.此函数图象是由函数fxxa,,,,log
(1),01,,,,a
向右平移一个单位得到的.fxxa,,,log,01,,,,a
故选A.
6.函数综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大,考查内容和形式灵活
多样.这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌
握基本解题技巧和方法,并培养读者的思维和创新能力.
22例10(已知f(x),|x,1|,x,kx.
(?
)若k=2,求方程的解;f(x),0
(?
)若关于x的方程在(0,2)上有两个解x,x,求k的取值范围,并证明f(x),01211,,4.xx12
命题意图:
本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所
学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。
满分15分。
22(I)解:
当k,2时,f(x),|x,1|,x,2x,0.
分两种情况讨论:
22?
当,方程化为x,1,1时,即x,1或x,,1时2x,2x,1,0,
,,,,,131313解得因为舍去所以xx,,,,.01,,.222
12?
当,方程化为1+2x=0,解得,x,1,0时,即,1,x,1x,,2
由?
?
得,
当k,2时,方程f(x),0的解是,1,31x,,或x,,.22
(II)解:
不妨设,0,x,x,212
2,xkxx2,,1,||,1,因为f(x),,kxx,1,||,1,,
所以是单调递函数,,,f(x)在0,1
故上至多一个解,,,f(x),0在0,1
1若则故不符合题意因此xxxxxx,(1,2),0,,,0,1,(1,2).,,,,,,,,1212122
1由得所以fxkk()0,,1;,,,,,1x1
17由得所以fxkxk()0,2,1.,,,,,,,22x22
7故当时在上有两个解,,,,,kfx1,()0(0,2).2
方法一:
218,,,kk2因为所以而方程的两根是xxxkx,,,,,,0,1,,210;,,11k4
2,,,kk8因为所以xx,,(1,2),,224
11412则,,,,,,,kkk(8),2xx212kk,,8
777222而在上是减函数则ykkkk,,,,,,,,,,,,8(,1),8()88,222
11因此,,4.xx12
方法二:
因为;?
,,x,0,1,所以kx,1,0112因为,?
x,(1,2),所以2x,kx,1,0222
由?
?
消去k,得
1111220,2.(1,2),4.xxxxxx,,,,,,,,即又因为所以121222xxxx1212
7.以集合为背景的不等式
以集合为背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注
意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.
xa,例11.记关于的不等式的解集为,不等式的解集为(xPQx,11?
0x,1
(I)若,求;Pa,3
(II)若,求正数的取值范围(aQP,
命题意图:
本题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法.
x,3解:
(I)由,得(Pxx,,,,13,,,0x,1
(II)(Qxxxx,,,1102?
?
?
,,,
由,得,又,所以,a,0a,2QP,Pxxa,,,,1,,
即的取值范围是(a
(2),,,
8.以线性规划形式出现的不等式
以线性规划形式出现的不等式,重在考查数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据
已知不等式组作出图形,分析求解.
22例12.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式x,3xy,,4
组是
xy,,0,xy,,0xy,,0xy,,0,,,,,,,(A)(B)(C)(D)xy,,0xy,,0xy,,0xy,,0,,,,,,,,03,,x03,,x03,,x03,,x,,,,
命题意图:
本题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的知识,体现数形结合能力.
xy,,0,,解:
作图可知三角形区域在第一象限.即满足xy,,0,,03,,x,
故选(A)
9..以简易逻辑为背景的不等式
以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来确定命题,用简易逻辑知识解决问题.
21,x2例13.设,则是的pqpxxq:
200,:
0,,,,||2x,
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件命题意图:
本题主要考查利用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力.解:
由题设可得:
2pxxpxx:
200,:
5,4.,,,,,,即
21,xqxxx:
0,1,2,2.,,,,,,,即1或||2x,
故选(A)
10.与函数知识结合的不等式
与函数知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具,结合函数知识,通过推理来解决问题.
x,1,2,2ex,,,例14.设fxff()(
(2)),则的值为,2log
(1)2.xx,,,,,3
(A)0(B)1(C)2(D)3命题意图:
本题主要考查利用不等式和函数知识解决问题的能力.
0解:
故选(C)ffffe(
(2))(3)
(1)22.=log,,,3
12.与平面向量知识结合的不等式
与平面向量知识结合的不等式,解题时往往以不等式为工具,结合平面向量知识和坐标运算,
通过和坐标运算和推理来解决问题.
例15.设,,,点是线段上的一个动点,,若,则PABA(1,0)O(0,0)B(0,1)OPABPAPB,,,APAB,,
实数的取值范围是
21(A)(B),,,,11,,,122
1222(C)(D),,,,1,,,,,112222
命题意图:
本题主要考查利用不等式和平面向量知识解决问题的能力.
解:
设P(x,y),则由得,APAB,,
APABxy,,,,,,,(1,)(1,1),即
xx,,,,,1,1,,,,,?
解得,,yy,,,.,,,,
OPABPAPBxyxyxy,,,?
,,,,,,(,)(1,1)(1,)(,1),2222?
,,,?
,,,xyy0,
(1)20,,,,
22?
,,,11.,22
又点是线段上的一个动点,PAB?
,01.,
211.?
,,,2
故选(B)
13.与函数的导数知识结合的不等式
与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具,结合函数知识,
通过推理来解决问题.
例16.
322已知函数在与时都取得极值.x,1fxxaxbxc(),,,,x,,3
(1)求、b的值及函数的单调区间;afx()
2
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.cx,,1,2fxc()<,,
命题意图:
本小题考查函数的导数,函数,函数极值的判定,给定区间上二次函数的最值等
基础知识的综合运用,考查就数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.
322,
(1)(),()32,fxxaxbxcfxxaxb,,,,,,,解:
2124,,由fabfab()0,
(1)320,,,,,,,,,,393
1得ab,,,,,2,22,fxxxxxfx()32(32)
(1),():
,,,,,函数的单调区间如下表
222(1,),,x(,1),(,),,,,1333
,fx(),,00
fx()极大值极小值
22所以函数的递增区间为与;递减区间为.(1,),,fx()(,1),(,),,,33
132
(2)()2fxxxxc,,,,2
222xxfxc,,,,,,1,2,,(),当时为极大值,,327
而则为最大值fcfc
(2)2,
(2)2.,,,,
22<>要使恒成立只须fxcxcfc()(1,2),
(2)2,,,,,,,
<>解得或cc,12.
14.与数列知识结合的不等式
与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具,结合函数知识,通过
计算和推理来解决问题.
例17.
S,,*n设数列的前项和为,点均在函数的图像上.nyx,,32aS,,,()nnN,nn,,n,,
(?
)求数列的通项公式;a,,n
m*3(?
)设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正nnN,bT,,T,b,nnnn20aann,1
整数.m
命题意图:
本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,
考查分析问题能力和推理能力.
S2n解:
(I)依题意得,即.Snn,,3232,,,nnn
22当n?
2时,,,;aSSnnnnn,,,,,,,,,,(32)312
(1)65,,nnn,1,,
2当n=1时,×-2×1-1-6×1-5.1aS,,311
所以.annN,,,65()n
31111,,(II)由(I)得,b,,,,n,,aannnn(65)6
(1)526561,,,,,,,,,,1nn
n11,,111111,,,,,,,,故=.1,b,,,,,,,,1...,,,,,,,,,T,,n261n,nn,,277136561,,,,,,,,11,,,
1mm11,,,因此,使得,成立的m必须满足?
,即m?
10,故满足要求的最nN,1,,,,,20202261n,,,
小整数m为10.
15.不等式的实际应用
不等式的实际应用题,解题时往往以不等式为工具,结合函数知识和函数的导数的应用,通过
建立不等式模型,利用计算和推理来解决问题.
例18((本小题满分12分)
用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该
长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大,最大体积是多少,命题意图:
本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用不等式知识解
决实际问题的能力(
解:
设长方体的宽为x(m),则长为,高为2x(m)
18,12x3h,,4.5,3x(m)(0,x,).42
32233故长方体的体积为V(x),2x(4.5,3x),9x,6x(m)(0,x,).2
2从而,V(x),18x,18x,18x(1,x)
令(舍去)或x=1,因此x=1.V(x),0,解得x,0
3当,,,0,x,1时,V(x),0;当1,x,时,V(x),02
故在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是的最大值.V(x)V(x)
233从而最大体积此时长方体的长为2m,高为1.5mV,V
(1),9,1,6,1,3(m),
3答:
当长体的长为2m,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m.
【专题训练】
一.选择题
21.y=的单调递减区间为()x,2x,3
A.(,?
,,3)B.(,?
,,1)C.,1,+?
D.,,3,,1,2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是()
21A.y=,B.y=C.y=3,2xD.y=,x+2x+1xx,1
223.设f(x)是定义在A上的减函数,且f(x),0,则下列函数:
y=3,2f(x),y=1+,y=f(x),y=1
f(x),,其中增函数的个数为()f(x)
A.1B.2C.3D.4xx4(关于x的方程9+(a+4)?
3+4=0有解,则实数a的取值范围是()A((-?
,-8]?
[0,+?
)B、(-?
,-4)[-8,4)D、(-?
,-8]225(若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2-4a-b的最大值是()ab
2,12,1A(B、C、D、2,12,1222226(已知不等式m,(cosθ,5)m,4sinθ?
0恒成立,则实数m的取值范围是()A.0?
m?
4B.1?
m?
4C(m?
4或x?
0D.m?
1或m?
0二.填空题
217.设f(x)=x,1(x?
2),则f(4)=__________.
18.已知f(x)=3x,2,则f(3x,2)=__________.
19.已知f(x)是奇函数,当x?
(0,1)时,f(x),lg,那么当x?
(,1,0)时,f
1,x
(x)的表达式是_____(
1111,,,?
,10.记S=,则S与1的大小关系是.1010101122,12,22,1
21cos28sin,,xx,,,x0,11.当,时,函数的最小值是_________.y,,,sin2x2,,
x,,xy12.实数满足,则的取值范围是__________.xy,xy
三.解答题
13.设函数f(x)=log(x+1),当点(x,y)在y=f(x)的反函数图象上运动时,对应2
xy的点()在y=g(x)的图象上.,23
(1)求g(x)的表达式;
——11
(2)当g(x)—f(x)0时,求u(x)=g(x)—f(x)的最小值.,
14.在某产品的制造过程中,次品率p依赖于日产量x,
1,,当0A其中x为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A元,但每生产出一件次品就要损失元.
3
(1)将该厂的日赢利额T(元)表示为日产量x(个)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少,
x15(已知f(x),(x,,1).x,1
的单调区间;
(1)求f(x)
13
(2)若a,b,0,c,,求证:
f(a),f(c),.(a,b)b4
16(某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时(4?
V?
20)从A港出发前往50千米处的
B港,然后乘汽车以匀速W千米/小时(30?
W?
100)自B港向300千米处的C市
驶去,在同一天的16时至21时到达C市,设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、
y小时,若所需经费元,那么V、W分别为多少时,所需经费p,100,3(5,x),2(8,y)
最少,并求出这时所花的经费.
【参考答案】
2一.1.A提示:
xxxx,,,,,,230,13则或,
22xxxx,,,,,~,,,~,~,23141可知当时函数递减,,,,又.
22.D提示:
函数y=,x+2x+1的图象开口向下,对称轴x=1.
23.C提示:
由于f(x)是定义在A上的减函数,且f(x),0,所以其,2f(x),,和,f(x)f(x)都是增函数.
4.D5.A6.C
二.7.,.8.x.5
19.提示:
当x?
(,1,0)时,,x?
(0,1),?
f(x),,f(,x),,lg,lg(1
1,x
x)(
10.s<1
11.4
,,,,,,,,,,04,12.
1,1xx三.13.
(1)易求..f(x),2,1g(x),(4,1)3
—1131xx2
(2)由g(x)—f(x)0得:
..,2,,,1,2()
(2)ux,,,3212
x31312故即.log,(),,,,1,2,u(x),,.x,ux,,2min212212
A4,14.
(1)易知.TAxpxpAxxxN,,,,,,,
(1)[1],0,100,,,33(101),x
2)求T的最大值是个难点.须变换:
(
3、认真做好培优补差工作。
开展一帮一活动,与后进生家长经常联系,及时反映学校里的学习情况,促使其提高成绩,帮助他们树立学习的信心与决心。
4x40444404易知当且仅当T,A[x,],A[x,,],A{101,,[(101,x),]}3(101,x)3(101,x)333(101,x)
404T89.4时,最大.但是,两者的最大值一定是的最大值TxN,f(89),f(90)x,101,,3
吗,这是本题的第二个难点.因此,必须证明函数
(2)顶点式:
404404在(0,