
（答：
2
）；
2
（2）设
ABC中，tanA
tanB
3
3tanAtanB，sinAcosA
3
，则此
三角形是____三角形（答：
等边）
4
（4）三角函数次数的降升（降幂公式：
cos2
1
cos2
，sin2
1cos2
与升幂公式：
2
3
2
1cos2
2cos2
，1
cos2
2sin2
）。
如
（1）若
（,
），化简
2
1
1
1
1
为_____（答：
sin
）；
（2）函数f（x）
5sinxcosx
2
2
2
2
cos2
53cosx
2
2
5
3（x
R）的单调递增区间为
（答：
[k
k
5]（kZ））
2
12
12
（5）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。
如
（1）tan（cossin）
sin
tan
（答：
sin
）；
（2）求证：
1
sin
1
tan
2；（3）化简：
cot
csc
1
2sin
2
2
1
tan
2
1
2cos4x
2cos2x
2（答：
1
cos2x）
2tan（
4
x）sin
2
（
4
x）
2
（6）常值变换主要指“1”的变换（1sin2x
cos2x
sec2
xtan2x
tanx
cotx
tan4
sin2
等），如已知
tan
2
，求
sin
sin
cos
3cos
（答：
5
2
2
3）.
（7）正余弦“三兄妹—sinxcosx、sinxcosx”的内存联系――“知一求二”，如
（1）若
sinx
cosx
t，则sinxcosx
t2
1
），特别提醒：
这里t
[
2,
2]；
（2）
__（答：
2
若
（0,
）,sin
cos
1，求tan
的值。
（答：
4
7）；（3）已知
2sin2
2
3
sin2
k（
），试用k表示sin
cos
的值（答：
1
k）。
1
tan
2
4
3、辅助角公式中辅助角的确定：
asinx
bcosx
a2
b2
sin
x
（其中
角所在的象
限由a,
b的符号确定，
角的值由tan
b
确定）在求最值、化简时起着重要作用。
如
（1）若方
a
程sinx
3cosx
c有实数解，则c的取值范围是___________（.答：
[－2,2]）；
（2）当函数
2010级高三数学第2页
y
2cosx
3sinx取得最大值时，tanx的值是______（答：
3
）；（3）如果
2
f
x
sin
x
2cos（x
）是奇函数，则tan
=（答：
－2）；（4
）求值：
3
1
64sin220________答（：
32）
sin220
cos220
4、求角的方法：
先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有
二：
一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。
如
（1）若
（0,
），且tan
、tan
是方程x2
5x6
0的两根，则求
的值______（答：
3
）；
（2）ABC中，3sinA
4cosB
6,4sin
B3cos
A1，则
C＝_______（答：
4
3
）；（3）若0
2
且sin
sin
sin
0，cos
cos
cos0，
的值（答：
2
求
）.
5、.
3
三角形中的有关公式：
（1）内角和定理：
三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是
锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
（2）正弦定理：
a
b
c
R
R
为三角形外接圆的半径）.注意：
①正弦定理的
sinA
sinBsinC
2（
a
b,sinC
一些变式：
i
a
b
c
sinA
sinBsinC；ii
sinA
sinB
c
2R
2R
a
2RsinA,b
2RsinB,b
2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形
；iii
2R
时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
（3）余弦定理：
a2
b2
c2
2bccosA,cosA
b2
c2
a2
等，常选用余弦定理鉴定三角
形的形状.
2bc
（4）
面积公式：
1
1
1
（其中
为三角形内切圆半径）.如
S
2aha
2absinC
2r（ab
c）
r
ABC中，若sin2
Acos2B
cos2Asin2
Bsin2C，判断
ABC的形状（答：
直角三角
形）。
特别提醒：
（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
ABC这个特殊性：
A
B
C,sin（A
AB
C
；
（2）求解三角形中含有边角混合关系
B）sinC,sin
2
cos
2
AB
a、b
1
，
的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
如（）ABC
中，、的对边分别是
且A=60
a
6,b
4，那么满足条件的ABC
A、有一个解
B、有两个解
C、无解
D、不能确定（答：
C）；
（2）在ABC中，A＞B是sinA
sinB成立的_____条件（答：
充要）；
（3）在
ABC
中，
（1
tanA）（1
tanB）2
，则
log
2sinC
1
ABC
＝
（答：
）；
在
2
（4）
中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若（a
bc）（sinAsinB
sinC）
3asinB，则
＝
（答：
）；（5）在
ABC
中，若其面积
a2
b2
c2
（答：
，则
C
____
60
S
4
3
C=____
30）；（6）在
ABC中，A60
b1，这个三角形的面积为
3，则ABC外接圆的直径
2010级高三数学第3页
是_______（答：
239）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
1
3
B
C=，b2
1
9
a
3,cosA
则cos2
c2的最大值为
（答：
;
）；（8）在△
3
2
3
2
ABC
中
AB=1
，
，则角
C
的取值范围是
（答：
0C
）；（）设
O
是锐角三角形
BC=2
9
6
ABC
的外心，若C
75，且
AOB,BOC,
COA的面积满足关系式
SAOB
SBOC
3SCOA，求A（答：
45）．
两角和与差的三角函数
（2009年11月20日）
例1．求［2sin50°+sin10（1+°
3tan10°）］·2sin280
的值.
解：
原式=2sin50
sin10
3sin10
1
2sin80
cos10
=（2sin50
sin10
cos10
3sin10）
2sin80
cos10
1cos10
3sin10
=
2sin50
2sin10
2
2
2cos10
cos10
=
2sin50
2sin10sin40
2cos10
cos10
=2sin60
2cos10
22sin60
cos10
=
22
3
6.
2
变式训练1：
（1）已知
∈（
），sin
=
3
则tan（
）等于（
2
5
4
1
B.7
C.－
1
D.－7
A.
7
7
（2）sin163sin223°+sin253°sin313°等°于
（
）
A.－1
B.
1
C.－
3
D.
3
2
2
2
2
解：
（1）A
（2）B
例2.已知α（
，3），β（0，）,cos（α－
）＝3
，sin（3
＋β）＝5
4
4
4
4
5
4
13
解：
∵α－
＋3
＋β＝α＋β＋
2
4
4
α∈（
3
β∈（0,
1
sinx1）
）
1
4
4
3
∴α－
∈（0,
）
β＋3∈（3
π）
4
2
4
4
）
，求sin（αβ）＋的值．
2010级高三数学第4页
∴sin（－α
）＝4
cos（3
）＝－12
4
5
4
13
∴sin（＋αβ）＝－cos[＋（α＋β）]
2
＝－cos[（－α
）＋（3
）]＝56
4
4
65
变式训练2：
设cos（
－
）=－1
，sin（
2
－β）=2
，且π＜
＜π，0＜β＜π，
2
9
3
2
2
求cos（+β）.
解：
∵π＜
＜π，0＜β＜π，∴π＜α－＜π，－π＜
－β＜π.
2
2
4
2
4
2
2
故由cos（
－）=－1，得sin（α－
）=4
5.
2
9
2
9
由sin（
－β）=2
，得cos（
－β）=
5.∴cos
=cos［（
－
）－（－β）］
2
3
2
3
2
2
2
=cos（
）cos（
）sin（
）sin（
）=
1
5
2
4
5
9
3
3
9
2
2
2
2
2
7
5
2
7
5
∴cos（
+β）=2cos
－1=2
27
2
27
239
-1=－.
例3.若sinA=5,sinB=10,且A,B均为钝角,求A+B的值.
510
解∵A、B均为钝角且sinA=5
sinB=
10，
5
10
∴cosA=-
1sin2A=-
2
=-25，
5
5
cosB=-1
sin2B=-3
=-310，
1010
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
=
25×310-5×10=
2
①
5
10
5
10
2
又∵
＜A＜
＜B＜
2
2
∴
＜A+B＜2
②
由①②知，A+B=7
.
4
2AC
7
变式训练3：
在△ABC中，角A、B、C满足4sin
--cos2B=,求角B的度数.
2
2
解
在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin2AC-cos2B=7,
22
2010级高三数学第5页
得
1cos（AC）
2
7
4·
2
-2cosB+1=
2
2
所以4cosB-4cosB+1=0.
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