立体几何初步讲义.docx

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立体几何初步讲义

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识梳理

1．平面的基本性质

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

（4）公理2的三个推论

推论1：

经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．空间中两直线的位置关系

（1）空间两直线的位置关系

（2）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

（3）平行公理和等角定理

①平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

辨析感悟

1．对平面基本性质的认识

（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．（×）

（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.（×）

（3）（教材练习改编）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（√）

（4）（教材练习改编）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（×）

2．对空间直线关系的认识

（5）已知a，b是异面直线、直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．（√）

（6）没有公共点的两条直线是异面直线．（×）

[感悟·提升]

1．一点提醒　做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如

（1）中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．

2．两个防范　一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如

（2）；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如（4）．

3．一个理解　异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如（6）.

考点一　平面的基本性质及其应用

【例1】

（1）以下四个命题中，正确命题的个数是（　　）．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0B．1C．2D．3

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是（　　）．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

规律方法

（1）公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

（2）画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

考点二　空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．

考点三　异面直线所成的角

【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

规律方法

（1）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：

求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：

由异面直线所成角的取值范围是

，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

【训练3】（2014·成都模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中点，则A1B与EF所成角的大小为________．

1．证明线共点问题，常用的方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．

2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内；

（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．

3．异面直线的判定方法

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系

【典例】（2012·上海卷）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　）．

A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能

【自主体验】

1．（2013·浙江卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（　　）．

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

2．对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是（　　）．A．1B．2C．3D．4

基础巩固题组

一、选择题

1．（2013·江西七校联考）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（　　）．

A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面

2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）．

A．相交B．异面C．平行D．垂直

3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为（　　）．

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）．

7．（2013·江西卷）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

三、解答题

8.

如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC=

AD，BE=

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：

点C1，O，M共线．

能力提升题组

一、选择题

1．（2014·长春一模）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）．

A．AB∥CD　　B．AB与CD相交

C．AB⊥CD　　D．AB与CD所成的角为60°

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）．

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

二、填空题

3.（2013·安徽卷）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①当0＜CQ＜

时，S为四边形；

②当CQ＝

时，S为等腰梯形；

③当CQ＝

时，S与C1D1的交点R满足C1R＝

；

④当

＜CQ＜1时，S为六边形；

⑤当CQ＝1时，S的面积为

.

三、解答题

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求A1C1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

第4讲　直线、平面平行的判定与性质

知识梳理

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，b⊄α，a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

辨析感悟

1．对直线与平面平行的判定与性质的理解

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．（×）

（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．（×）

（3）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（×）

（4）若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．（×）

2．对平面与平面平行的判定与性质的理解

（5）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（×）

（6）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（√）

（7）（教材练习改编）设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.（×）

[感悟·提升]

三个防范　一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如

（1）、（3）．

二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如（5）．

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如

（2）、（4）．

考点一　有关线面、面面平行的命题真假判断

【例1】

（1）（2013·广东卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）．

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

（2）设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是（　　）．

A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．

【训练1】

（1）（2014·长沙模拟）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）．

　A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α

（2）给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为（　　）．

A．3B．2C．1D．0

考点二　线面平行的判定与性质

【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝

，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积．

规律方法判断或证明线面平行的常用方法：

（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；

（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

【训练2】如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：

直线HG∥平面CEF.

考点三　面面平行的判定与性质

【例3】（2013·陕西卷）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝

.

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

规律方法

（1）证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论（即“线线平行⇒面面平行”），通过线面平行来完成证明；

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；

④借助“传递性”来完成．

（2）面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．

【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，

求证：

平面PMN∥平面A1BD.

1．平行关系的转化方向如图所示：

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答题模板8——如何作答平行关系证明题

【典例】（12分）（2012·山东卷，文）如图1，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

（1）求证：

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

图1

[反思感悟]立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点．本题易忽视DM⊄平面EBC，造成步骤不完整而失分．

【自主体验】（2013·福建卷改编）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，

AB＝6，DC＝3，若M为PA的中点，求证：

DM∥平面PBC.

基础巩固题组

一、选择题

1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（　　）．

A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥cD．a∥α，α∩β＝b

2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）．A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交

3．（2014·陕西五校一模）已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（　　）．

A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α

C．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β

4．（2014·汕头质检）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）．

A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β

D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）．

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

二、填空题

6．（2014·南京一模）下列四个命题：

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．

其中所有真命题的序号是________．

7．（2014·衡阳质检）在正方体AC1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．

8．（2014·金丽衢十二校联考）设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的题号填上）．

三、解答题

9．（2014·青岛一模）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.

（1）求证：

PD∥平面ANC；

（2）求证：

M是PC中点．

10.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：

E，B，F，D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

能力提升题组

一、选择题

1．（2014·蚌埠模拟）设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为

其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）．

A．①③B．②③

C．①④D．②④

二、填空题

3．（2014·陕西师大附中模拟）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，

则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

三、解答题

4．（2014·长沙模拟）一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF，BC的中点）．

（1）求证：

MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A－CDEF的体积．

第5讲　直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

1．直线与平面垂直

（1）定义：

若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

（2）判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直⇒线面垂直）．即：

a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.

（3）性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行．即：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

2．平面与平面垂直

（1）定义：

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

（3）性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：

α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.

3．直线与平面所成的角

（1）定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

（2）线面角θ的范围：

θ∈

.

4．二面角的有关概念

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

（2）二面角的平面角：

二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

辨析感悟

1．对线面垂直的理解

（1）直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.（×）

（2）直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.（×）

（3）（教材练习改编）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.（√）

（4）（教材习题改编）设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β.（×）

2．对面面垂直的理解

（5）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（×）

（6）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（×）

[感悟·提升]

三个防范　一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如

（1）；

二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”，如

（2）；

三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况，如（6）．

考点一　直线与平面垂直的判定和性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

规律方法证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面）．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形