高考数学复习同步练习 第3讲空间点直线平面之间的位置关系.docx
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高考数学复习同步练习第3讲空间点直线平面之间的位置关系
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.下列命题正确的个数为( ).
①经过三点确定一个平面;
②梯形可以确定一个平面;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0B.1C.2D.3
解析 ①④错误,②③正确.
答案 C
2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( ).
A.平行B.异面
C.相交D.平行、异面或相交
解析 经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.
答案 D
3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为( )
A.5部分B.6部分
C.7部分D.8部分
解析垂直于交线的截面如图,把空间分为7部分.
答案C
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( ).
A.A1、M、O三点共线B.M、O、A1、A四点共面
C.A、O、C、M四点共面D.B、B1、O、M四点共面
解析 因为O是BD1的中点.由正方体的性质知,点O在直线A1C上,O也是A1C的中点,又直线A1C交平面AB1D1于点M,则A1、M、O三点共线,A正确;又直线与直线外一点确定一个平面,所以B、C正确.
答案 D
5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( ).
A.AB∥CD
B.AB与CD相交
C.AB⊥CD
D.AB与CD所成的角为60°
解析 如图,把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图(b)所示的直观图,可见选项A、B、C不正确.∴正确选项为D.图(b)中,DE∥AB,∠CDE为AB与CD所成的角,△CDE为等边三角形,∴∠CDE=60°.
答案 D
6.如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( ).
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD中,所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形,所以AC垂直于BD;而BD与SD相交,所以,AC垂直于平面SBD,进而垂直于SB.选项B正确,因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.
答案 D
二、填空题
7.已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.
在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).
解析 只有当a∥b时,a,b在α上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余都有可能.
答案 ①②④
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(注:
把你认为正确的结论的序号都填上).
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
答案 ③④
9.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为________.
解析如题图所示,
由A′O⊥平面ABCD,
可得平面A′BC⊥平面ABCD,
又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC,DC⊥A′B,
即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.
答案90°
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
解析 法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.
法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
答案 无数
三、解答题
11.
如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綉
AD,BE綉
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綉
AD.
又BC綉
AD,∴GH綉BC,∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 由BE綉
AF,G为FA中点知,BE綉FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綉CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.
(1)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?
并说明理由;
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈
,这样的直线有几条,应该如何作图?
解
(1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线,如图(a).
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线BD.
图(a)
(2)∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图(b).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈
.
当α=
时,这样的直线m有且只有一条,当α≠
时,这样的直线m有两条.
图(b)
13.如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是AD、AB的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:
E、F、G、H四点共面;
(2)设FG与HE交于点P,求证:
P、A、C三点共线.
证明
(1)△ABD中,E、F为AD、AB中点,
∴EF∥BD.
△CBD中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2,
∴GH∥BD,∴EF∥GH(平行线公理),
∴E、F、G、H四点共面.
(2)∵FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE,
⇒P∈直线AC.
∴P、A、C三点共线.
14.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
解
(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PO⊥面ABCD,
∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角,
即∠PBO=60°,在Rt△POB中,
∵BO=AB·sin30°=1,
又PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°=
,
∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2
.
∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=
×2
×
=2.
(2)
取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点,∴EF∥PA,
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).在Rt△AOB中,
AO=AB·cos30°=
=OP,
∴在Rt△POA中,PA=
,∴EF=
.
在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=
,
∴cos∠DEF=
=
=
=
.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为
.
第4讲直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1.若直线m⊂平面α,则条件甲:
“直线l∥α”是条件乙:
“l∥m”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 D
2.若直线a∥直线b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.一定平行B.不平行
C.平行或相交D.平行或在平面内
解析直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为D.
答案 D
3.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( ).
A.l∥αB.l⊥α
C.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α
解析 l∥α时,直线l上任意点到α的距离都相等;l⊂α时,直线l上所有的点到α的距离都是0;l⊥α时,直线l上有两个点到α距离相等;l与α斜交时,也只能有两个点到α距离相等.
答案 D
4.设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( ).
A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2
解析 对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由n∥l2可转化为n∥β,同选项C,故不符合题意,综上选B.
答案 B
5.已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2.直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 如图所示,由于α2∥α3,同时被第三个平面P1P3N所截,故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.
答案 C
6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ).
A.①③B.②③C.①④D.②④
解析 对于图形①:
平面MNP与AB所在的对角面平行,即可得到AB∥平面MNP,对于图形④:
AB∥PN,即可得到AB∥平面MNP,图形②、③都不可以,故选C.
答案 C
二、填空题
7.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
解析 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
答案 6
8.α、β、γ是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上).
解析 ①中,a∥γ,a⊂β,b⊂β,β∩γ=b⇒a∥b(线面平行的性质).③中,b∥β,b⊂γ,a⊂γ,β∩γ=a⇒a∥b(线面平行的性质).
答案 ①③
9.若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序号是________.
①若m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线;
②若m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线;
③已知α、β互相平行,m、n互相平行,若m∥α,则n∥β;
④若m、n在平面α内的射影互相平行,则m、n互相平行.
解析 ①为假命题,②为真命题,在③中,n可以平行于β,也可以在β内,故是假命题,在④中,m、n也可能异面,故为假命题.
答案 ②
10.对于平面α与平面β,有下列条件:
①α、β都垂直于平面γ;②α、β都平行于平面γ;③α内不共线的三点到β的距离相等;④l,m为两条平行直线,且l∥α,m∥β;⑤l,m是异面直线,且l∥α,m∥α;l∥β,m∥β,则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号).
解析 由面面平行的判定定理及性质定理知,只有②⑤能判定α∥β.
答案 ②⑤
三、解答题
11.
如图,在四面体A-BCD中,F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点,G为DE的中点.证明:
直线HG∥平面CEF.
证明 法一 如图,连接BH,BH与CF交于K,连接EK.
∵F、H分别是AB、AC的中点,
∴K是△ABC的重心,
∴
=
.
又据题设条件知,
=
,
∴
=
,∴EK∥GH.
∵EK⊂平面CEF,GH⊄平面CEF,
∴直线HG∥平面CEF.
法二 如图,取CD的中点N,连接GN、HN.
∵G为DE的中点,∴GN∥CE.
∵CE⊂平面CEF,GN⊄平面CEF,∴GN∥平面CEF.
连接FH,EN
∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点,
∴FH綉
BC,EN綉
BC,∴FH綉EN,
∴四边形FHNE为平行四边形,∴HN∥EF.
∵EF⊂平面CEF,HN⊄平面CEF,
∴HN∥平面CEF.HN∩GN=N,
∴平面GHN∥平面CEF.
∵GH⊂平面GHN,∴直线HG∥平面CEF.
12.
如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.
(1)求证:
E,B,F,D1四点共面;
(2)求证:
平面A1GH∥平面BED1F.
证明
(1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,
∴BG綉A1E,∴A1G綉BE.
又同理,C1F綉B1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形,
∴FG綉C1B1綉D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.
∴A1G綉D1F,∴D1F綉EB,
故E、B、F、D1四点共面.
(2)∵H是B1C1的中点,∴B1H=
.
又B1G=1,∴
=
.
又
=
,且∠FCB=∠GB1H=90°,
∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,
∴HG∥FB.
又由
(1)知A1G∥BE,且HG∩A1G=G,
FB∩BE=B,∴平面A1GH∥平面BED1F.
13.一个多面体的直观图及三视图如图所示:
(其中M、N分别是AF、BC的中点).
(1)求证:
MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积.
解 由三视图可知:
AB=BC=BF=2,DE=CF=2
,∠CBF=
.
(1)
证明:
取BF的中点G,连接MG、NG,由M、N分别为AF、BC的中点可得,NG∥CF,MG∥EF,
∴平面MNG∥平面CDEF,
又MN⊂平面MNG,
∴MN∥平面CDEF.
(2)取DE的中点H.
∵AD=AE,∴AH⊥DE,
在直三棱柱ADE-BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,
平面ADE∩平面CDEF=DE.
∴AH⊥平面CDEF.
∴多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=
.S矩形CDEF=DE·EF=4
,
∴棱锥A-CDEF的体积为V=
·S矩形CDEF·AH=
×4
×
=
.
14.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:
AE⊥BE;
(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
(1)证明
∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE,
又AE⊂平面ABE,则AE⊥BC.
又∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ABE,
∴AE⊥BF,
又BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,
又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.
(2)解 在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连接MN,则由比例关系易得CN=
CE.
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,
∴MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE.
又∵GN∩MG=G,∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,
∴MN∥平面ADE.
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.