高二期末圆锥曲线文含答案闵祥鹏.docx

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高二期末圆锥曲线文含答案闵祥鹏

专题——圆锥曲线（文）

1、【2013-2014朝阳第一学期期末】

以和为焦点的椭圆过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，过点作椭圆的两条倾斜角互补的动弦，求直线的斜率；

（Ⅲ）求面积的最大值．

解：

（Ⅰ）由椭圆定义，得，所以-------------------1分

因为，所以-------------------2分

所以椭圆的方程为-------------------3分

（Ⅱ）记，则-------------------4分

由得-------------------5分

所以

同理得

所以-------------------7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可设直线的方程为，记

由得

则，得-------------------9分

因为

又点到直线的距离

所以-------------------11分

当且仅当时取“”

故面积的最大值为．-------------------12分

2、【2013-2014东城（南片）第一学期期末】

己知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆交于不同两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线过点，求线段的长；

（Ⅲ）若直线过点，且以为直径的圆恰过原点，求直线的方程．

解：

（Ⅰ）由题意，，，所以，

所求椭圆方程为．4分

（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：

．

由得，

所以．6分

（Ⅲ）设直线l的方程为，

由消去y整理得．

因为直线l与椭圆交于不同两点，

所以

解得

设，，则，，所以，

因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以，

所以，即

解得，．

所求直线l的方程为10分

3、【2013-2014东城第一学期期末】

已知曲线：

．

（Ⅰ）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（Ⅱ）设，过点的直线与曲线交于两点，为坐标原点，若为直角，求直线的斜率．

解：

（Ⅰ）若曲线：

是焦点在轴上的椭圆，

则有，

解得．-------------------3分

（Ⅱ）时，曲线的方程为，为椭圆，

由题意知，点的直线的斜率存在，所以设的方程为，

由消去得．------------------5分

，当时，解得．

设两点的坐标分别为，

因为为直角，所以，即，

整理得．①------------------7分

又，②将①代入②，消去得，

解得或（舍去），

将代入①，得，所以．

故所求的值为．-------------------9分

4、【2013-2014海淀第一学期期末】

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，．

（Ⅰ）若（点在第一象限），求直线的方程；

（Ⅱ）求证：

为定值（点为坐标原点）．

解：

（Ⅰ）设，由题意，且．

点在抛物线上，且，

点到准线的距离为．

，．………………………2分

又，，

．

，………………………4分

直线的方程为，即．………………………5分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：

．

由得．………………………7分

显然恒成立．

设，则………………………9分

即为定值………………………11分

5、【2013-2014海淀第一学期期末】

已知椭圆经过点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值．

解：

（Ⅰ）由题意，椭圆的方程为．………………………1分

将点代入椭圆方程，得，解得．

所以椭圆的方程为．………………………3分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：

．

由得．

显然．

设，，则………………………7分

因为的面积，其中．

所以．

又，

．………………………9分

．

当时，上式中等号成立．

即当时，的面积取到最大值．………………………11分

6、【2013-2014西城第一学期期末】

已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求的面积．

解：

（Ⅰ）由已知，所以．………………1分

因为椭圆的离心率为，所以．………………2分

所以．………………3分

所以，………………4分

故椭圆的方程为．………………5分

（Ⅱ）若直线的方程为，则，不符合题意．

设直线的方程为，

由消去得，…………6分

显然成立，设，，

则………………7分

………9分

由已知，解得．………………10分

当，直线的方程为，即，

点到直线的距离．………………11分

所以的面积．……………12分

当，的面积也等于．

综上，的面积等于．………………13分

7、【2013-2014西城第一学期期末】

已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点．

（Ⅰ）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率；

（Ⅱ）设点关于轴的对称点为，求证：

直线过定点．

解：

（Ⅰ）设过点的直线方程为，

由得．………………2分

因为，且，

所以，．………………3分

设，，则，．………………5分

因为线段中点的横坐标等于，所以，………………6分

解得，符合题意．………………7分

（Ⅱ）依题意，直线，………………8分

又，，

所以，………………9分

………………10分

因为，且同号，所以，………………11分

所以，………………12分

所以，直线恒过定点．………………13分

8、【2012-2013朝阳第一学期期末】

已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，右焦点到其左顶点的距离为3，到右顶点的距离为1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是椭圆上不同于的任意一点，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交于点（异于点）．

①求的值；

②求证：

三点共线．

解：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

依题意，………………1分

解得，所以………………2分

故椭圆的标准方程为………………3分

（Ⅱ）设

则直线，联立直线与直线，得………………4分

直线，联立直线与直线，得………………5分

1因为，所以，

故………………6分

因为在椭圆上，所以，即………………7分

所以………………8分

2证明：

直线，直线………………9分

联立得交点坐标………………10分

因为

所以点在椭圆上………………11分

即直线与直线的交点在椭圆上，即三点共线………………12分

9、【2012-2013海淀第一学期期末】

已知椭圆：

的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值．

解：

（Ⅰ）因为为椭圆的焦点，所以，又

所以，所以椭圆方程为………………3分

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，

所以直线方程为，和椭圆方程联立得到

，消掉，得到………………5分

所以

所以………………7分

（Ⅲ）当直线无斜率时，直线方程为，

此时，面积相等，………………8分

当直线斜率存在（显然）时，设直线方程为，

设，和椭圆方程联立得到，消掉得

显然，方程有根，且………………10分

此时………………12分

因为，上式，（时等号成立）

所以的最大值为………………14分

10、【2012-2013西城（北区）第一学期期末】

已知动圆（圆心为点）过定点，且与直线相切．记动点P的轨迹为．

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切，且与直线相交于点．试研究：

在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

解：

（Ⅰ）因为动圆过定点，且与直线相切，

所以圆心到点的距离与到直线的距离相等．

根据抛物线定义，知动点的轨迹为抛物线，且方程为．4分

（Ⅱ）设直线的方程为，（易知斜率不存在的直线不符合要求）

由，得，

由题意，得，且，化简得．6分

设直线与曲线相切的切点，

则所以，

由，得．8分

若取，此时，以为直径的圆为，交轴于点

，；

若取，此时以为直径的圆为，交轴于点，．

所以若符合条件的点存在，则点的坐标必为．（即为点）10分

以下证明就是满足条件的点．

因为的坐标为，

所以，11分

从而，

故恒有，

即在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点．14分

11、【2012-2013西城（南区）第一学期期末】

已知椭圆的长轴长为4．

（Ⅰ）若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；

（Ⅱ）若点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，，当时，求椭圆的方程．

解：

（Ⅰ）由得，

又，，，，

，两个焦点坐标为，．4分

（Ⅱ）由于过原点的直线与椭圆相交的两点关于坐标原点对称．

不妨设，，，

在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有，，

两式相减得：

由题意它们的斜率存在，则，，

，

则，由得，

故所求椭圆的方程为．12分

12、【2012-2013东城（南区）第一学期期末】

已知椭圆的右焦点为，离心率为，为左顶点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程．

解：

（Ⅰ）由题意可知：

，所以．

所以．．

所以椭圆的标准方程为．3分

（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，．

由可得．

所以，．

因为为左顶点，所以的坐标是．

所以的面积

所以．

所以直线的方程为或．9分

13、【2012-2013四中第一学期期末】

已知椭圆的右焦点为，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，求的值．

解：

（Ⅰ）由题意得，得．

结合，解得．

所以，椭圆的方程为．

（Ⅱ）由，得．

设，则，

依题意，，

易知，四边形为平行四边形，所以，

因为，，

所以．

即，

解得．

14、【2011-2012四中第一学期期末】

设椭圆方程为，抛物线方程为，如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（Ⅱ）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

解：

（Ⅰ）由得，

当得，

∴点的坐标为，

法一：

，与抛物线联立，

，解得；

法二：

由椭圆方程得点的坐标为，

根据抛物线光学性质，

∴即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（Ⅱ）∵过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，

∴以为直角的只有一个，

同理，以为直角的只有一个．

若以为直角，设，，

，

关于的二次方程有一大于等于1的解，

∴有两解，

即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形．

15、【2011-2012密云二中第一学期期末】

已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为时，求的面积；

（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程．

解：

（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为………………1分

长轴长为，离心率

椭圆的方程为………………4分

（Ⅱ）因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为，所以直线的方程为

设

由得，解得

………………9分

（Ⅲ）当直线与轴垂直时，直线的方程为，此时小于，为邻边的平行四边形不可能是矩形

当直线与轴不垂直