高考数学题型整理分类《18函数的概念与性质》解析版含历年真题.docx

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高考数学题型整理分类《18函数的概念与性质》解析版含历年真题

（十八）小题考法——函数的概念与性质

A组——10＋7提速练

一、选择题

1．（2019届高三·杭州四校联考）已知函数f（x）＝

则f（f（4））的值为（　　）

A．－

　　　　　　　　B．－9

C．

D．9

解析：

选C　因为f（x）＝

所以f（f（4））＝f（－2）＝

.

2．已知函数f（x）＝

则下列结论正确的是（　　）

A．函数f（x）是偶函数

B．函数f（x）是减函数

C．函数f（x）是周期函数

D．函数f（x）的值域为[－1，＋∞）

解析：

选D　由函数f（x）的解析式，知f

（1）＝2，f（－1）＝cos（－1）＝cos1，f

（1）≠f（－1），则f（x）不是偶函数．当x>0时，f（x）＝x2＋1，则f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，且函数值f（x）>1；当x≤0时，f（x）＝cosx，则f（x）在区间（－∞，0]上不是单调函数，且函数值f（x）∈[－1,1]．所以函数f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞）．故选D.

3．（2018·全国卷Ⅲ）函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为（　　）

解析：

选D　法一：

令f（x）＝－x4＋x2＋2，

则f′（x）＝－4x3＋2x，

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝±

，

则f′（x）>0的解集为

∪

，

f（x）单调递增；f′（x）<0的解集为

∪

，f（x）单调递减，结合图象知选D.

法二：

当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝

时，y＝－

＋

＋2＝2

>2，所以排除C选项．故选D.

4．已知函数f（x－1）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（　　）

解析：

选B　函数f（x－1）的图象向左平移1个单位，即可得到函数f（x）的图象．因为函数f（x－1）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x－1）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于点（－1,0）对称，排除A、C、D，故选B.

5．（2019届高三·镇海中学测试）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x＋2）－3x＋a（a∈R），则f（－2）＝（　　）

A．－1B．－5

C．1D．5

解析：

选D　因为f（x）为定义在R上的奇函数，

所以f（0）＝1＋a＝0，即a＝－1.

故f（x）＝log2（x＋2）－3x－1（x≥0），

所以f（－2）＝－f

（2）＝5.故选D.

6．（2018·诸暨高三期末）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图象关于直线x＝1对称，则下列四个命题中错误的是（　　）

A．y＝g（f（x）＋1）为偶函数

B．y＝g（f（x））为奇函数

C．函数y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f（g（x＋1））为偶函数

解析：

选B　由题可知

选项A，g（f（－x）＋1）＝g（－f（x）＋1）＝g（1＋f（x）），

所以y＝g（f（x）＋1）为偶函数，正确；

选项B，g（f（－x））＝g（－f（x））＝g（2＋f（x）），

所以y＝g（f（x））不一定为奇函数，错误；

选项C，f（g（－x））＝f（g（2＋x）），所以y＝f（g（x））的图象关于直线x＝1对称，正确；

选项D，f（g（－x＋1））＝f（g（x＋1）），所以y＝f（g（x＋1））为偶函数，正确．

综上，故选B.

7．函数y＝

＋

在[－2,2]上的图象大致为（　　）

解析：

选B　当x∈（0,2]时，函数y＝

＝

，x2>0恒成立，令g（x）＝lnx＋1，则g（x）在（0,2]上单调递增，当x＝

时，y＝0，则当x∈

时，y＝

<0，x∈

时，y＝

>0，∴函数y＝

在（0,2]上只有一个零点

，排除A、C、D，只有选项B符合题意．

8．（2018·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A．－50B．0

C．2D．50

解析：

选C　法一：

∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴f（1－x）＝－f（x－1）．

由f（1－x）＝f（1＋x），得－f（x－1）＝f（x＋1），

∴f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）是周期为4的周期函数．

由f（x）为奇函数得f（0）＝0.

又∵f（1－x）＝f（1＋x），

∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴f

（2）＝f（0）＝0，∴f（－2）＝0.

又f

（1）＝2，∴f（－1）＝－2，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝f

（1）＋f

（2）＋f（－1）＋f（0）＝2＋0－2＋0＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（49）＋f（50）

＝0×12＋f（49）＋f（50）

＝f

（1）＋f

（2）＝2＋0＝2.

法二：

由题意可设f（x）＝2sin

，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

9．设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>b>c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f

（1）＝0.若a2＋[f（m1）＋f（m2）]a＋f（m1）·f（m2）＝0，则（　　）

A．b≥0B．b<0

C．3a＋c≤0D．3a－c<0

解析：

选A　∵函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>b>c），

满足f

（1）＝0，∴a＋b＋c＝0.

若a≤0，∵a>b>c，∴b<0，c<0，

则有a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，∴a>0成立．

若c≥0，则有b>0，a>0，

此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾，

∴c<0成立．

∵a2＋[f（m1）＋f（m2）]·a＋f（m1）·f（m2）＝0，

∴[a＋f（m1）]·[a＋f（m2）]＝0，

∴m1，m2是方程f（x）＝－a的两根，

∴Δ＝b2－4a（a＋c）＝b（b＋4a）＝b（3a－c）≥0，

而a>0，c<0，

∴3a－c>0，∴b≥0.故选A.

10．已知函数f（x）＝

若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,2]B．（－∞，2]

C．（0,2]D．[2，＋∞）

解析：

选A　依题意，当x≥1时，f（x）＝1＋log2x单调递增，f（x）＝1＋log2x在区间[1，＋∞）上的值域是[1，＋∞）．因此，要使函数f（x）的值域是R，则需函数f（x）在（－∞，1）上的值域M⊇（－∞，1）．①当a－1<0，即a<1时，函数f（x）在（－∞，1）上单调递减，函数f（x）在（－∞，1）上的值域M＝（－a＋3，＋∞），显然此时不能满足M⊇（－∞，1），因此a<1不满足题意；②当a－1＝0，即a＝1时，函数f（x）在（－∞，1）上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇（－∞，1），因此a＝1不满足题意；③当a－1>0，即a>1时，函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，函数f（x）在（－∞，1）上的值域M＝（－∞，－a＋3），由M⊇（－∞，1）得

解得1

二、填空题

11．已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x>

时，f

＝f

，则f（0）＝________，f（6）＝________.

解析：

函数f（x）在[－1,1]上为奇函数，故f（0）＝0，

又由题意知当x>

时，f

＝f

，

则f（x＋1）＝f（x）．

又当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x），

∴f（6）＝f

（1）＝－f（－1）．

又当x<0时，f（x）＝x3－1，

∴f（－1）＝－2，∴f（6）＝2.

答案：

0　2

12．（2018·台州第一次调考）若函数f（x）＝a－

（a∈R）是奇函数，则a＝________，函数f（x）的值域为____________．

解析：

函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），

∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）恒成立，

∴a－

＝－

恒成立，

∴a＝

＋

＝

＋

＝

＝－1.

∴f（x）＝－1－

，当x∈（0，＋∞）时，2x>1，

∴2x－1>0，∴

>0，∴f（x）<－1；

当x∈（－∞，0）时，0<2x<1，

∴－1<2x－1<0，∴

<－1，

∴－

>2，∴f（x）>1，

故函数f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

答案：

－1　（－∞，－1）∪（1，＋∞）

13．（2018·绍兴柯桥区模拟）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f

（2）＝0，若f（x－2）>0，则x的取值范围是________．

解析：

∵偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，

且f

（2）＝0，

∴f

（2）＝f（－2）＝0，

则不等式f（x－2）>0，等价为f（|x－2|）>f

（2），

∴|x－2|<2，

即－2

∴x的取值范围是（0,4）．

答案：

（0,4）

14．已知函数f（x）＝e|x|，函数g（x）＝

对任意的x∈[1，m]（m>1），都有f（x－2）≤g（x），则m的取值范围是________．

解析：

作出函数y1＝e|x－2|和y＝g（x）的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g

（1），又当x＝4时，y1＝e24时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln4，解得x≤

＋ln2，又m>1，

∴1

＋ln2.

答案：

15．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：

（1）a★b＝b★a；

（2）a★0＝a；（3）（a★b）★c＝c★（ab）＋（a★c）＋（c★b）－2c.

关于函数f（x）＝x★

，有如下说法：

①函数f（x）在（0，＋∞）上的最小值为3；

②函数f（x）为偶函数；

③函数f（x）为奇函数；

④函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞）；

⑤函数f（x）不是周期函数．

其中正确说法的序号为________．

解析：

对于新运算“★”的性质（3），令c＝0，则（a★b）★0＝0★（ab）＋（a★0）＋（0★b）＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f（x）＝x★

＝1＋x＋

，当x>0时，f（x）＝1＋x＋

≥1＋2

＝3，当且仅当x＝

，即x＝1时取等号，∴函数f（x）在（0，＋∞）上的最小值为3，故①正确；函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f

（1）＝1＋1＋1＝3，f（－1）＝1－1－1＝－1，∴f（－1）≠－f

（1）且f（－1）≠f

（1），∴函数f（x）为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f（x）＝1＋x＋

的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），故④正确；由④知，函数f（x）＝1＋x＋

不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的序号为①④⑤.

答案：

①④⑤

16．（2018·镇海中学阶段性测试）已知函数f（x）＝ln

－2，g（x）和f（x）的图象关于原点对称，将函数g（x）的图象向右平移a（a>0）个单位长度，再向下平移b（b>0）个单位长度，若对于任意实数a，平移后g（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，则b的最小值为________．

解析：

由f（x）＝ln

－2，知x>0，f（x）≥lne－2＝－1，∴f（x）min＝－1，此时x＝

.

在同一直角坐标系中，作出f（x），g（x）的图象（图略），若对于任意的a，平移后g（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，则平移后g（x）的图象的最高点不能在f（x）图象的最低点的上方，则1－b≤－1，则b的最小值为2.

答案：

2

17．（2017·山东高考）若函数exf（x）（e＝2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

①f（x）＝2－x；②f（x）＝3－x；③f（x）＝x3；

④f（x）＝x2＋2.

解析：

设g（x）＝exf（x），对于①，g（x）＝ex·2－x，

则g′（x）＝（ex·2－x）′＝ex·2－x（1－ln2）>0，

所以函数g（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，故①符合要求；

对于②，g（x）＝ex·3－x，

则g′（x）＝（ex·3－x）′＝ex·3－x（1－ln3）<0，

所以函数g（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，故②不符合要求；

对于③，g（x）＝ex·x3，

则g′（x）＝（ex·x3）′＝ex·（x3＋3x2），

显然函数g（x）在（－∞，＋∞）上不单调，故③不符合要求；

对于④，g（x）＝ex·（x2＋2），

则g′（x）＝[ex·（x2＋2）]′＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]>0，

所以函数g（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，故④符合要求．

综上，具有M性质的函数的序号为①④.

答案：

①④

B组——能力小题保分练

1．（2019届高三·浙江新高考名校联考）函数f（x）＝ln|x|＋

x2的大致图象是（　　）

解析：

选A　因为f（－x）＝ln|－x|＋

（－x）2＝ln|x|＋

x2＝f（x），所以f（x）是偶函数，于是其图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f（x）＝lnx＋

x2，f′（x）＝

＋x≥2，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，排除B；当x∈（0,1）时，f′（x）>2，且f′（x）是减函数，当x>1时，f′（x）>2，且f′（x）是增函数，因此，当x趋近于0或x趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.

2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）

B．f（80）

C．f（11）

D．f（－25）

解析：

选D　因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3）．

由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x－4）＝－f（x），得f（11）＝f（3）＝－f（－1）＝f

（1）．

因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，

所以f（x）在区间[－2,2]上是增函数，

所以f（－1）

（1），即f（－25）

3.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）

A．f（x）＝x2－2ln|x|

B．f（x）＝x2－ln|x|

C．f（x）＝|x|－2ln|x|

D．f（x）＝|x|－ln|x|

解析：

选B　由图象知，函数f（x）是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x>0时的图象即可．对于选项A，当x>0时，f（x）＝x2－2lnx，所以f′（x）＝2x－

＝

，因此f（x）在x＝1处取得极小值，故A错误；对于选项B，当x>0时，f（x）＝x2－lnx，所以f′（x）＝2x－

＝

，因此f（x）在x＝

处取得极小值，故B正确；对于选项C，当x>0时，f（x）＝x－2lnx，所以f′（x）＝1－

＝

，因此f（x）在x＝2处取得极小值，故C错误；对于选项D，当x>0时，f（x）＝x－lnx，所以f′（x）＝1－

＝

，因此f（x）在x＝1处取得极小值，故D错误．故选B.

4．定义：

F（x）＝max{f（t）|－1≤t≤x≤1}，G（x）＝min{f（t）|－1≤t≤x≤1}，其中max{m，n}表示m，n中的较大者，min{m，n}表示m，n中的较小者．已知函数f（x）＝2ax2＋bx

，则下列说法一定正确的是（　　）

A．若F（－1）＝F

（1），则f（－1）>f

（1）

B．若G

（1）＝F（－1），则F（－1）

（1）

C．若f（－1）＝f

（1），则G（－1）>G

（1）

D．若G（－1）＝G

（1），则f（－1）>f

（1）

解析：

选B　依据题意，由

≤4可得f（x）＝2ax2＋bx的图象的对称轴x＝－

∈[－1,1]，由F（－1）＝F

（1）知f（－1）＝F

（1），F

（1）为f（t）在t∈[－1,1]上的最大值，无法排除f（－1）＝f

（1）的可能，所以A错误；由G

（1）＝F（－1）＝f（－1）知，f（t）在t∈[－1,1]上的最小值为f（－1），所以F（－1）＝f（－1）

（1），B正确；由f（－1）＝f

（1）可知，f（x）＝2ax2，当a<0时，显然G（－1）＝G

（1），所以C错误；由G（－1）＝G

（1）知，f（－1）＝G

（1），G

（1）为f（t）在t∈[－1,1]上的最小值，无法排除f（－1）＝f

（1）的可能，所以D错误．

5．（2018·杭州模拟）设集合A＝{x|x2－|x＋a|＋2a＜0，a∈R}，B＝{x|x＜2}．若A≠∅且A⊆B，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意知x2－|x＋a|＋2a＜0⇒x2＜|x＋a|－2a，其解集A≠∅时，可设A＝{m＜x＜n}．

首先，若n＝2时，则|2＋a|－2a＝4，

解得a＝－2，满足A⊆B.

由函数y＝|x＋a|－2a的图象可知，当a＜－2时，n＞2，不满足A⊆B，不合题意，即可知a≥－2；考虑函数y＝|x＋a|－2a的右支与y＝x2相切时，则x＋a－2a＝x2，即x2－x＋a＝0，解得a＝

.

又当a≥

时，A＝∅，即可知a＜

.

综上可知：

－2≤a＜

.

或考虑函数y＝|x＋a|和函数y＝x2＋2a进行数形结合．

答案：

6．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝

（x>0）图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2

，则满足条件的实数a的所有值为________．

解析：

设P

，则|PA|2＝（x－a）2＋

2＝

2－2a

＋2a2－2，

令t＝x＋

，则t≥2（x>0，当且仅当x＝1时取“＝”），则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.

①当a≤2时，（|PA|2）min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，

由题意知，2a2－4a＋2＝8，

解得a＝－1或a＝3（舍去）．

②当a>2时，（|PA|2）min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.

由题意知，a2－2＝8，解得a＝

或a＝－

（舍去），

综上知，a＝－1，

.

答案：

－1，