最新等差数列求和公式刘云丹教案.docx
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最新等差数列求和公式刘云丹教案
等差数列求和公式刘云丹教案
1
“算术级数的前N项和公式”教案
1和教材分析
“算术级数的前N项和公式”是人民教育出版社高中数学必修教材（A版）第二章第三节的内容，是上一节“算术级数”的继承
n（a1？
a2）？
f1:
s？
n？
21、主要教学内容:
算术级数的前N项和？
n（n）?
1）？
等式2:
锡？
na1？
d2？
？
？
？
推导和应用
？
？
2.教科书的地位和作用:
“算术级数的前N和”是学习极限和常微分的基础。
它与数学课程的其他内容密切相关，如函数、三角形、不等式等。
因此，这节课不仅是本章的重点，也是教科书的重点。
这一部分的研究为以后的数列研究提供了一个非常重要的数学思想——加法和加法相结合的逆序方法，它在连接前后两个数列中起着重要的作用数列是培养学生数学能力的好课题。
要学习数列，人们应该经常观察、分析、归纳和猜测，并整合以前的知识来解决数列中的一些问题。
这些都有助于提高学生的数学能力。
2，学习情境分析
1，知识库:
高一学生学习了函数、数列等基本知识，并在初中学习了特殊数列求和。
2。
能力基础:
高一学生已经初步具备抽象逻辑思维能力，与初中生相比相对成熟，能够在老师的指导下独立解决问题。
3.习惯:
班里的学生有扎实的基础知识和活跃的思维，可以通过数字和形状的结合来解决问题。
然而，他们处理抽象问题的能力需要进一步提高。
3，教学难点
1，重点:
算术级数前N项和公式的理解、推导和应用（基础:
公式是解决问题的工具）
2。
难点:
获取算术级数的前N项和公式推导思路
（基础:
在探索公式的过程中有重要的数学思维方法。
由于学生理解水平的限制，当他们第一次接触这些公式时，往往没有意识到它们的作用。
即使老师揭示了这些公式，学生们也大多对这些公式一无所知，所以我认为它们是本节的难点。
）
4，教学目标
1，知识与技能:
利用从特殊到一般的认知过程，通过类比研究，获得并掌握算术级数
的前N个项和公式及其推导过程，用求和公式可以解决一些简单的实际问题。
2，过程和方法:
通过公式的推导和应用，渗透闪回、加法和求和的数学方法，使学生实现从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，从而初步形成理解问题、解决问题、提高学生思维水平的思路和方法
3，情感与价值:
培养学生积极探索、合作思考和学习，加强团队合作，感受探索和成功的喜悦；培养实事求是的科学态度和坚忍不拔的精神；激发学生的学习兴趣和创新意识，了解数学的科学、应用和文化价值
5，教学方法
2
1，教学方法:
根据以上对教材和学生的分析，在“以学生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“以教师为主导，以学生为中心”的教学关系和“以人为本，以学习为导向，以教学为导向”的教学理念，构建学生主动学习的活动过程教师不仅是知识的教师，也是知识的引导者、组织者和合作者。
因此，我采用“问题情境-探究-发现”的教学模式，通过动手探究和问题体验，启发和引导学生在未来的发展中不仅获得知识，而且获得更多的知识和技能。
这就是“教师传授找水方法，让学生找到一桶水或更多活水”的学习方法
2，学习方法:
引导学生独立探索，为学生合作、探索和交流创造机会。
新课程标准倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”因此，这节课为学生提供了以下四种学习机会:
观察和思考的机会；操作、试验和合作的机会；表达和交流的机会；体验成功的机会
6，教具准备
1，常规媒体（黑板）2、印度泰姬陵实景地图和菱形花纹结构地图，贴在黑板上，供学生计算总共有多少块石头结构图2:
构造平行四边形
7，教学计划
[基础知识复习:
1。
算术级数的定义
2。
算术级数？
安？
安？
a1？
（n？
1）d3.【同等差异】
1项目的性质，发现教学程序设计:
（1）创造问题和引导探索
问题1:
1+2+3+？
+100=？
（5050）（高斯求和故事p42）
高斯端到端匹配方法:
1+2+3+？
100=（1+100）+（2+99）+？
（50+51）=101*50=5050
指导:
基于高斯头尾配对原理，灵感:
a1？
a2？
a3？
引出主题:
7.2.3算术级数的前N个和（p42）
？
an=？
？
一个叫做序列{an}1，是算术级数中前N项的和:
对于算术级数{an}，我们取a1？
a2？
a3？
前n项的总和被记录为序号，即序号？
a1？
a2？
a3？
？
一
问题2:
（将印度泰姬陵的图片贴在黑板上），介绍泰姬陵的传说中的陵墓有一个三角形的图案，上面镶嵌着同样大小的圆形石头，共有21层。
你知道花了多少石头来装饰这个设计吗？
（学生回答:
立即问S21？
1？
2？
3？
？
21我怎么能问呢？
引导性探究:
根据高斯头尾配对原理，引导学生通过观察获得倒序加法
[图片演示，在三角形红宝石图案旁边添加相同的倒三角形蓝宝石图案，并将两个三角形组合成一个平行四边形
[激发学生思考:
原始三角形红宝石图案:
S21？
1？
2？
3？
3
？
21岁？
？
①
:
S21后增加的三角蓝宝石图案？
21岁？
20？
19岁？
？
1？
？
（2）
平行四边形图案中所有宝石的数量:
①+②=2S21？
（1？
21）？
21，那么，S21？
（1？
21）？
21岁？
231[
2][老师强调:
这种求和方法叫做逆序加法，这与高斯的端到端匹配法原理相同。
然后学生们考虑Sn=1+？
？
+100也可以逆序添加吗？
如:
S=1+2+3+？
100①
S=100+99+98+？
1②
（1？
100）*50？
5050），然后将这两个方程相加，从而获得正确的结果（】
2
（2）产生引导猜想的论点
猜想:
以上我们已经解决了S100和s21，在这两个问题中，我们使用相反的顺序相加，最后，总和
可以写成第一项和最后一项的总和乘以项的数量的一半这种逆序加法的原理是高斯算法:
第k项和它的倒数第k项的和等于第一项和最后一项的和那么每个算术级数都符合这个规则吗？
2。
算术级数的前n项和公式是:
算术级数{an}:
A1，A2，A3，，an，容差D，前
n项和公式是Sn，然后是Sn？
a1？
a2？
a3？
？
安，它等于什么？
学生探究:
现在让我们都成为数学家，利用高斯求和的原理和逆序加法的方法来研究算术级数的前N项和公式，我们互相讨论。
（每个小组将派一名代表来解释你的证词。
））
（同学1:
Sn？
a1？
（a1？
d）？
（a1？
2d）？
高斯算法的灵感，Sn逆序写为
[，以a1为第一项？
[a1？
（n？
1）d）？
？
①
Sn？
安？
（安？
d）？
（安？
2d）？
？
[·安？
（n？
1）d）？
？
（2）以an]
为首的[将两个公式分别相加得到:
2Sn？
n（a1？
An），
引导变元:
这样，就得到算术级数{an}的前N项之和的公式Sn？
（a1？
An）n2（描述:
总共有4个量，知道3个量就可以得到第4个量老师继续引导学生探索:
（还有其他方法）
4
（同学2:
Sn？
a1？
（a1？
d）？
（a1？
2d）？
？
[a1？
（n？
1）d）？
？
①
Sn？
[a1？
（n？
1）d）？
[a1？
（n？
2）d）？
[a1？
（n？
3）d）？
？
？
a1？
？
（2）将两个公式相加得到:
2Sn？
2na1？
n（n）?
1）d
n（n？
1）d[与前面不同，a1作为第一项添加]最后得到:
Sn？
na1？
2（同学3:
Sn？
a1？
a2？
？
？
anSn？
安？
安？
1？
？
？
a12Sn？
（a1？
一个）？
（a2？
安？
1）？
？
？
（安？
A1）引入了等差的中间项:
（a1？
一个）？
（a2？
安？
1）？
？
获取:
Sn？
n（a1？
安）2
）
老师总结研究成果，引导学生思考:
以上三种方法都是用来推导算术级数前N项之和的公式，那么这三种方法的共同点是什么？
（受高斯求和的启发，类比高斯算法利用一般项公式和一些算术级数的性质，通过适当的逆序加法变化，得出加法算术级数中第k项和倒数第k项的和。
最后，得到算术级数的第一个n项和公式。
那么转换后的
（a？
数学思维，那么在这个Sn？
在1n中，我们可以看到算术级数的第一项，最后一项是
2。
如果我们只知道第一项、项数和容差，我们就能找到前n项的和。
我们能找到前n项的总和吗？
（会）会不会，事实上，只是两个同学启发了我们，他得到了
n（n？
1）锡？
na1？
那么，如果我们不使用刚才同学的方法，我们能在一级方程式的基础上推出
2式吗（是的），因为一个？
a1？
（n？
1）d，我们只需要将它放入第一个公式中就可以得到它所以我们得到两个公式:
（a？
Sn？
1n？
？
（公式1）
2n（n？
1）d？
？
（宣传二）锡？
na1？
他们都可以推导出算术级数的前n项之和，但区别在于公式1:
已知a1，an，n，公开2:
已知a1，d，n。
③利用结论、多方练习
1和基本反馈练习巩固所学知识例1。
计算:
1？
3？
5？
？
（2n？
1）？
（n2）
例2:
根据下列问题中的条件，找出相应算术级数的前N项之和{an}
5
（1）a1？
5，an？
101，n？
10，锡？
？
（锡？
530）
（2）a1？
88，d？
？
2，n？
50，锡？
？
（锡？
1950）（3）a1？
7，d？
3，an？
52，锡？
？
（n？
16Sn？
472）
[设计意图:
巩固和熟悉算术级数的前N项和公式及简单变形，使学生对公式形成深刻印象通过这个例子，学生还可以了解如何根据具体问题的已知条件选择合适的求和公式。
[
2]，扩展变体研究，总结和理解改进
1[扩展]:
例（3p44）:
已知序列和的前n项是Sn？
n2？
找到这个数列的通项公式这是两个级数的算术级数吗？
如果是，它的第一个项目和公差是什么？
解决方案:
根据序列号？
a1？
a2？
？
？
安？
1？
安和锡？
1？
a1？
a2？
？
？
安？
1（n？
1），可以看出当n？
一点的时候。
Sn？
Sn？
111？
n2？
n？
[？
1）2？
（n？
1）]221？
2n？
。
2131当n？
1:
00，a1？
S1？
12岁？
？
1？
，还认识一个？
2n？
所以序列{an}是一个算术级数。
21[变体]的第一项公差为2:
如果是Sn？
n2？
n？
1、找到通式（同样的方法）
2[调查]:
这是数列吗？
（小组讨论）
[进一步探索]:
一般来说，如果一个数列{an}的前n项之和是Sn？
pn2？
qn？
其中，P，Q和R是常数，p≠0，那么这个序列一定是算术级数吗？
如果是，它的第一个项目和公差是什么？
[设计意图:
我在这里建立了一个关于变量和变型的研究，目的是形成一个比较，这样学生就可以认识到算术级数的前N项和公式是没有常数的N的二次函数形式】
244、3？
的前N项之和是Sn，以便使Sn最实用和最统一:
例4（p45）:
N的值是已知的，它是算术级数5和77的最大数。
6
[分析:
算术级数的前n项和公式可以写成Sn？
功能y？
d2dn？
（a1？
）n，所以Sn可以看作22d2dx？
（a1？
）x（x？
N*）当x？
另一方面，很容易知道Sn关于n22的图像是抛物线上的一些点。
因此，我们可以用二次函数来求N.]245解的值:
从问题的意义来说，算术级数5，4，3？
公差是-，所以777n5Sn？
[2？
5？
（n？
1）（？
）]
2775n？
5n2？
145151125？
？
（n？
）2？
1425615然后，当n取最近的整数，即7或8时，Sn取最大值。
2学生可以画一幅锡的图像来验证上述结论（4）总结与发展:
1。
算术级数的第一个N项和Sn公式的推导——倒相加法；2.算术级数前N项和Sn公式的记忆与应用：
（a？
a）nSn？
1n（公式1）；
2n（n？
1）锡？
na1？
d（公式二）；
2ddSn？
n2？
（a1？
）n（公式2变化的二次函数）
22
88，板书设计
2.2.3复习算术级数的前N项和公式基础知识:
例1，算术级数的前N项和定义2，算术级数的前N项和公式证明和解1，算术级数的定义2，算术级数？
安？
的通项公式3，等差1:
1+2+3+中项的性质问题？
+100=？
（5050）7
（a？
a）nSn？
1nf12n（n？
1）锡？
na1？
问题2:
（把印度泰姬陵的照片贴在黑板上）9。
关于教学设计的思考。
如果在这一课中直接引入“逆序加求和法”,学生的探究能力就不能机械地提高。
因此，我采用了创设问题情境的推导方法，利用问题驱动和层层铺垫来启发学生获得从特殊到一般的公式。
借助图片，“印度泰姬陵”的图片可以激发学生的兴趣，简化问题，使教学内容更加生动。
2，本课的教学试图改善学生的学习方式。
这是以集体合作的形式进行的。
在合作中，他们互相合作并练习完成公式的推导。
通过“合适公式”、“可变公式”和“灵活公式”三个层次，促进学生新认知结构的形成，引导学生自己学会反思学习。
印度传说中的泰姬陵有一个三角形图案，镶嵌着同样大小的圆形石头，总共有21层你知道花了多少石头来装饰这个设计吗？
印度泰姬陵卧室钻石结构图
泰姬陵三角形图案宝石结构图8
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