数学习题八年级上天府前沿.docx

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数学习题八年级上天府前沿

P49天府前沿

14、如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，将三角形ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若三角形FDE的周长为8，三角形FCB的周长为22，求FC的长。

答：

因为折叠，EF=AE,BF=AB，

所以DF+FC=DC=AB=FB

（1）,     DE+EF=DE+EA=DA=CB

（2）

（1）+

（2）得DF+DE+EF=FB+CB-FC

DF+DE+EF=8,

FB+CB-FC=（FB+FC+CB）-2FC=22

所以-2FC=8-22

FC=7

P49页

15、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=二分之一BC,延长AB至F,使BF=AB，再延长BA至E，使AE=BA，请你判断EC与FD的位置关系，并说明理由。

答：

EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,内错角相等，据角边角定理，三角形AEM≌三角形DMC

三角形BFN≌三角形DCN ∴AM=DM BN=NC M,N分别为AB,BC的中点，连接MN

∵AB=1/2BC  ∴MD=DC=NC=MN

四边形MNCD为棱形，MC,ND为对角线，MC垂直ND

所以EC垂直FD

P53页

13、如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间为（ ）秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形。

答：

AP=t，PD=6-t

CQ=2t

1.EQ=8-2t

PD=EQ

6-t=8-2t

t=2s

2.EQ=2t-8

6-t=2t-8

3t=14

t=14/3 s（∵14/3＜18/3=6，∴此时P未到D点，成立）

∴当t=2秒时，PDQE是平行四边形

当t=14/3秒时，PDEQ是平行四边形

14、如图，已知三角形ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF。

（1）求证三角形BDE全等于三角形FEC；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由

（1）三角形ABD≌三角形ACD≌三角形AFD

（2）四边形ABDF是平行四边形

因为CD=CE，角ACB=60，所以三角形CDE为全等三角形。

因为EF=AE，角AEF等于60度，所以三角形AEF为全等三角形，

AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以BD=AF,

在三角形BDE和三角形FCE中，角BDE=180-60=120,角CEF=180-60=120,

DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形BDE和三角形FCE全等。

因三角形ABC是等边三角形,角CBA等于60度；又角CDF等于60度，所以DF//AB,又DF=AE，三角形DCE是等边三角形，所以EF+DE=AE+EC=AC=AB，

即DF=AB,故四边形ABDF是平行四边形。

15、请用两种方法解答：

如图：

CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，AE平分角BAC，并交CD于点E，过E点作EF//AB,并交BC于F点，求证：

CE=BF。

方法一：

证：

过E作EG平行BC交AB于点G

又因为EF平行于AB，所以有EFBG为平行四边形，即有：

FB=EG

再因AE平分角BAC，所以：

角CAE=角BAE

因为在直角三角形ABC中，角BCA=90度，CD垂直于AB

易得：

角ACD=角B=角EGA

因为AE是公共边

所以有三角形CAE全等于三角形GAE

所以有：

CE=EG=BF

方法二：

过E作AC的垂直线交AC于M,过F作AB的垂线交AB于G,

DE=FG,因为AE平分角A,可证三角形ADE和三角形AEM全等，即ME=ED=FG

在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中，角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90,

所以，角B等于角ACE,在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,ME=FG,所以

Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。

P55

14、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD,角BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE，

（1）求证四边形ABED是菱形；

（2）若角ABC=60度，CE=2BE,试判断三角形CDE的形状并说明理由。

答：

因为AD//BC.AB=AD角BAD的平分线AE交BC于点E

所以角DAE=角AEB=角BAE，所以BE=AB=AD，所以四边形ABED是菱形

所以角DEC=角B=60度，又因为CE=2BE=2DE，

取CE重点F，连结DF，则EF=ED

所以▲CDF是等边三角形，所以DF=CF，一个外角等于两个内角之和，所以角C=角DFE的一半=30度

所以角CDE=90度，所以▲CDE是直角三角形

15、如图，AD是Rt三角形ABC斜边BC上的高，角B的平分线交AD于点E，交AC于点G,

（1）比较AE、AG的大小，并说明理由；

（2）作GF垂直BC于点F，连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由。

（3）若AD=4,BD=3,求AE的长。

1.∵∠C+DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠C=∠BAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵∠AGE=∠BAD+∠ABE，∠AEG=∠C+∠CBE，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE。

（2）AG=GF （角平分线上的点到两边的距离相等）

BG=BG, 所以 △ABG≡△FBG, 故, ∠AGB=∠FGB

又 EG=EG  AG=GF 所以△AEG≡△FEG,故AE=EF,

即 AG=GF=AE=EF  所以四边形AEFG的形状是菱形

∴四边形AEFG是菱形

（3）3）AD=4，BD=3 则AB=5，

根据角平分线定理：

AE/ED=AB/BD  即AE/（AD-AE）=AB/BD

AE/（3-AE）=5/4

解得：

AE=5/3

P57页：

第十二题：

如图8，在长方形ABCD中，AB=3CM,AD=4CM,过对角线BD的中点0作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为：

∵解：

设AE=x，连接BE，∵OE垂直平分BD，∴EB=ED=4-x,在直角三角形ABE中，BE2-AE2=AB2，即（4-x）2-x2=32，解得：

x=7/8，答：

AE=7/8

P57页第13题：

如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为一，则第n个矩形的面积为：

第n个矩形的面积为sn。

sn=1/2^（2n-2）

易得第二个矩形的周长为1/2，第三个矩形的周长为1/2^2，依此类推，第n个矩形的周长为1/2^n-1，面积为=（1/2^n-1*1/2^n-1）=1/2^（2n-2）

P57页14题：

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MV//BC，设MN交角BCA的平分线于点E，交角BCA的外角平分线于点F，连结AE、AF,那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论。

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．

解答：

解：

当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明：

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=OF，而OA=OC

AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，∠ECF是90°，

P57页：

15题。

在平分四边ABCD中，角BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若角ABC=90度，G是EF的中点（如图2），直接写出角BDG的度数；（3）若角ABC=120度，FG//CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求角BDG的度数。

解：

（1）证明：

∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.∴∠CEF=∠F.∴CE=Cf

（2）连BG、CG，∵BE=AB=DC，EG=CG，∠BEG=135°=∠DCG，

∴△BEG≌△DCG，BG=DG，∴∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠EGC=90°

∴△BDG是等腰直角三角形，∴∠BDG=45°

（3）

分别连接GB,GE,GC（如图4）∵AB∥DC,∠ABC=120°，∴∠ECF=∠ABC=120°，

∵FG∥CE且FG=CE,∴四边形CEGF是平行四边形.

由

（1）得CE=CF,∴平行四边形CEGF是菱形.∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=1/2∠ECF=60°∴△ECG是等边三角形.∴EG=CG,①∠GEC=∠GCF=60°.∴∠GEC=∠GCF.∴∠BEG=∠DCG.②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.在平行四边形ABCD中，AB=DC.∴BE=DC.③由①②③得△BEG≌△DCG.∴BG=DG,∠1=∠2.∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°.∴∠BDG=（180°-∠BGD）/2=60°

P59页：

13题。

长为1，宽为a的矩形纸片（a大于二分之一小于1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时的矩形宽幅的正方形（称第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩余的矩形为正方形，则操作终止，当n=3时，a的值为？

一

1/2＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1．此时，分两种情况：

①如果1-a＞2a-1，即a＜2/3

，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1．

则2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=3/5;

②如果1-a＜2a-1，即a＞2/3,那么第三次操作时正方形的边长为1-a．

则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=3/4

故答案为3/5；或3/4.

P59页第14题：

如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交点H.

（1）求证：

EB=GD;

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2,AG=√2,求EB的长。

1）因为正方形AEFG中，AE垂直于AG，那么

在三角形AEB和三角形AGD中，AB=AD，

所以三角形AEB和三角形AGD全等，所以BE=DG。

2）EB⊥GD，连接BD，由

（1）得∠ADG=∠ABE则在△BDH中，角ABH+角HBD+角BDH=90度，角GDA=角ABH，所以，角HBD+角BDH=90度，所以，DHB=90°所以EB⊥GD；

3）AB=2,AG=√2

设BD与C交O点，在RT三角形ABD中，BD^2=AB^2+AD^2=

√（4+4）=2√2，在Rt三角形GOD中，GD^2=（AG+AO）^2-DO^2=（2√2）^2-√2^2=6

GD=√6,GD=BE所以BE=√6。

Ｐ６１页，第１５题：

如图，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ//BC,AD=AB=CD=2,角C=60度，M是BC的中点，

（1）求证三角形MDC是等边三角形；

将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？

如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

（1）过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP=BQ=1/2AB，CP+BQ=AB=1，得出BC=2CD，由点M是BC的中点，推出CM=CD，由∠C=60°，根据等边三角形的判定即可得到答案；

（2）△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME=∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3，即可求出△AEF的周长．．

解答：

（1）证明：

过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，即AQ∥DP，∵AD∥BC，∴ADPQ是平行四边形，∴AD=QP=AB=CD，∵∠C=∠B=60°，∴∠BAQ=∠CDP=30°，∴CP=BQ=1/2AB=1，即BC=1+1+2=4，∵CD=2，∴BC=2CD，∵点M是BC的中点，BC=2CM，∴CD=CM，∵∠C=60°，∴△MDC是等边三角形．

（2）解：

△AEF的周长存在最小值，理由如下：

连接AM，由

（1）平行四边形ABMD是菱形，△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，∴∠BME=∠AMF，在△BME与△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，∴△BME≌△AMF（ASA），∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，∵MF的最小值为点M到AD的距离√3，即EF的最小值是√3，△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，△AEF的周长的最小值为2+√3，答：

存在，△AEF的周长的最小值为2+√3．