有理数加减及混合运算教案.docx

有理数加减及混合运算教案.docx

《有理数加减及混合运算教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有理数加减及混合运算教案.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

有理数加减及混合运算教案

有理数的加法

（1）

问题：

一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?

我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答。

可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向。

二、讲授新课：

1．发现、总结：

我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负。

（1）若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是：

（+20）+（+30）=+50，

即这位同学位于原来位置的东方50米处。

这一运算在数轴上表示如图：

（2）若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，

写成算式就是：

（―20）+（―30）=―50。

（3）若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：

写成算式是（+20）+（―30）=―10，即这位同学位于原来位置的西方10米处。

（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：

（―20）+（+30）=（）。

即这位同学位于原来位置的（）方（）米处。

后两种情形中两个加数符号不同（通常可称异号），所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次（下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程）：

你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?

（+4）+（―3）=（）；（+3）+（―10）=（）；

（―5）+（+7）=（）；（―6）+2=（）。

再看两种特殊情形：

（5）第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是：

（―30）+（+30）=（）。

（6）第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：

（―30）+0=（）。

我们不难得出它们的结果。

2．概括：

综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得0；

4.一个数同0相加，仍得这个数.

注意：

一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。

3．例题：

例1：

计算：

①（+2）+（―11）；②（+20）+（+12）；③（―3.4）+4.3；

解：

①解原式=―（11―2）=―9；

②解原式=+（20+12）=+32=32；

③解原式=+（4.3―3.4）=0.9；

4．课堂练习：

三、课堂小结：

这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法则．今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．

应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事

第9：

有理数的加法

（2）

教学过程：

一、复习引入：

1．叙述有理数加法法则。

2．计算：

（1）6.18+（–9.18）；

（2）（+5）+（-12）；（3）（―12）+（+5）；（4）3.75+2.5+（–2.5）；

（5）

+（–

）+（–

）+（–

）。

说明：

通过练习巩固加法法则，暴露计算优化问题，引出新课。

二、讲授新课：

1．发现、总结：

①问题：

在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？

②探索：

任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，

并比较两个算式的运算结果。

□+○和○+□

任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和

◇内，并比较两个算式的运算结果。

（□+○）+◇和□+（○+◇）。

③总结：

让学生总结出加法的交换律、结合律。

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即a+b=b+a

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即（a+b）+c=a+（b+c）

这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。

2．例题：

例1：

计算：

（+26）+（―18）+5+（―16）；

原式=（26+5）+[（―18）+（―16）]=31+（―34）=―（34―31）=―3。

从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使运算简便吗?

例2：

10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：

2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。

求这10筐苹果的总重量。

解：

由题意得：

2+（―4）+2.5+3+（―0.5）+1.5+3+（―1）+0+（―2.5）=4

30×10+4=304。

答：

10筐苹果总重量是304千克。

例3：

运用加法运算律计算下列各题：

（1）（+66）+（―12）+（+11.3）+（―7.4）+（+8.1）+（―2.5）

（2）（+3

）+（―2

）+（―3

）+（―1

）+（+5

）+（+5

）

（3）（+6

）+（+

）+（―6.25）+（+

）+（―

）+（―

）

分析：

利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便；有分数相加时，利用运算律把分母相同的分数结合起来，将带分数拆开，计算比较简便。

一定要注意不要遗漏括号；相加的若干个数中出现了相反数时，先将相反数结合起来抵消掉，或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉，计算比较简便。

解：

（1）原式=（66+11.3+8.1）+[（―12）+（―7.4）+（―2.5）]

=85.4+（–21.9）=63.5

（2）原式=（3+

）+（5+

）+[―（2+

）]+[―（1+

）]+（5+

）+[―（3+

）

=3+5+

+

+（–2）+（–1）+（–

）+（–

）+5+（–3）+

+（–

）=2

（3）原式=（+6

）+（―6.25）+（

+

）+（―

）+（―

）=―

例4：

10袋小麦称重时以每袋90千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录数据如下：

+7，+5，–4，+6，+4，+3，–3，–2，+8，+1

请问总计是超过多千克还是不足多少千克？

这10袋小麦的总重量是多少？

分析：

这是一个实际问题，教学中要启发学生将实际问题转化为数学问题，通过讨论研究，列出算式7+5+（–4）+6+4+3+（–3）+（–2）+8+1按应用题格式求解。

3．课堂练习：

三、课堂小结：

三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。

常见技巧

（1）凑零凑整：

互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；

（2）同号集中：

按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；

（3）同分母结合：

把分母相同或容易通分的结合起来；

4）带分数拆开：

计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。

注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。

四、课堂作业：

第10：

有理数的减法

教学过程：

一、复习引入：

1．叙述有理数的加法法则。

2．计算：

①（―2）+（―6）②（―8）+（+6）

3．问题：

在月球表面，“白天”的温度可达127°C，太阳落下后的“月夜”气温竟下降到―183°C，请问在月球上温差是多少度？

（310°C）

通过分析启发学生应该用减法计算上题，从而引出新课。

二、讲授新课：

1．发现、总结：

①回忆：

我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

（减法是加法的逆运算）例如计算（―8）―（―3）也就是求一个数?

使（?

）+（―3）=―8。

根据有理数加法运算，有（―5）+（―3）=―8，所以（―8）―（―3）=―5。

①减法运算的结果得到了。

试一试：

再做一个填空：

（―8）+（）=―5，容易得到（―8）+（+3）=―5。

②比较①、②两式，我们发现：

―8“减去―3”与“加上+3”结果是相等的。

②再试一次：

10―6=（4），10+（―6）=（4），得10―6=10+（―6）。

③概括：

上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行。

有理数减法法则:

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

如果用字母a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：

a–b=a+（―b）。

2．例题：

例1：

计算：

（1）（―32）―（+5）；

（2）7.3―（―6.8）；（3）（―2）―（―25）；（4）12―21.

解：

减号变加号减号变加号

（1）（―32）―（+5）=（―32）+（―5）=―37。

（2）7.3―（―6.8）=7.3+6.8=14.1。

减数变相反数减数变相反数

（注意：

两处必须同时改变符号.）

（3）（―2）―（―25）=（―2）+25=23。

（4）12―21=12+（―21）=―9。

3．课堂练习

第11：

有理数的加减混合运算

（1）

教学过程：

一、复习引入：

1．叙述有理数加法法则。

2．叙述有理数减法法则。

3．叙述加法的运算律。

4．符号“+”和“―”各表达哪些意义?

5．化简：

+（+3）；+（―3）；―（+3）；―（―3）。

6．口算：

（1）2―7；

（2）（―2）―7；（3）（―2）―（―7）；（4）2+（―7）；

（5）（―2）+（―7）；（6）7―2；（7）（―2）+7；（8）2―（―7）。

二、讲授新课：

1．加减法统一成加法算式：

以上口算题中

（1），

（2），（3），（6），（8）都是减法，按减法法则可写成加上它们的相反数。

同样，（―11）―7+（―9）―（―6）按减法法则应为（―11）+（―7）+（―9）+（+6）这样便把加减法统一成加法算式。

再看16―（―2）+（―4）―（―6）―7写成代数和是16+2+（―4）+6+（―7）。

既然都可以写成代数和，加号可以省略，每个括号都可以省略，如：

（―11）―7+（―9）―（―6）=―11―7―9+6，读作“负11，负7，负9，正6的和”，运算上可读作“负11减7减9加6”；16+2+（―4）+6+（―7）=16+2―4+6―7，读作“正16，正2，负4，正6，负7的和”，运算上读作“16加2减4加6减7”。

2．加法运算律的运用：

既然是代数和，当然可以运用有理数加法运算律：

a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）。

例2：

计算：

―20+3―5+7。

解：

原式=―20―5+3+7=―25+10=―15。

注意这里既交换又结合，交换时应连同数字前的符号一起交换。

例3：

计算：

（1）

―

―

+

；

（2）（+9）―（+10）+（―2）―（―8）+3。

解：

（1）原式=

+

―

―

（2）原式=9―10―2+8+3

=1―1

=9+8+3―10―2

=―

；=20―12=8。

3．课堂练习：

三、课堂小结：

1．有理数的加减法可统一成加法2．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。

但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。

第12：

有理数的加减混合运算

（2）

一、复习引入：

1．什么叫代数和?

说出―6+9―8―7+3两种读法。

2．计算

（1）（―12）―（+8）+（―6）―（―5）

（2）（+3.7）―（―2.1）―1.8+（―2.6）

（3）（―16）+（+20）―（+10）―（―11）；

二、讲授新课：

1．概述：

在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化。

有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性。

2．例题：

例1：

计算：

①－24＋3.2―16―3.5+0.3；

解：

（1）因为原式表示―24，3.2，―16，―3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即原式=―24―16+3.2+0.3―3.5=―40。

例2：

―3、+5、―7的代数和比它们的绝对值的和小多少？

分析：

让学生理解代数和的概念、绝对值的和、比……小的问题的求法。

解：

由题意得：

（|―3|+|+5|+|―7|）―（―3+5―7）=（3+5+7）―（―5）=15+5=203．课堂练习：

三、课堂小结：

有理数的加减法可统一成加法，从而有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算。

第13：

有理数的乘法

（1）

教学过程：

一、复习引入：

1．计算：

（―2）+（―2）+（―2）。

2．有理数包括哪些数?

小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?

（非负数）

3．有理数加减运算中，关键问题是什么?

和小学运算中最主要的不同点是什么?

（符号问题）4．根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减，运算的关键是确定符号问题，你

能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?

（负数问题，符号的确定）

二、讲授新课：

1．师生共同研究有理数乘法法则：

（书上导入）

①研究实际问题：

问题1：

一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米?

我们知道，这个问题可用乘法来解答：

3×2=6，①即小虫位于原来位置的东方6米处。

注意：

这里我们规定向东为正，向西为负。

如果上述问题变为：

问题2：

小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变化?

这也不难，写成算式就是：

（－3）×2=－6，②即小虫位于原来位置的西方6米处。

②引导学生比较上面两个算式，有什么发现?

当我们把“3×2=6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，一般地，我们有：

把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.

③这是一条很重要的结论，应用此结论，3×（―2）=?

（―3）×（―2）=?

（学生答）把3×（―2）和①式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“―2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“―6”，即3×（―2）=―6。

把（―3）×（―2）和②式对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“―2”，所得的积应是原来的积“―6”的相反数“6”，即（―3）×（―2）=6。

此外，（―3）×0=0同3×0=0作比较。

④综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数同0相乘，都得0

⑤继而教师强调指出：

“同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”。

因此，在进行有理数乘法时更需时时强调：

先定符号后定值。

例如：

再如：

（－5）×（－3）···········同号两数相乘（－6）×4··············异号两数相乘

（－5）×（－3）＝＋（）············得正（－6）×4＝－（）················得负

5×3＝15·············把绝对值相乘6×4＝24··············把绝对值相乘

所以（－5）×（－3）＝15。

所以（－6）×4＝－24。

2．例题：

例1：

计算：

①（－5）×（－6）

解：

①原式=+（5×6）=+30=30。

3．课堂练习：

三、课堂小结：

今天主要学习了有理数乘法法则，要牢记两个负数相乘得正数，简单地说：

“负负得正”。

第14：

有理数的乘法

（2）

教学过程：

一、复习引入：

1．叙述有理数乘法法则。

2．计算：

（1）5×（―6）；

（2）（―6）×5；（3）［3×（―4）］×（―5）；（4）3×［（―4）×（―5）］；

二、讲授新课：

1．师生共同研究有理数乘法运算律：

①问题：

在小学里，我们曾经学过乘法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗？

②探索：

任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，

并比较两个算式的运算结果。

□×○和○×□。

任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和

◇内，并比较两个算式的运算结果。

（□×○）×◇和□×（○×◇）。

③总结：

让学生总结出乘法的交换律、结合律。

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

即ab=ba

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

即（ab）c=a（bc）④根据乘法交换律和结合律可以推出：

三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.2．问题：

计算：

（―2）×5×（―3），有多少种不同的算法？

你认为哪些算法比较好？

3．例题：

例1：

①计算：

（―10）×

×0.1×6。

解：

原式=―2。

②能直接写出下列各式的结果吗?

（―10）×

×0.1×6=；

③观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?

④再试一试：

―1×1×1×1×1=______；

―1×（―1）×1×1×1=______；

―1×（―1）×（―1）×1×1=______；

―1×（―1）×（―1）×（―1）×1=______；

―1×（―1）×（―1）×（―1）×（―1）=______。

⑤一般地，我们有几个：

不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。

几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.

4．课堂练习：

第15课时：

有理数的乘法（3）

教学过程：

一、复习引入：

1．计算：

（1）8+5×（―4）；

（2）（―3）×（―7）―9×（―6）

解：

原式=8+（―20）（先乘后加）解：

原式=21―（―54）（先乘后减）

2．再次强调：

在有理数乘法中，首先要掌握积的符号法则，当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上，四则运算顺序也同小学一样，先进行第二级运算，再进行第一级运算，若有括号先算括号里的式子。

二、讲授新课：

1．师生共同研究有理数乘法分配律：

①问题：

在小学里，我们曾经学过乘法的分配律，如：

6×（

）=6×

+6×

，

这个运算律在有理数乘法运算中也是成立的吗？

②探索：

任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列

空内，并比较两个算式的运算结果。

□×（○+◇）和□×○+□×◇。

③总结：

让学生总结出乘法的分配律。

乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

即a（b＋c）＝ab＋ac.2．例题：

例1：

计算：

（1）

；

（2）

（2）原式=

。

例2：

计算：

①4×（―12）+（―5）×（―8）+16；②

。

解：

①原式=8×（―6）+8×5+8×2=8×（―6+5+2）=8×1=8；

②原式=

。

第16课时：

有理数的除法

教学过程：

一、复习引入：

1．叙述有理数乘法法则。

2．叙述有理数乘法的运算律。

3．计算：

①（―6）×

②（―3）×（+7）―9×（―6）

二、讲授新课：

1．师生共同研究有理数除法法则：

①问题：

“一个数与2的乘积是－6，这个数是几?

”你能否回答?

这个问题写成算式有两种：

2×（?

）=－6，（乘法算式）也就是（－6）÷2=（?

）（除法算式）

由2×（－3）=－6，我们有（－6）÷2=－3。

另外，我们还知道：

（－6）×

=－3。

所以，（－6）÷2=（－6）×

。

这表明除法可以转化为乘法来进行。

②探索：

填空：

8÷（－2）＝8×（）；6÷（－3）＝6×（）；

－6÷（）＝－6×

；－6÷（）＝－6×

。

③总结：

让学生总结倒数的概念、除法法则。

倒数的概念：

乘积是1的两个数互为倒数（reciprocal）。

例如，2与

、（

）与（

）分别互为倒数。

这样，对有理数除法，一般有

有理数除法则：

除以一个数等于乘上这个数的倒数.

注意：

0不能作除数.

3．探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则：

因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

4、例题

5、引导学生归纳有理数除法的一般步骤：

（1）确定商的符号；

（2）把除数化为它的倒数；（3）利用乘法计算结果。

有理数的乘方

讲授新课：

1．概念：

一般地，我们有：

n个相同的因数a相乘，即

，记作

。

例如，2×2×2＝23；（－2）（－2）（－2）（－2）＝（－2）4。

这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方（involution），

乘方的结果叫做幂（power）。

在an中，a叫作底数，n叫做指数，

an读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可

读作a的n次幂。

例如，23中，底数是2，指数是3，23读作2的3次方，或2的3次幂。

一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，通常指数为1时省略不写。

2．例题：

例1：

计算：

（1）

；

（2）

；（3）

。

解：

（1）原式=（－2）（－2）（－2）=－8，

（2）原式=（－2）（－2）（－2）（－2）=16，

（3）原式=（－2）（－2）（－2）（－2）（－2）=－32。

3．总结：

让学生总结出符号法则。

根据有理数乘法运算法则，我们有：

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?

当a＞0时，an＞0（n是正整数）；当a<0时，

；

当a=0时，an=0（n是正整数）（以上为有理数乘方运算的符号法则）

a2n=（―a）2n（n是正整数）；

=―（―a）2n-1（n是正整数）；a2n≥0（a是有理数，n是正整数）。

4．试一试：

（―2）6读作什么?

其中底数是什么?

指数是什么?

（―2）6是正数还是负数?

科学记数法

一、复习引入：

1．什么叫乘方?

说出103，―103，（―10）3、an的底数、指数、幂。

2.把下列各式写成幂的形式：

×

×

×

；；-

×

×

×

；

3．计算：

101，102，103，104，105，106，1010。

由第3题计算：

105=10000，106=1000000，1010=10000000000，左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。

又如像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是300000000米/秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢?

这就是本节课我们要学习的内容——科学记数法。

二、讲授新课：

1．10n的特征

观察第3题：

101=10，102=100，103=1000，104=10000，…1010=10000000000。

提问：

10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系?

与运算结果的数位有什么关系?

（1）10n=

，n恰巧是1后面0的个数；

（2）10n=

，比运算结果的位数少1。

反之