高考数学一轮复习文科训练题周周测10附答案和解释.docx
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高考数学一轮复习文科训练题周周测10附答案和解释
2019高考数学一轮复习（文科）训练题周周测10（附答案和解释）
周周测10 立体几何综合测试一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是
答案：
c
解析：
若棱锥为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面为直角三角形，A，B，D是可能的；若棱锥为四棱锥，其底面为正方形，c对角线位置错误，故选c.
．设l，是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A．若l⊥，⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥，则⊥α
c．若l∥α，⊂α，则l∥
D．若l∥α，∥α，则l∥
答案：
B
解析：
对于选项A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；对于选项B，由线面垂直的性质可知：
平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故正确；对于选项c，l∥α，⊂α，则l∥或两线异面，故不正确；对于选项D，平行于同一平面的两直线可能平行、异面或相交，不正确．故选B.
．下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
c．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
答案：
c
解析：
A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项，如图，在正方体ABcD－A1B1c1D1中，平面ABB1A1和平面Bcc1B1与B1D1所成的角相等，但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．c正确．
．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于
A．42B.34
c.41D．52
答案：
c
解析：
根据几何体的三视图，得该几何体是底面为直角三角形，有两个侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，最长的棱长等于25＋16＝41，故选c.
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．8＋πB．8＋2π
c．8－πD．8
答案：
A
解析：
由三视图可知原几何体是长方体中间挖掉一个圆锥得到的几何体，圆锥的底面半径为1，母线长为2，则几何体的表面积为S＝4×23＋2×2×2－π×12＋π×1×2＝83＋8＋π.故选A.
．已知，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若∥α，n∥α，则∥n
B．若∥α，∥β，则α∥β
c．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若⊥α，n⊥α，则∥n
答案：
D
解析：
A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；c中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D.
．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
c．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β
答案：
c
解析：
A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；c中，由α∥β，a⊂α可得α∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．
．如图所示，在直角梯形BcEF中，∠cBF＝∠BcE＝90°，A、D分别是BF、cE上的点，AD∥Bc，且AB＝DE＝2Bc＝2AF．将四边形ADEF沿AD折起，连接Ac、cF、BE、BF、cE，在折起的过程中，下列说法错误的是
A．Ac∥平面BEF
B．B、c、E、F四点不可能共面
c．若EF⊥cF，则平面ADEF⊥平面ABcD
D．平面BcE与平面BEF可能垂直
答案：
D
解析：
A选项，连接BD，交Ac于点o，取BE的中点，连接o，F，易证四边形AoF是平行四边形，所以Ao∥F，因为F⊂平面BEF，Ac⊄平面BEF，所以Ac∥平面BEF；B选项，若B、c、E、F四点共面，因为Bc∥AD，所以Bc∥平面ADEF，可推出Bc∥EF，又Bc∥AD，所以AD∥EF，矛盾；c选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥cF，FD∩cF＝F，所以EF⊥平面cDF，所以EF⊥cD，又cD⊥AD，EF与AD相交，所以cD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABcD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG、EG，易得平面BcE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BcE，若平面BcE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BcE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上，选D.
．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90πB．63π
c．42πD．36π
答案：
B
解析：
本题考查三视图和空间几何体的体积．由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直线为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝12×32×π×14＝63π.故选B.
0．如图，在空间四边形ABcD中，一个平面与边AB，Bc，cD，DA分别交于E，F，G，H，则下列结论错误的是
A．若AE：
BE＝cF：
BF，则Ac∥平面EFGH
B．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形
c．若E，F，G，H分别为各边中点且Ac＝BD，则四边形EFGH为矩形
D．若E，F，G，H分别为各边中点且Ac⊥BD，则四边形EFGH为矩形
答案：
c
解析：
将四个点连接，得到一个四边形EFGH.若E，F，G，H分别为各边中点，则由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG，故四边形EFGH是平行四边形．又若Ac＝BD，则HG＝12Ac＝12BD＝EH，故四边形EFGH是菱形，c错．故选c.
1．设，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下命题正确的是
A．⊥α，n⊂β，⊥n⇒α⊥β
B．α∥β，⊥α，n∥β⇒⊥n
c．α⊥β，⊥α，n∥β⇒⊥n
D．α⊥β，α∩β＝，n⊥⇒n⊥β
答案：
B
解析：
由于，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则当⊥α，n⊂β，⊥n时，α，β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确；当α∥β，⊥α，n∥β时，与n一定垂直，故B正确；当α⊥β，⊥α，n∥β时，与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故c不正确；当α⊥β，α∩β＝时，若n⊥，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D不正确．故选B.
．在△ABc中，∠c＝90°，∠B＝30°，Ac＝1，为AB的中点，将△Bc沿c折起，使点A，B间的距离为2，则点到平面ABc的距离为
A.12B.32
c．1D.32
答案：
A
解析：
在平面图形中，由已知得AB＝2，A＝B＝c＝1，Bc＝3，∴△Ac为等边三角形，取c的中点D，连接AD，则AD⊥c，设AD的延长线交Bc于E，则AD＝32，DE＝36，cE＝33.根据题意知，折起后的图形如图所示，由Bc2＝Ac2＋AB2，知∠BAc＝90°，又cos∠EcA＝33，连接AE，则AE2＝cA2＋cE2－2cA•cEcos∠EcA＝23，于是Ac2＝AE2＋cE2，∴∠AEc＝90°，∴AE⊥Bc.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又Bc，DE⊂平面Bc，Bc∩DE＝E，∴AE⊥平面Bc，即AE是三棱锥A－Bc的高，设点到平面ABc的距离为h，∵S△Bc＝34，AE＝63，所以由VA－Bc＝V－ABc，可得13×34×63＝13×12×2×1×h，∴h＝12，故选A.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
3．已知，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若α⊥β，⊂α，n⊂β，则⊥n；
②若⊥α，n⊥β，⊥n，则α⊥β；
③若∥α，n∥β，∥n，则α∥β；
④若⊥α，n∥β，α∥β，则⊥n.
其中所有正确命题的序号是________．
答案：
②④
解析：
对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n；由⊥α，α∥β得⊥β，⊥n1；又n1∥n，因此有⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.
．如图，在正方体ABcD－A1B1c1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在cD上，若EF∥平面AB1c，则EF＝________.
答案：
2
解析：
根据题意，因为EF∥平面AB1c，所以EF∥Ac.又E是AD的中点，所以F是cD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2.
．已知正三棱锥P－ABc，点P，A，B，c都在半径为3的球面上，若PA，PB，Pc两两垂直，则球心到截面ABc的距离为________．
答案：
33
解析：
∵正三棱锥P－ABc，PA，PB，Pc两两垂直，∴此正三棱锥的外接球为以PA，PB，Pc为三条棱的正方体的外接球o.∵球o的半径为3，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝Pc＝2.球心到截面ABc的距离，即正方体的中心到截面ABc的距离．设P到截面ABc的距离为h，则正三棱锥P－ABc的体积V＝13S△ABc×h＝13S△PAB×Pc＝13×12×2×2×2＝43.
∵△ABc为边长为22的正三角形，S△ABc＝34×2＝23，
∴h＝3VS△ABc＝233.
∴球心o到截面ABc的距离为3－233＝33.
．如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABcD中，o为底面正方形的中心，，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①Pc∥平面oN；
②平面PcD∥平面oN；
③o⊥PA；
④直线PD与N所成角的大小为90°.
其中正确结论的序号是________．
答案：
①②③
解析：
如图，连接Ac，易得Pc∥o，所以Pc∥平面oN，结论①正确．同理PD∥oN，所以平面PcD∥平面oN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋Bc2＝PA2＋Pc2＝Ac2，所以Pc⊥PA，又Pc∥o，所以o⊥PA，结论③正确．由于，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以N∥AB，又四边形ABcD为正方形，所以AB∥cD，所以直线PD与N所成的角即直线PD与cD所成的角∠PDc，又三角形PDc为等边三角形，所以∠PDc＝60°，故④错误．故正确的结论为①②③.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
．
如图，已知AB⊥平面AcD，DE∥AB，△AcD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是cD的中点．
求证：
AF∥平面BcE；
求证：
平面BcE⊥平面cDE.
证明：
取cE的中点P，连接FP，BP.
∵F为cD的中点，∴FP∥DE，且FP＝12DE.
又AB∥DE，且AB＝12DE.∴AB∥FP，且AB＝FP，
∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.
又∵AF⊄平面BcE，BP⊂平面BcE，
∴AF∥平面BcE.
∵△AcD为正三角形，∴AF⊥cD.
∵AB⊥平面AcD，DE∥AB，
∴DE⊥平面AcD.
又AF⊂平面AcD，
∴DE⊥AF.又cD∩DE＝D，
∴AF⊥平面cDE.
又BP∥AF，∴BP⊥平面cDE.又∵BP⊂平面BcE，
∴平面BcE⊥平面cDE.
．
如图，Ac是圆o的直径，点B在圆o上，∠BAc＝30°，Ac⊥B，交Ac于点，EA⊥平面ABc，cF∥AE，AE＝3，Ac＝4，cF＝1.
证明：
BF⊥E；
求三棱锥B－EF的体积．
解析：
证明：
∵EA⊥平面ABc，∴EA⊥B，
又B⊥Ac，Ac∩EA＝A，∴B⊥平面AcFE，
∴B⊥E.①
∵cF∥AE，∴cF⊥平面ABc，∴cF⊥Ac，
∴F＝c2＋Fc2＝2，又E＝32，EF＝42＋22＝25，
∴F2＋E2＝EF2，∴E⊥F.②
由①②并结合F∩B＝，得E⊥平面BF，BF⊂平面BF
∴E⊥BF.
由可知E⊥平面BF，
∴VB－EF＝VE－BF＝13×S△BF×E＝13××32＝3.
．
如图，在三棱锥P－ABc中，E，F分别为Ac，Bc的中点．
证明：
EF∥平面PAB；
若平面PAc⊥平面ABc，且PA＝Pc，∠ABc＝90°，求证：
Bc⊥平面PEF.
解析：
因为E，F分别为Ac，Bc的中点，
所以EF∥AB，
又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB.
在三角形PAc中，因为PA＝Pc，E为Ac的中点，所以PE⊥Ac.
因为平面PAc⊥平面ABc，平面PAc∩平面ABc＝Ac，PE⊂平面PAc，
所以PE⊥平面ABc，
因为Bc⊂平面ABc，所以PE⊥Bc.
又EF∥AB，∠ABc＝90°，所以EF⊥Bc.
又EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，
所以Bc⊥平面PEF.
0．
如图，四棱锥P－ABcD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABcD，AB＝Bc＝12AD，∠BAD＝∠ABc＝90°.
证明：
直线Bc∥平面PAD；
若△PcD的面积为27，求四棱锥P－ABcD的体积．
解析：
证明：
在平面ABcD内，因为∠BAD＝∠ABc＝90°，所以Bc∥AD.
又Bc⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故Bc∥平面PAD.
取AD的中点，连接P，c.由AB＝Bc＝12AD及Bc∥AD，∠ABc＝90°得四边形ABc为正方形，则c⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABcD，平面PAD∩平面ABcD＝AD，所以P⊥AD，P⊥底面ABcD.因为c⊂底面ABcD，所以P⊥c.设Bc＝x，则c＝x，cD＝2x，P＝3x，Pc＝PD＝2x.取cD的中点N，连接PN，则PN⊥cD，所以PN＝142x.
因为△PcD的面积为27，所以12×2x×142x＝27，
解得x＝－2，x＝2.于是AB＝Bc＝2，AD＝4，P＝23.
所以四棱锥P－ABcD的体积V＝13×22＋42×23＝43.
1．
如图，梯形ABcD中，∠BAD＝∠ADc＝90°，cD＝2，AD＝AB＝1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF⊥平面ABcD.
求证：
DF⊥cE；
若Ac与BD相交于点o，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面oBG∥平面EFc？
并说明理由．
解析：
证明：
连接EB.∵在梯形ABcD中，∠BAD＝∠ADc＝90°，AB＝AD＝1，Dc＝2，∴BD＝2，Bc＝2，∴BD2＋Bc2＝cD2，∴Bc⊥BD.
又∵平面BDEF⊥平面ABcD，平面BDEF∩平面ABcD＝BD，Bc⊂平面ABcD，
∴Bc⊥平面BDEF，∴Bc⊥DF.
又∵正方形BDEF中，DF⊥EB，且EB，Bc⊂平面BcE，EB∩Bc＝B，
∴DF⊥平面BcE.又∵cE⊂平面BcE，∴DF⊥cE.
在棱AE上存在点G，使得平面oBG∥平面EFc，且AGGE＝12.理由如下：
连接oG，BG，在梯形ABcD中，∠BAD＝∠ADc＝90°，AB＝1，Dc＝2，
∴AB∥Dc，∴Aooc＝ABDc＝12.
又∵AGGE＝12，∴oG∥cE.
又∵正方形BDEF中，EF∥oB，且oB，oG⊄平面EFc，EF，cE⊂平面EFc，∴oB∥平面EFc，oG∥平面EFc.
又∵oB∩oG＝o，且oB，oG⊂平面oBG，∴平面oBG∥平面EFc.
2．
如图1，在正方形ABcD中，点E，F分别是AB，Bc的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且DGGH＝BRRH.将△AED，△cFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，c重合于点P，如图2所示．
求证：
GR⊥平面PEF；
若正方形ABcD的边长为4，求三棱锥P－DEF的内切球的半径．
解析：
证明：
在正方形ABcD中，∠A，∠B，∠c为直角．
∴在三棱锥P－DEF中，PE，PF，PD两两垂直．
∴PD⊥平面PEF.
∵DGGH＝BRRH，即DGGH＝PRRH，∴在△PDH中，RG∥PD.
∴GR⊥平面PEF.
正方形ABcD边长为4.
由题意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝22，DF＝25.
∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4.
S△DEF＝12×22×252－22＝6.
设三棱锥P－DEF内切球的半径为r，
则三棱锥的体积VP－DEF＝13×12×2×2×4＝13•r，解得r＝12.
∴三棱锥P－DEF的内切球的半径为12.
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