高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文doc.docx

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高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文doc

专题13导数的概念及其运算

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

1

3.能根据导数的定义求函数y＝c（c为常数），y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；x

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合

函数（仅限于形如y＝f（ax＋b）的复合函数）的导数．

1．函数f（x）在点x0处的导数

（1）定义

函数y＝f（x）

在点x0

的瞬时变化率

f

x0＋Δx－f

x0

lim

Δx

＝l，通常称为f（x）在点

x→0

x0处的导数，并记作

f′（x0），即

f

x0＋Δx－f

x0

．

lim

Δx

＝f′（x0）

x→0

（2）几何意义

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线

y＝f（x）

在点（x0，f（x0））的切线的斜率

等于f′（x0）．

2．函数f（x）

的导函数

如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x导数都存在，则称

f（x）

在区间（a，b）可导．这样，对开

区间（a，b）内每个值

x，都对应一个确定的导数

f′（x）．于是，在区间（a，b）内，f′（x）构

成一个新的函数，我们把这个函数称为函数

y＝f（x）的导函数，记为f′（x）（

或y′x、y′）．

3．基本初等函数的导数公式

y＝f（x）

y′＝f′（x）

y′＝0

y＝C

y′＝nxn－1，n为自然数

y＝xn

y′＝μxμ－1，μ为有理数

y＝xμ（x>0，μ≠0）

y′＝axlna

y＝ax（a>0，a≠1）

y′＝ex

y＝ex

1

y＝logax（a>0，a≠1，x>0）

y′＝xlna

y＝lnx

1

y＝sinx

y′＝x

y＝cosx

y′＝cosx

y′＝－sinx

4．导数的运算法则

（1）[f（x）

±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）

；

（2）[f（x）

·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g

′（x）；

f

x

f′xgx－f

xg′x

（3）g

x

′＝

[gx

]2

（g（x）

≠0）．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

高频考点一

导数的运算

例1、分别求下列函数的导数：

1

1

（1）y＝exlnx

；

（2）y＝xx2＋x＋x3；

（3）y＝x－sin

x

x

1＋2x.

cos；（4）y＝ln

2

2

【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：

（1）连乘积形式：

先展开化为多项式的形式，再求导；

（2）分式形式：

观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

（3）对数形式：

先化为和、差的形式，再求导；

（4）根式形式：

先化为分数指数幂的形式，再求导；

（5）三角形式：

先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

（6）复合函数：

由外向内，层层求导.

【变式探究】求下列函数的导数：

（1）y＝x2sinx；

（2）y

cosx＝ex

；

π

π

（3）y

＝xsin

2x＋

2

cos2x＋

2

；

（4）y

＝ln（2x

－5）.

1

2

则y′＝（lnu）

′u′＝

2x－5·2＝

2x－5，

2

即y′＝2x－5.

高频考点二导数的几何意义

例2、

（1）（2016·全国Ⅲ卷）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）

＝e－x－1－x，则曲线

y

＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是________.

（2）已知函数

f（x）＝xlnx，若直线l

过点（0，－1），并且与曲线

y＝f（x）相切，则直线l

的

方程为（

）

＋y－1＝0

－y－1＝0

＋y＋1＝0

－y＋1＝0

【解析】

（1）设x>0，则－x<0，f（－x）＝ex－1＋x.

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为（1，0），∴f′

（1）＝1＋ln1

＝1.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

【答案】

（1）2x－y＝0

（2）B

【方法规律】

（1）求切线方程的方法：

①求曲线在点

P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点

P处的导数，然后利用点

斜式写出切线方程；

②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方

程解出切点坐标，进而写出切线方程.

（2）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解

出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上

.

【变式探究】

（1）已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln（x

＋a）相切，则a的值为（

）

B.2

C.

－1D.－2

1

（2）若函数f（x）

＝2x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

y0＝x0＋1，

x0＝－1，

1

1

y0＝0，

【解析】

（1）

设切点为（x0，y0），y′＝x＋a，所以有

x0＋a＝1，

解得

a＝2.

y0＝ln（x0＋a），

1

1

（2）∵f（x）

＝2x2－ax＋lnx，∴f′（x）＝x－a＋x.

∵f（x）存在垂直于y轴的切线，

1

∴f′（x）存在零点，∴x＋x－a＝0有解，

1

∴a＝x＋x≥2（x>0）.

【答案】

（1）B

（2）[2，＋∞）

【举一反三】（2015·全国Ⅱ卷）已知曲线

y＝x＋lnx在点（1，1）处的切线与曲线

y＝ax2＋（a

＋2）x＋1相切，则a＝________.

【答案】8

高频考点三、导数与函数图象的关系

例3、如图，点A（2,1），B（3,0），E（x,0）（x≥0），过点

E作

OB的垂线

l.记△AOB在直线

l左

侧部分的面积为S，则函数S＝f（x）的图象为下图中的

（

）

【答案】

D

【解析】

函数的定义域为[0，＋∞），当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量

ΔS大于0

且越来越大，即斜率

f′（x）在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数

S＝f（x）的

图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈（2,3）

时，在单位长度变化量

Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′（x）

在（2,3）内大于0且越来越小，因此，函数

S＝f（x）的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞）时，在单位长度变化量

Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′（x）在[3，＋

∞）内为常数0，此时，函数图象为平行于

x轴的射线．

【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：

k＝f′（x0）．

（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.

（3）若求过点P（x0，y0）的切线方程，可设切点为（x1，y1），由

y1＝fx1，

求解即可．

y0－y1＝f′x1x0－x1

（4）函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

【变式探究】

（1）已知函数f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x

π

的导函数，

，a＝f′（），f′（x）是f（x）

4

则过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为（）

A．3x－y－2＝0

B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0

D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

（2）若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx

的切线，则实数

m的值为________．

【答案】

（1）C

（2）－e

∵P（a，b）在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.

∴1－x30＝3x20（1－x0），

∴2x03－3x20＋1＝0，∴2x03－2x20－x20＋1＝0，

∴（x0－1）2（2x0＋1）＝0，∴切点为

1

1

－2，－8，

1

3

1

∴此时的切线方程为y＋8＝4

x＋2

，

综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0，故选C.

（2）设切点为（x0，x0lnx0），

1

由y′＝（xlnx）′＝lnx＋x·x＝lnx＋1，

得切线的斜率k＝lnx0＋1，

故切线方程为y－x0lnx0＝（lnx0＋1）（x－x0），

整理得y＝（lnx0＋1）x－x0，与y＝2x＋m比较得

lnx0＋1＝2，

解得x0＝e，故m＝－e.

－x0＝m，

【2016高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂

直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【2015高考福建，理10】若定义在上的函数

，则下列结论中一定错误的是（）

A．B．C．D．

满足，其导函数

满足

【答案】C

【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单

调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所

以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．

【2014·安徽卷】设函数f（x）＝1＋（1＋a）x－x2－x3，其中a＞0.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

在－1－4＋3a，－1＋4＋3a内单调递增．

33

（2）因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1.

由

（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，

所以f（x）在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0

由

（1）知，f（x）在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，

－1＋4＋3a

所以f（x）

在x＝x2＝

3

处取得最大值．

又f（0）＝1，f

（1）＝a，

所以当0

当a＝1时，f（x）在x＝0和x＝1处同时取得最小值；

当1

【2014·安徽卷】设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.

（1）证明：

当x＞－1且x≠0时，（1＋x）p＞1＋px；

1p－1c1

（2）数列{an}满足a1＞cp，an＋1＝pan＋pa1n－p，证明：

an＞an＋1＞cp.

1

（2）方法一：

先用数学归纳法证明an>cp.

1

①当n＝1时，由题设知a1>cp成立．

1

②假设n＝k（k≥1，k∈N*）时，不等式ak>cp成立．

p－1c

由an＋1＝pan＋pa1n－p易知an>0，n∈N*.

当n＝k＋1时，

ak＋1p－1c

＝

p

＋ak－p＝

ak

p

1

c

1＋p

apk－1.

1

11

c

－1<0.

由ak>c>0得－1<－<

apk

p

pp

由

（1）

中的结论得

ak＋1p

1

c

ak

＝

1＋

－1

p

apk

1

因此apk＋1>c，即ak＋1>cp，

p

1

c

c

>1＋p·p

apk－1

＝apk.

所以当n＝k＋1时，不等式an>c1也成立．

p

综合①②可得，对一切正整数

1

n，不等式an>c均成立．

p

an＋1

1c

an＋1

再由

an

＝1＋papn－1可得

an

<1，

即an＋1

1

综上所述，an>an＋1>c，n∈N*.

方法二：

设f（x）

＝

p－1

c

1

p

x＋

x1－p，x≥c，则xp≥c，

p

p

p－1c

p－1

c

所以f′（x）＝

p

＋p（1－p）x－p＝

1－

xp>0.

p

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，对一切正整数

n，不等式an>an＋1>c

1

均成立．

p

【2014·福建卷】已知函数

f（x）＝ex－ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y＝f（x）

在

点A处的切线斜率为－1.

（1）求a的值及函数f（x）的极值；

（2）证明：

当x>0时，x2

（3）证明：

对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，＋∞）时，恒有x2

【解析】解：

方法一：

（1）由f（x）＝ex－ax，得f′（x）＝ex－a.

又f′（0）＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f（x）＝ex－2x，f′（x）＝ex－2.

令f′（x）＝0，得x＝ln2.

当x

当x>ln2时，f′（x）>0，f（x）单调递增．所以当x＝ln2时，f（x）取得极小值，

且极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＝2－ln4，

f（x）无极大值．

（2）证明：

令g（x）＝ex－x2，则g′（x）＝ex－2x.

由

（1）得，g′（x）＝f（x）≥f（ln2）＝2－ln4>0，

故g（x）在R上单调递增，又g（0）＝1>0，所以当x>0时，g（x）>g（0）>0，即x2

（3）证明：

①若c≥1，则ex≤cex.又由

（2）知，当x>0时，x2

故当x>0时，x2

取x0＝0，当x∈（x0，＋∞）时，恒有x2

②若

0

1

k＝c>1，要使不等式

x2

成立，只要

ex>kx2

成立．

综上，对任意给定的正数

方法二：

（1）同方法一．

（2）同方法一．

c，总存在

x0，当

x∈（x0，＋∞）时，恒有

x2

（3）对任意给定的正数c，取x0＝4，c

x

x

x2

x2

由

（2）知，当x>0时，ex>x2，所以ex＝e

·e>

·

，

2

2

2

2

x2x

24

x21

当x>x0时，ex>22

>c

2＝c

x2，

因此，对任意给定的正数

c，总存在

x0，当x∈（x0，＋∞）时，恒有x2

方法三：

（1）同方法一．

（2）同方法一．

1

（3）首先证明当x∈（0，＋∞）时，恒有3x3

证明如下：

1

令h（x）＝3x3－ex，则h′（x）＝x2－ex.

由

（2）知，当x>0时，x2

从而h′（x）<0，h（x）在（0，＋∞）上单调递减，

1

所以h（x）

＝－1<0，即3x3

3

1

1

取x0＝c，当x>x0时，有cx2<3x3

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，＋∞）时，恒有x2

【2014·广东卷】曲线y＝e－5x＋2在点（0，3）处的切线方程为________．

【答案】y＝－5x＋3【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′

＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：

y－3＝－5（x－0），即y＝

－5x＋3.

【2014·江西卷】若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是

________．

【答案】（－ln2，2）【解析】设点P的坐标为（x0，y0），y′＝－e－x.又切线平行于直

线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此时y＝2，所以点P的坐标为（－ln2，2）．

【2014·江西卷】已知函数f（x）＝（x2＋bx＋b）1－2x（b∈R）．

（1）当b＝4时，求f（x）的极值；

1

（2）若f（x）在区间0，3上单调递增，求b的取值范围．

【2014·全国卷】

曲线

y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于

（

）

A．2eB．e

C．2D．1

【答案】C【解析】因为y′＝（xex－1）′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在点（1，1）

处的导数是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝xex－1在点（1，1）处的切线斜率是2.

【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a

＝（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】

D

【解析】y′＝

a－1，根据已知得，当

x＋1

x＝0，y′＝

2，代入解得

a＝3.

【2014·西卷】函数f（x）＝ln（1＋x），g（x）＝xf′（x），x≥0，其中f′（x）

函数．

（1）令g1（x）＝g（x），gn＋1（x）＝g（gn（x）），n∈N＋，求gn（x）的表达式；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求数a的取范；

是

f（x）

的

（3）n∈N＋，比g

（1）＋g

（2）＋⋯＋g（n）与n－f（n）的大小，并加以明．

x

那么，当n＝k＋1

，gk＋1（x）

＝g（gk（x））

gk（x）

1＋kx

x

＝1＋gk（x）＝

x

＝1＋（k＋1）x，即

1＋1＋kx

成立．

由①②可知，

n∈N＋成立．