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口疋山/Si：
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（■2亠11）
在梁中点
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（9.；-12）
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W・2-13）
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LfBM血-cush血+
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*9”中悼板理论（翰斯纳板理论）
中等厚箜检L中阳板”）是相对于“薄板”ini台.•带我’是指板的厚度
2.4.2本枸方程
—维问越的虎克定律不扌上jy轴有黄的项和泊松比的戲晌.有如下的商单形戌
j-JiC3^9>
实际上这就是原来十维问题的虏克定律・n杨氏桩吐e可以適过哥单的柚仲弍驗得到*
通过删去方程強」那中与丫轴有关的顶.就可得列一堆问題的动为学平衡对程
学+几=严<2.40）
dJC
把式<2.3B）W（2.39k优人式（2H0}.就可得列均如g无关』的弹性桁舉的控制方禹即
£jp+fr—flu£2.41）
1M去万轉（2*4⑴屮抽谊性碘就可碍到桁臭的静力学平備力■程，為
<2+42）
对干均质的弹性带架’剧去方程（2.40牛的惯性项，就可得到用也務表示的静力学乎囊方墓为
（2.43）
对于檀霰面面积为常慣A的杆*上述方袈可写为
这里Ft-ftA是忤用在杆的柚向的外力*
1.5翼的方程
如图2,9JOf示・嫌桁架杆件一痒*堡也口肴相ftl的几何特征•不同的径■作用拄聚上的力呆播向約.即：
力的方向垂直于咚的轴线•因此梁会发生弯曲变形，在》方向产冬挠匮■它是工的樽敕・
2.5.1应力和应蛮
韋的欄載貶上的应力包括正应力亿和剪应力0»有多个理论可用于井析叢的挠度•这尊理论棊本上可讪分为两种主要类程：
税槃理论利棵锵理论・本书童点是翳究浅樂葺论，这种理论避常称为歎拉■伯努利（Eukr•论灯局山梁理论，欧拉-缶努利舉理论暇
处’雅直舌娈形舸的形心轴的平截面「驾曲娈堆后仍俚捋为平面井且仍蚩直于变形肯的
轴线•如昭2.10胪亦.利用这一噬谟*荷先再
e,=0（：
■44）
它的盘文就是思略剪应变.其次.曜上距离形心轴为了的点的軸向位移茁可以衰示为
uU—曲（孔4巧
迭灵卩是工-》平甄内的转弼*通过豊柱丫方向的轟葩軸的挠度」可却剧转轴哀迭式
（2.46）
正应竟利揀度之间的董慕可写暂
2.5.Z本构方程
（2,W
封桁竦杆却的方程类也•用于梁的虎克定臬为
3=Er
2.5.S力矩利前力
因为邛用在絮上的试商量横向的，在集的商載面上梅怖用看力更杆相应旳諒力・男一方面.如黑不作用横向力*而只作用力矩「梁炮会炭生穹曲•图£•11所示为舉上一0松度为＜Lr的小軌元律.这个单元律量到外力人、力嶽M八曹力Q和惯餐力pA?
的倍周*只中P足材料帝度山足橫戒面面袄.在赴的横載就上的力矩由分布的正应」」〜产
田ZU袄度购址的果单元体*力矩和剪力由槃地掴戢閒上皓眩力II井碍到
生.抽阳丸12所示.把式（2.47＞代人式UM9）就可求岀正应力即
牡■一屮ELaC2.50）
由上说可肛*出「在黑的欖截面上丘应力口口摊垂直方槿fcfc性玺化・由横倉面上的正应力所产生的力矩可以通过战靈面上的面棋积分樹到”曲
*dA）L（?
b—EI丄u=—芝丿E0丫f2.门I}
<2+52）
式中』島横栽面面积对之轴的二状無〔憎性距人对于给定的截面飛状「可以利用F血的方程卄算
I.-J/*iA
规在考虑梁的小卑兀体上/方■向力囲平劃
dQ+＜//jc）—pAv）cLr=°
IE2.12亡成晋塑均讦应力
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C154>
曙=-几〔工卄品
（2,55>
我们也命宴专恿染的小单元悻对右面上的枉羸--点的为拒平嘗dMc-Qdj+^CA-^AiHdi）1=0恕略二阶小量頊〔归尸就得剽
〔2”岡
駐席•把式（*,sim人式（冬訂），碍到
Q+57）
方程〔2烏亦和他”门皓出了歇拉-他努和谜的光度与梁由力紀和酯力之闾的先系。
2,5.4钠力学平期方用
把方SC2.57）ft人也烏I）就谒到了聲的动力宁平衡方程
耳・器十阴■A
类低的*可戌搁去方®CL58＞中的直力项就得刮了St的静力学平费右程
2*板的方穆
飞班的机翼有时可以視为承覺盛向就荷（肚屋动机誠其抱部醤的宝直）的按结构.如圍2.口曲加.極耳右与二维鞍flftlltl的几何輪怔・加图乙H朋用，不阖的是ft用裡板上的力垂直于板平面，扳类惟于二戟槃，因此•板会发生时曲，并产生宅方向的挠度它
欧拉-伯努利梁理论
Euler-Bernoulli梁理论（ShamesandDym,1985）认为横截面在变形前和变形后都垂
直于中心轴并不受任何应变（也就是说其构型仍无缺的）。
换句话说，翘曲和横向剪切变形的
影响和横向正应变非常小，所以可以忽略不计。
这些假设对细长梁是有效的。
无横向剪切意味着横截面的旋转只由挠曲引起。
对于厚梁，高频模态的激励，复合材料梁问题，横向剪切
不可以忽略。
Euler-Bernoulli梁理论有两个假设：
1）变形前垂直梁中心线的平剖面，变形后仍然为平面（刚性横截面假定）；2）变形后横截面的平面仍与变形后的轴线相垂直。
论坛上的：
（不一定正确）
关于弯曲刚度：
即EI;
弯曲刚度表示梁抵抗弯曲变形的能力
数值方法表示梁的变形能力为1/p
P表示梁发生变形时中性层的曲率半径，几何及数字分析可有，当梁中性层的曲率半径减小
时就意味着梁的弯曲程度增大，显然变形和中性层曲率半径成减函数关系，换个说法，就是
可以用1/p表示梁的变形程度。
而应变的几何表示方法为
£=y/p
（题外话：
从这里可以想到我们计算时在工程软件中可以直接给出应力，其实最原始的计算
方法是先计算应变然后通过弹性模量计算应变的，只是在力学发展的过程中，大家都越过先
计算应变这一步，而通过公式演变或者说推导直接给出应力公式，为什么？
因为我们工程中
往往关注材料应力，是最直观的评价梁受力合理性的方法。
）
y?
?
计算点到中性轴的距离
倒退分析，需要计算p,曲率半径
根据静力学和数学微分方程
具体可见材料力学p106页
推出方程：
1/尸M/（EI）
根据结构力学可以求解某截面内力M。
材料力学计算截面几何特性，梁的弹性模量已知
应力求解迎刃而解上面方程给我们的启示就是表征梁变形能力的抗弯刚度的数值化和物理理解。
同时P106页给我们一个很重要的理论分析：
1、中性轴垂直于荷载作用面的弯曲为平面弯曲；
2、梁平面弯曲时，若材料为线弹性，则中性轴为横截面的形心主轴。
3、反映在空间梁单元理论上，可以认为梁的形心连线是梁的中性层和纵向切面的交线,
建模时完全可以赋予以形心计算的截面特性，主要是I值。
关于铁木辛科梁：
现在从钢结构上了解，认为适合于分析短粗梁，考虑横截面弯曲，在ansys
（即Euler-BernoulliBeam
中就是beam188/189的第七自由度的打开，这样截面的翘曲系数才有用。
我们工程中最常用的就是欧拉梁，就是最理想状态的梁结构。
讨论：
—:
Euler-Bernoulli梁理论的假设：
1、连续性：
则各未知、已知量均可以用位置坐标的连续函数表示，从而数学与物理有机结合起来；
2、完全弹性：
即弹性常数E、G、□均与受力历史（时间）无关；
3、均匀性：
材料常数与位置坐标无关；
4、各向同性：
材料常数与方向无关；
5、小变形：
各点弹性位移远远小于结构的几何尺寸，不用考虑几何非线性；
6、横截面刚性假设：
即变形后横截面保持平面。
:
欧拉梁理论是假定梁轴的转角和截面的转角相等，梁中有剪应力（为了平衡的需
要）。
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