届高三数学一轮复习知识点归纳与总结材料变化率与导数导数地计算.docx
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届高三数学一轮复习知识点归纳与总结材料变化率与导数导数地计算
考 什 么
怎 么 考
1.了解导数概念的实际背景．
2.理解导数的几何意义．
3.能根据导数定义求函数 y＝c（c 为常
2 3
数），y＝x，y＝x ，y＝x ，
1
y＝x的导数．
4.能利用基本初等函数的导数公式和
导数的四则运算法则求简单函数的导
数.
1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选
择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，
如 2012 年广东 T12，辽宁 T12 等．
2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对
数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的
导数及求导法则的正确利用.
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第十一节 变化率与导数、导数的计算
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．导数的概念
（1）函数 y＝f（x）在 x＝x0 处的导数：
称函数 y＝f（x）在 x＝x0 处的瞬时变化率
Δy
x→Δxlim 0 Δx
为函数 y＝f（x）在 x＝x0 处的导数，记作
f′（x0）或 y′|x＝x0，即
f′（x0）＝Δx→＝Δx→Δx
Δy
.
（2）导数的几何意义：
函数 f（x）在点 x0 处的导数 f′（x0）的几何意义是在曲线 y＝f（x）上点 P（x0，y0）处的切
线的斜率（瞬时速度就是位移函数 s（t）对时间 t 的导数）．相应地，切线方程为
y－y0＝f′（x0）（x－x0）．
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原函数
导函数
f（x）＝c（c 为常数）
f′（x）＝0
n *
f（x）＝x （n∈Q ）
f′（x）＝nxn－1
f（x）＝sin x
f′（x）＝cos_x
f（x）＝cos x
f′（x）＝－sin_x
f（x）＝ax
x
f′（x）＝a ln_a
f（x）＝ex
f′（x）＝ex
f（x）＝logax
1
f′（x）＝xln a
f（x）＝ln x
1
f′（x）＝x
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（3）函数 f（x）的导函数：
lim
fx＋Δx－fx
Δx
为 f（x）的导函数．
[探究] 1.f′（x）与 f′（x0）有何区别与联系？
提示：
f′（x）是一个函数，f′（x0）是常数，f′（x0）是函数 f′（x）在 x0 处的函数值．
2．曲线 y＝f（x）在点 P0（x0，y0）处的切线与过点P0x0，y0）的切线，两种说法有区别
吗？
提示：
（1）曲线 y＝f（x）在点 P（x0，y0）处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′（x0）的
切线，是唯一的一条切线．
（2）曲线 y＝f（x）过点 P（x0，y0）的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可
以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
3．过圆上一点 P 的切线与圆只有公共点 P，过函数 y＝f（x）图象上一点 P 的切线与图
象也只有公共点 P 吗？
提示：
不一定，它们可能有 2 个或 3 个或无数多个公共点．
2．几种常见函数的导数
3．导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；
（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
fx
f′xgx－fxg′x
（3）gx′＝
[gx]2
（g（x）≠0）．
4．复合函数的导数
复合函数 y＝f（g（x））的导数和函数 y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为
yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
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[自测·牛刀小试]
1
1．（教材习题改编）f′（x）是函数 f（x）＝3x3＋2x＋1 的导函数，则 f′（－1）的值为（ ）
A．0 B．3
7
C．4D．－3
1
解析：
选 B ∵f（x）＝3x3＋2x＋1，∴f′（x）＝x2＋2.
∴f′（－1）＝3.
2．曲线 y＝2x－x3 在 x＝－1 处的切线方程为（ ）
A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0
解析：
选 A ∵f（x）＝2x－x3，∴f′（x）＝2－3x2.
∴f′（－1）＝2－3＝－1.
又 f（－1）＝－2＋1＝－1，
∴切线方程为 y＋1＝－（x＋1），即 x＋y＋2＝0.
3．y＝x2cos x 的导数是（ ）
A．y′＝2xcos x＋x2sin x
B．y′＝2xcos x－x2sin x
C．y＝2xcos x
D．y′＝－x2sin x
解析：
选 B y′＝2xcos x－x2sin x.
sin x
4．（教材习题改编）曲线 y＝
sin x
x 在点 M（π，0）处的切线方程是________．
x·cos x－sin x
解析：
∵f（x）＝
－π
x ，∴f′（x）＝
1
x2
，
∴f′（π）＝ π2 ＝－π.
1
∴切线方程为 y＝－π（x－π），即 x＋πy－π＝0.
答案：
x＋πy－π＝0
5．（教材习题改编）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则
f（5）＋f′（5）＝________.
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解析：
由题意知 f′（5）＝－1，
f（5）＝－5＋8＝3，
∴f（5）＋f′（5）＝3－1＝2.
答案：
2
导数的计算
[例 1] 求下列函数的导数
（1）y＝（1－x）
（
1＋ 1
x ；
ln x
（2）y＝x；
（3）y＝tan x；
（4）y＝3xex－2x＋e.
[自主解答]
（1）∵y＝（1－）（
1＋ 1x）
1
＝ x－ x＝x
1
2
∴y′＝（x
1
2 2
3 1
2
ln x
ln x′x－x′ln x
x2
1
x·x－ln x
1－ln x
＝
x2
＝
x2
.
（3）y′＝（cos x）′
sin x
sin x′cos x－sin xcos x′
＝
cos2x
cos xcos x－sin x－sin x
1
＝
cos2x
＝cos2x.
（4）y′＝（3xex）′－（2x）′＋e′＝（3x）′ex＋3x（ex）′－（2x）′＝3x（ln
3）·ex＋3xex－2xln 2＝（ln 3＋1）·（3e）x－2xln 2.
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x
1－2cos2x4）”如何求解？
x
x x 1
1
∴y′＝－2cos x．
———————————————————
求函数的导数的方法
（1）求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减
少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形
将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
1．求下列函数的导数
x＋x5＋sin x
（1）y＝
1
x2
1
；
（2）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；
cos 2x
（3）y＝1－x＋1＋x；（4）y＝sin x＋cos x.
解：
（1）∵y＝
1
x ＋x5＋sin x
2
x2
＝x
3
2
∴y′＝（x
-
3
2
）′＋（x3）′＋（x－2sin x）′
＝－
5
2x 2 ＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.
（2）y＝（x2＋3x＋2）（x＋3）
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
1
1
2
（3）∵y＝1－x＋1＋x＝1－x，
2
∴y′＝ 1－x ′＝
－21－x′
1－x2
2
＝1－x2.
cos 2x
（4）y＝sin x＋cos x＝cos x－sin x，
∴y′＝－sin x－cos x.
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[例 2] 求下列复合函数的导数：
（1）y＝（2x－3）5；
（2）y＝3－x；
（2x＋ 3 ）；（4）y＝ln（2x＋5）．
（3）y＝sin2
π
[自主解答]
（1）设 u＝2x－3，则 y＝（2x－3）5 由 y＝u5
与 u＝2x－3 复合而成，
∴y′＝f′（u）·u′（x）＝（u5）′（2x－3）′
＝5u4·2＝10u4＝10（2x－3）4.
1
（2）设 u＝3－x，则 y＝3－x由 y＝u 2 与 u＝3－x 复合而成．
1
2
1
1
3－x
＝－23－x＝ 2x－6 .
π
（3）设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋ 3 ，
则 y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2
＝4sin
（
2x＋π
3 ·cos
2x＋π
3
）
＝2sin
2π
（4）设 y＝ln u，u＝2x＋5，则 y′x＝y′u·u′x，
1
2
∴y′＝2x＋5·（2x＋5）′＝2x＋5.
———————————————————
复合函数求导应注意三点
一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环
套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎
样的顺序复合而成的，分清其复合关系．
2．求下列复合函数的导数：
（1）y＝（1＋sin x）2；
（2）y＝ln
1
（3）y＝1－3x4；（4）y＝x
x2＋1；
1＋x2.
解：
（1）y′＝2（1＋sin x）·（1＋sin x）′
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＝2（1＋sin x）·cos x.
（2）y′＝（ln
1
＝x2＋1·（
x2＋1）′
x2＋1）′
1
＝x2＋1·2（x2＋1） 2 ·（x2＋1）′
x
＝x2＋1.
（3）设 u＝1－3x，y＝u－4.
则 yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·（－3）
12
＝
1－3x5.
（4）y′＝（x
1＋x2）′
＝x′·1＋x2＋x（1＋x2）′
x2
1＋2x2
＝1＋x2＋1＋x2＝1＋x2 .
导数的几何意义
[例 3]
（1）（2012·辽宁高考）已知 P，Q 为抛物线 x2＝2y 上两点，点 P，Q 的横坐标
分别为 4，－2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为
________．
1
4
（2）已知曲线 y＝3x3＋3.
①求曲线在点 P（2,4）处的切线方程；
②求斜率为 4 的曲线的切线方程．
x2
[自主解答]
（1）y＝ 2 ，y′＝x，
∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.
点 P 的坐标为（4,8），点 Q 的坐标为（－2,2），
∴在点 P 处的切线方程为 y－8＝4（x－4），即
y＝4x－8.
在点 Q 处的切线方程为 y－2＝－2（x＋2），
即 y＝－2x－2.解Error!
得 A（1，－4），则 A 点的纵坐标为－4.
1
4
（2）①∵P（2,4）在曲线 y＝3x3＋3上，
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且 y′＝x2，
∴在点 P（2,4）处的切线的斜率 k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点 P（2,4）处的切线方程为 y－4＝4（x－2），
即 4x－y－4＝0.
②设切点为（x0，y0），则切线的斜率 k＝x20＝4，
x0＝±2.
切点为（2,4）或
（
－2，－4
3 ，
4
∴切线方程为 y－4＝4（x－2）或 y＋3＝4（x＋2），
即 4x－y－4＝0 或 12x－3y＋20＝0.
[答案]
（1）－4
若将本例
（2）①中“在点 P（2,4）”改为“过点 P（2,4）”如何求解？
1 4
解：
设曲线 y＝3x3＋3与过点 P（2,4）的切线相切于点 A
（
1
3 3 ，
则切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝x20.
1
x30＋4）＝x20（x－x0），
2
4
即 y＝x20·x－3x30＋3.
∵点 P2，4在切线上，
2
∴4＝2x20－3x30＋\f（4,3），即 x30－3x20＋4＝0.
∴x30＋x20－4x20＋4＝0.
∴x20x0＋1－4x0＋1x0－1＝0.
∴x0＋1x0－22＝0.解得 x0＝－1 或 x0＝2.
故所求的切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
———————————————————
1．求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数 y＝f（x）在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f（x）在点 P（x0，f（x0））处切线
的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为 y－y0＝f′（x0）·（x－x0）．
2．求曲线的切线方程需注意两点
（1）当曲线 y＝f（x）在点 P（x0，f（x0））处的切线平行于 y 轴（此时导数不存在）时，切线
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方程为 x＝x0；
（2）当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
3．已知函数 f（x）＝2
x＋1（x>－1），曲线 y＝f（x）在点 P（x0，f（x0））处的切线 l 分
别交 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，O 为坐标原点．
（1）求 x0＝1 时，切线 l 的方程；
（2）若 P 点为
（
2
3 3
，求
AOB 的面积．
1
1
解：
（1）f′（x）＝x＋1，则 f′（x0）＝x0＋1，
则曲线 y＝f（x）在点 P（x0，f（x0））的切线方程为
1
y－f（x0）＝x0＋1（x－x0），
x
x0＋2
即 y＝x0＋1＋x0＋1 .
所以当 x0＝1 时，切线 l 的方程为 x－2y＋3＝0.
x0＋2
（2）当 x＝0 时，y＝x0＋1；
当 y＝0 时，x＝－x0－2.
1x0＋2
AOB＝2
x0＋22
＝ 2 x0＋1 ，
2
∴
AOB＝
2
3
导数几何意义的应用
[例 4] 已知 a 为常数，若曲线 y＝ax2＋3x－lnx 存在与直线 x＋y－1＝0 垂直的切
线，则实数 a 的取值范围是（ ）
A.
[
1
－ ，＋∞
2
B.
） （
－∞，－1
2
]
C.[－1，＋∞）
D.（－∞，－1]
[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为 1，
1
所以 y′＝2ax＋3－x＝1 有正根，
即 2ax2＋2x－1＝0 有正根．
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当 a≥0 时，显然满足题意；
1
当 a<0 时，需满足 Δ≥0，解得－2≤a<0.
1
综上，a≥－2.
[答案] A
———————————————————
导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点 A（x0，f（x0））求斜率 k，即求该点处的导数值：
k＝f′（x0）；
（2）已知斜率 k，求切点 A（x1，f（x1）），即解方程 f′（x1）＝k；
（3）已知过某点 M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A（x0，f（x0）），
fx1－fx0
利用 k＝
x1－x0
求解．
4．若函数 f（x）＝sin（
3x＋π
（0<θ<π），且 f（x）＋f′（x）是奇函数，则
θ＝________.
解析：
∵f（x）＝sin
（
3x＋π
，
∴f′（x）＝
3cos（
3x＋π
.
于是 y＝f′（x）＋f（x）＝sin
（
3x＋π
＋ 3cos
（
3x＋π
＝2sin（
3x＋π
π
3 ＝2sin
3x＋θ＋π
2
）
＝2cos（3x＋θ），
由于 y＝f（x）＋f′（x）＝2cos（3x＋θ）是奇函数，
π
π
∴θ＝kπ＋ 2 （k∈Z）．又 0<θ<π，∴θ＝ 2 .
π
答案：
2
1 个区别——“过某点”与“在某点”的区别
曲线 y＝f（x）“在点 P（x0，y0）处的切线”与“过点 P（x0，y0）的切线”的区别：
前者
P（x0，y0）为切点，而后者 P（x0，y0）不一定为切点．
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4 个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
（2）利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函
数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．
（3）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一
定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共
点．
（4）曲线未必在其切线的同侧，如曲线 y＝x3 在其过（0,0）点的切线 y＝0 的两侧.
易误警示——导数几何意义应用的易误点
15
[典例] （2013·杭州模拟）若存在过点（1,0）的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2＋
都相切，则 a 等于（ ）
4 x－9
25
21
A．－1 或－64 B．－1 或 4
7
25
7
C．－4或－64
D．－4或 7
[解析] 设过（1,0）的直线与 y＝x3 相切于点（x0，x30），所以切线方程为
3
y－x30＝3x20（x－x0），即 y＝3x20x－2x30，又（1,0）在切线上，则 x0＝0 或 x0＝2，
15
25
当 x0＝0 时，由 y＝0 与 y＝ax2＋ 4 x－9 相切可得 a＝－64；
3
27
27
15
当 x0＝2时，由 y＝ 4 x－ 4 与 y＝ax2＋ 4 x－9 相切可得 a＝－1，所以选 A.
[答案] A
[易误辨析]
1．如果审题不仔细，未对点（1,0）的位置进行判断，误认为（1,0）是切点，则易误选 B.
2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：
（1）首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；
（2）基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；
（3）熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．
[变式训练]
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sin x1π
处的切线的斜率为（ ）
1
A．－2
2
C．－ 2
1
B.2
2
D. 2
解析：
选 B
cos xsin x＋cos x－cos x－sin xsin x
y′＝
sin x＋cos x2
1
＝sin x＋cos x2，故 y′Error!
.
π
，0
1
3
2 2 2
2
是________．
2
解析：
由 f（x）＝x3＋f′ 3 x2－x，
2
2
2 2 2 2
2
解得 f
2
3 2
则
2 2 2 2 22
3 2
故函数 f（x）的图象
2 2
22
y＋27＝
2
答案：
27x＋27y＋4＝0
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
1．（2013·永康模拟）函数 y＝f（x）的图象如图所示，则 y＝f′（x）的图象可能是（ ）
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解析：
选 D 据函数的图象易知，x<0 时恒有 f′（x）>0，当 x>0 时，恒有 f′（x）<0.
π π
2．若函数 f（x）＝cos x＋2xf′6，则 f3与 f3的大小关系是（ ）
A．f（
π
B．
π π
C．
π π
D．不确定
π
∴f
π π π
π1
∵当 x
π π
∴f（x）＝cos x＋x 是（
－π
π π π
π
3．已知 t 为实数，f（x）＝（x2－4）（x－t）且 f′（－1）＝0，则 t 等于（ ）
A．0B．－1
1
C.2
D．2
解析：
选 C f′（x）＝3x2－2tx－4，
1
f′（－1）＝3＋2t－4＝0，t＝2.
4．曲线 y＝xex＋2x－1 在点（0，－1）处的切线方程为（ ）
A．y＝3x－1B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1
解析：
选 A 依题意得 y′＝（x＋1）ex＋2，则曲线 y＝xex＋2x－1 在点（0，－1）处的
切线的斜率为 y′|x＝0，故曲线 y＝xex＋2x－1 在点（0，－1）处的切线方程为 y＋1＝3x，
即 y＝3x－1.
5．（2013·大庆模拟）已知直线 y＝kx 与曲线 y＝ln x 有公共点，则 k 的最大值为（ ）
1
A．1B.e
2
C.e
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2
D. e
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解析：
选 B 从函数图象知在直线 y＝kx 与曲线 y＝lnx 相切时，k 取最大
1 1
值．y′＝（lnx）′＝x＝k，x＝k（k≠0），切线方程为 y－ln
1
x－1k），又切线过原点
1
（0,0），代入方程解得 ln k＝－1，k＝e.
6．设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f′（x），且 2f（x）＋xf′（x）>x2.下面的不等式在 R
上恒成立的是（ ）
A．f（x）>0B．f（x）<0
C．f（x）>xD．f（x）1
解析：
选 A 由已知，令 x＝0 得 2f（0）>0，排除 B、D 两项；令 f（x）＝x2＋4，则
（x2＋4）′＝4x ＋2>x ，但 x ＋4>x 对 x＝2不成立，排
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