0007算法笔记分治法最接近点对问题.docx
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0007算法笔记分治法最接近点对问题
问题场景:
在应用中,常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体.在涉及这些几何对象的问题中,常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。
例如,在空中交通控制问题中,若将飞机作为空间中移动的一个点来看待,则具有最大碰撞危险的2架飞机,就是这个空间中最接近的一对点。
这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。
问题描述:
给定平面上n个点,找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。
严格地说,最接近点对可能多于1对.为了简单起见,这里只限于找其中的一对。
1、一维最接近点对问题
算法思路:
这个问题很容易理解,似乎也不难解决。
我们只要将每一点与其他n—1个点的距离算出,找出达到最小距离的两个点即可.然而,这样做效率太低,需要O(n^2)的计算时间。
在问题的计算复杂性中我们可以看到,该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。
这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。
采用分治法思想,考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2,每个子集中约有n/2个点,然后在每个子集中递归地求其最接近的点对.在这里,一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤,即由S1和S2的最接近点对,如何求得原集合S中的最接近点对,因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。
如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中,则问题很容易解决。
但是,如果这2个点分别在S1和S2中,则对于S1中任一点p,S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者,仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。
因此,依此思路,合并步骤耗时为O(n^2)。
整个算法所需计算时间T(n)应满足:
T(n)=2T(n/2)+O(n^2).它的解为T(n)=O(n^2),即与合并步骤的耗时同阶,这不比用穷举的方法好。
从解递归方程的套用公式法,我们看到问题出在合并步骤耗时太多.这启发我们把注意力放在合并步骤上.
设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,。
.,xn。
最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。
我们显然可以先将x1,x2,.。
xn排好序,然后,用一次线性扫描就可以找出最接近点对。
这种方法主要计算时间花在排序上,在排序算法已经证明,时间复杂度为O(nlogn)。
然而这种方法无法直接推广到二维的情形。
因此,对这种一维的简单情形,我们还是尝试用分治法来求解,并希望能推广到二维的情形。
假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2,使得S1={x∈S|x≤m};S2={x∈S|x〉m}。
这样一来,对于所有p∈S1和q∈S2有p递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2},并设d=min{|p1-p2|,|q1—q2|},S中的最接近点对或者是{p1,p2},或者是{q1,q2},或者是某个{p3,q3},其中p3∈S1且q3∈S2。
如图所示。
如果S的最接近点对是{p3,q3},即|p3-q3|〈d,则p3和q3两者与m的距离不超过d,即|p3—m|由于在S1中,每个长度为d的半闭区间至多包含一个点(否则必有两点距离小于d),并且m是S1和S2的分割点,因此(m—d,m]中至多包含S中的一个点。
同理,(m,m+d]中也至多包含S中的一个点。
由图可以看出,如果(m-d,m]中有S中的点,则此点就是S1中最大点。
同理,如果(m,m+d]中有S中的点,则此点就是S2中最小点。
因此,我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点,即p3和q3.从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。
也就是说,按这种分治策略,合并步可在O(n)时间内完成。
这样是否就可以得到一个有效的算法了呢?
还有一个问题需要认真考虑,即分割点m的选取,及S1和S2的划分。
选取分割点m的一个基本要求是由此导出集合S的一个线性分割,即S=S1∪S2 ,S1∩S2=Φ,且S1={x|x≤m};S2={x|x〉m}。
容易看出,如果选取m=[max(S)+min(S)]/2,可以满足线性分割的要求.选取分割点后,再用O(n)时间即可将S划分成S1={x∈S|x≤m}和S2={x∈S|x〉m}.然而,这样选取分割点m,有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。
例如在最坏情况下,|S1|=1,|S2|=n-1,由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程:
T(n)=T(n—1)+O(n)
它的解是T(n)=O(n^2)。
这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。
即通过适当选择分割点m,使S1和S2中有大致相等个数的点.自然地,我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。
在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m.
本程序确定平衡点采用m=[max(S)+min(S)]/2方法。
如果需要利用中位数作分割点,看结合笔者博文《0005算法笔记——线性时间选择》改写。
一维最接近临近点对问题程序清单如下:
[cpp] viewplain copy
1.//2d10—1 一维最邻近点对问题
2.#include ”stdafx.h”
3.#include 4.#include
5.using namespace std;
6.
7.const int L=100;
8.//点对结构体
9.struct Pair
10.{
11. float d;//点对距离
12. float d1,d2;//点对坐标
13.};
14.float Random();
15.int input(float s[]);//构造S
16.float Max(float s[],int p,int q);
17.float Min(float s[],int p,int q);
18.template
19.void Swap(Type &x,Type &y);
20.template 〈class Type>
21.int Partition(Type s[],Type x,int l,int r);
22.Pair Cpair(float s[],int l,int r);
23.
24.int main()
25.{
26. srand((unsigned)time(NULL));
27. int m;
28. float s[L];
29. Pair d;
30. m=input(s);
31. d=Cpair(s,0,m-1);
32. cout< (d1:
"〈〈d。
d1〈<",d2:
”<〈d。
d2〈<”)”;
33. cout<〈endl〈〈"这两点距离为:
"〈〈d.d<〈endl;
34. return 0;
35.}
36.
37.
38.float Random()
39.{
40. float result=rand()%10000;
41. return result*0.01;
42.}
43.
44.int input(float s[])
45.{
46. int length;
47. cout〈〈”输入点的数目:
";
48. cin〉>length;
49. cout<〈"点集在X轴上坐标为:
";
50. for(int i=0;i51. {
52. s[i]=Random();
53. cout<〈s[i]<<" ";
54. }
55.
56. return length;
57.}
58.
59.
60.float Max(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最大值
61.{
62. float s_max=s[l];
63. for(int i=l+1;i<=r;i++)
64. if(s_max〈s[i])
65. s_max=s[i];
66. return s_max;
67.}
68.
69.float Min(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最小值
70.{
71. float s_min=s[l];
72. for(int i=l+1;i〈=r;i++)
73. if(s_min>s[i])
74. s_min=s[i];
75. return s_min;
76.}
77.
78.template 〈class Type>
79.void Swap(Type &x,Type &y)
80.{
81. Type temp = x;
82. x = y;
83. y = temp;
84.}
85.
86.template 〈class Type〉
87.int Partition(Type s[],Type x,int l,int r)
88.{
89. int i = l — 1,j = r + 1;
90.
91. while(true)
92. {
93. while(s[++i]〈x && i94. while(s[—-j]〉x);
95. if(i〉=j)
96. {
97. break;
98. }
99. Swap(s[i],s[j]);
100. }
101. return j;
102.}
103.
104.//返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离
105.Pair Cpair(float s[],int l,int r)
106.{
107. Pair min_d={99999,0,0};//最短距离
108.
109. if(r—l<1) return min_d;
110. float m1=Max(s,l,r),m2=Min(s,l,r);
111.
112. float m=(m1+m2)/2;//找出点集中的中位数
113.
114. //将点集中的各元素按与m的大小关系分组
115. int j = Partition(s,m,l,r);
116.
117. Pair d1=Cpair(s,l,j),d2=Cpair(s,j+1,r);//递归
118. float p=Max(s,l,j),q=Min(s,j+1,r);
119.
120. //返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离
121. if(d1。
d122. {
123. if((q-p)d)
124. {
125. min_d.d=(q—p);
126. min_d.d1=q;
127. min_d。
d2=p;
128. return min_d;
129. }
130. else return d1;
131. }
132. else
133. {
134. if((q—p)d)
135. {
136. min_d。
d=(q-p);
137. min_d。
d1=q;
138. min_d。
d2=p;
139. return min_d;
140. }
141. else return d2;
142. }
143.}
程序运行结果如下:
该算法的分割步骤和合并步骤总共耗时O(n)。
因此,算法耗费的计算时间T(n)满足递归方程:
解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。
2、二维最接近点对问题
将以上过程推广到二维最接近点对问题,设S中的点为平面上的点,它们都有2个坐标值x和y。
为了将平面上点集S线性分割为大小大致相等的2个子集S1和S2,我们选取一垂直线l:
x=m来作为分割直线。
其中m为S中各点x坐标的中位数.由此将S分割为S1={p∈S|px≤m}和S2={p∈S|px>m}。
从而使S1和S2分别位于直线l的左侧和右侧,且S=S1∪S2。
由于m是S中各点x坐标值的中位数,因此S1和S2中的点数大致相等。
递归地在S1和S2上解最接近点对问题,我们分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2。
现设d=min(d1,d2).若S的最接近点对(p,q)之间的距离d(p,q)〈d则p和q必分属于S1和S2.不妨设p∈S1,q∈S2。
那么p和q距直线l的距离均小于d。
因此,我们若用P1和P2分别表示直线l的左边和右边的宽为d的2个垂直长条,则p∈S1,q∈S2,如图所示:
距直线l的距离小于d的所有点
在一维的情形,距分割点距离为d的2个区间(m-d,m](m,m+d]中最多各有S中一个点。
因而这2点成为唯一的末检查过的最接近点对候选者。
二维的情形则要复杂些,此时,P1中所有点与P2中所有点构成的点对均为最接近点对的候选者。
在最坏情况下有n2/4对这样的候选者。
但是P1和P2中的点具有以下的稀疏性质,它使我们不必检查所有这n^2/4对候选者。
考虑P1中任意一点p,它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者,则必有d(p,q)〈d。
满足这个条件的P2中的点有多少个呢?
容易看出这样的点一定落在一个d×2d的矩形R中,如下图所示:
包含点q的dX2d矩形R
由d的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。
由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点.事实上,我们可以将矩形R的长为2d的边3等分,将它的长为d的边2等分,由此导出6个(d/2)×(2d/3)的矩形。
如左图所示:
矩阵R中点的稀疏性
若矩形R中有多于6个S中的点,则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。
设u,v是这样2个点,它们位于同一小矩形中,则:
因此d(u,v)≤5d/6这与d的意义相矛盾。
也就是说矩形R中最多只有6个S中的点.图4(b)是矩形R中含有S中的6个点的极端情形。
由于这种稀疏性质,对于P1中任一点p,P2中最多只有6个点与它构成最接近点对的候选者。
因此,在分治法的合并步骤中,我们最多只需要检查6×n/2=3n对候选者,而不是n^2/4对候选者.这是否就意味着我们可以在O(n)时间内完成分治法的合并步骤呢?
现在还不能作出这个结论,因为我们只知道对于P1中每个S1中的点p最多只需要检查P2中的6个点,但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。
为了解决这个问题,我们可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。
由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中,所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d.由上面的分析可知,这种投影点最多只有6个.因此,若将P1和P2中所有S的点按其y坐标排好序,则对P1中所有点p,对排好序的点列作一次扫描,就可以找出所有最接近点对的候选者,对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。
程序清单如下:
[cpp] viewplain copy
1.//2d10-2 二维最邻近点对问题
2.#include ”stdafx.h”
3.#include〈time。
h>
4.#include〈iostream〉
5.#include〈cmath〉
6.
7.using namespace std;
8.const int M=50;
9.
10.//用类PointX和PointY表示依x坐标和y坐标排好序的点
11.class PointX {
12. public:
13. int operator<=(PointX a)const
14. { return (x<=a。
x); }
15. int ID; //点编号
16. float x,y; //点坐标
17.};
18.
19.class PointY {
20. public:
21. int operator〈=(PointY a)const
22. { return(y<=a。
y); }
23. int p; //同一点在数组x中的坐标
24. float x,y; //点坐标
25.};
26.
27.float Random();
28.template 〈class Type〉
29.float dis(const Type&u,const Type&v);
30.
31.bool Cpair2(PointX X[], int n,PointX& a,PointX& b, float& d);
32.void closest(PointX X[],PointY Y[],PointY Z[], int l, int r,PointX& a,PointX& b,float& d);
33.
34.template 〈typename Type〉
35.void Copy(Type a[],Type b[], int left,int right);
36.
37.template 〈class Type>
38.void Merge(Type c[],Type d[],int l,int m,int r);
39.
40.template
41.void MergeSort(Type a[],Type b[],int left,int right);
42.
43.int main()
44.{
45. srand((unsigned)time(NULL));
46. int length;
47.
48. cout<〈”请输入点对数:
";
49. cin〉〉length;
50.
51. PointX X[M];
52. cout<<"随机生成的二维点对为:
”〈〈endl;
53.
54. for(int i=0;i〈length;i++)
55. {
56. X[i].ID=i;
57. X[i].x=Random();
58. X[i].y=Random();
59. cout〈〈”(”<〈X[i]。
x〈<","<〈X[i].y<〈") ”;
60. }
61.
62. PointX a;
63. PointX b;
64. float d;
65.
66. Cpair2(X,length,a,b,d);
67.
68. cout〈〈endl;
69. cout<<"最邻近点对为:
("〈y<〈")和("<〈b.x<<”,"<
y<<") "<〈endl;
70. cout〈〈”最邻近距离为:
”〈〈d<71.
72. return 0;
73.}
74.
75.float Random()
76.{
77. float result=rand()%10000;
78. return result*0.01;
79.}
80.
81.//平面上任意两点u和v之间的距离可计算如下
82.template
83.inline float dis(const Type& u,const Type& v)
84.{
85. float dx=u。
x-v。
x;
86. float dy=u.y-v.y;
87. return sqrt(dx*dx+dy*dy);
88.}
89.
90.bool Cpair2(PointX X[], int n,PointX& a,PointX& b,float& d)
91.{
92. if(n<2) return false;
93.
94. PointX* tmpX = new PointX[n];
95. MergeSort(X,tmpX,0,n-1);
96.
97. PointY* Y=new PointY[n];
98. for(int i=0;i〈n;i++) //将数组X中的点复制到数组Y中
99. {
100. Y[i].p=i;
101. Y[i]。
x=X[i].x;
102. Y[i]。
y=X[i]。
y;
103. }
104.
105. PointY* tmpY = new PointY[n];
106. MergeSort(Y,tmpY,0,n-1);
107.
108. PointY* Z=new PointY[n];
109. closest(X,Y,Z,0,n-1,a,b,d);
110.
111. delete []Y;
112. delete []Z;
113. delete []tmpX;
114. del