概率知识点总结数学一.docx

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概率知识点总结数学一

§1随机事件及其运算

 1。

1.“随机试验”是指试验的结果都具有同等发生的可能性吗？

答:

不是的。

所谓“随机试验”，是相对于“确定性试验”而言的，它是指一个试验可以在相同条件下重复进行，而且每次试验的结果事先不能预言．出现上述错误看法的原因，往往是把“随机”两字理解为“机会均等”．

1.2。

A、B、C为任意三事件，是否可以推出（A+B）—C=A+（B—C）？

答:

不可以推出．如掷一颗骰子试验，观察出现的点数，记事件A=｛2｝，B={点数小于4｝,C=｛偶数｝，

有

，

，

故（A+B）—C≠A+（B-C）．

产生这种错误的原因往往是想当然,不假思索把数的运算律用到事件的运算中来.

1。

3.A、B为任意二事件,是否有A+B-A=B？

答:

不是。

若AB≠Ф，则A+B-A=（A+B）—A

。

1.4.事件的和、差运算是否可以“去括号”或交换运算次序，如

 B+（A-B）=B+A—B=B—B+A=∅+A=A．

答:

不可以．设事件A、B关系如图,显然应有  B+（A-B）=A+B．

1.5。

事件的运算是否可以“移项”,如由A+B=C⇒A=C—B,A-B=D⇒A=B+D．

答：

不可以．但是增加一些条件便可以移项了．有下述结果：

（1）   若AB=∅且A+B=C，则A=C-B；

（2）   若

，且A-B=D，则A=B+D．

1.6。

若A=B，则A、B为同一事件,对吗?

答:

不对．举一反例说明：

两个灯泡串联,记A=｛A灯亮｝,B={B灯亮｝，因为A不发生必导致B不发生,故

；又B不发生必导致A不发生

，因此A=B,但A、B并非同一事件.

1。

7。

若A=B，则A、B同时发生或A、B同时不发生,对吗?

答:

对。

1。

8。

“事件A、B都发生”与“A、B都不发生"是对立事件吗？

答:

不是的.

1.9.A1，A2，…，An构成完备事件组，当且仅当同时满足

（1）A1+A2+…+An=Ω；

（2）A1A2…An=∅。

上述说法对吗?

答:

不对。

因为A1A2…An=Φ与A1，A2，…,An互不相容不等价.

1。

10.“事件A、B、C两两互不相容”与“ABC=∅”是不是一回事?

并说明它们的联系.

答：

不是一回事.

“两两互不相容”-—-——其中任意两个事件无公共部分,即AB=Φ，AC=∅，BC=∅同时成立";

“ABC=∅”---—-三事件A、B、C无公共部分.

可能的联系是：

“两两互不相容”⇒“ABC=∅”，反之则未必成立。

1。

11。

设A、B为两事件，

（1） 若AB=A+B,则A与B应满足什么关系；

（2）   若

则A与B应满足什么关系。

答：

（1）   由

知,                      

又

互不相容，从而有：

。

 故

从而有

；仿上述推导可得

从而有

；

于是得A=B.

（2）   由

有

，

。

上述两式表明A与B是互为对立事件，即

§2概率的定义

 2.1.判断:

P（A）=P（B）的充要条件是A=B.

答:

错误.事实上，由A=B可以推出P（A）=P（B）,

但P（A）=P（B）不能推出A=B.例如在掷币试验中,记A={正面朝上}，B=｛反面朝上},

我们已知P（A）=P（B）=1/2，但显然A≠B。

2。

2。

若A、B互不相容，则求A、B同时发生的概率是否可用公式：

。

答：

不可以.对任意两个事件,第一个等号成立,第二个等号也成立,但第三个等号是不成立的.因为若A、B互不相容，

一般是不互斥的（除非A=∅,B=Ω;或A=Ω,B=∅）。

故        

。

总的说来，当A、B互不相容时,完全没有必要去建立什么求P（AB）的公式,因为这时一定有

P（AB）=P（Ф）=0。

2。

3。

P（A）=0的充要条件是A=∅，对吗?

答：

不对。

因为A=∅可以推出P（A）=0,故A=∅是P（A）=0的充分条件,但非必要条件（即由P（A）=0不能推出A=∅）.如连续型随机变量， 在某个点取值的概率为0,但这个随机变量取这个值这个事件却不是不可能事件。

2.4。

P（B）=1的充要条件是B=Ω,对吗？

答:

不对。

道理同第2.3。

题。

2。

5。

若P（ABC）=0,是否可以推出:

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）。

答：

不可以.对任意事件A、B、C,恒有

   P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）-P（AC）—P（BC）+P（ABC）.

当且仅当A、B、C两两互不相容时才有

        P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）.

现由题设P（ABC）=0，并不能推出A、B、C两两互不相容，因此原命题不成立。

2.6.若A、B互不相容,则是否有P（A-B）=P（A）—P（B）。

答：

不成立。

我们可以证明,对任意两个事件A、B，恒有

         P（A—B）=P（A）-P（AB）

对上式,若A、B互不相容,并不能推出P（AB）=P（B），从而知原命题不成立。

2.7。

对于任意两个事件A、B, 恒有P（AB）≤P（A）+P（B）, 等号当且仅当A、B都不发生时成立，上述结论是否正确?

答:

上述结论的前一半是正确的,但后一半是不正确的.事实上，由概率的加法定理

        P（A+B）=P（A）+P（B）—P（AB）≥0，

则P（AB）≤P（A）+P（B）。

但是,显然， 等号当且仅当P（A+B）=0时成立。

因为,当A、B都不发生时,A、B至少一个发生是不可能的,即A+B=∅,故P（A+B）=0.

反之，当P（AB）=P（A）+P（B）时, 则P（A+B）=0, 由此并不能推出一定有A+B=∅（即A、B都不发生）。

综合上述，知原命题不成立。

2。

8.设A、B、C为三个事件,满足条件：

P（AB）=P（A）P（B），

.证明：

P（AC）≥P（A）P（C）。

证明：

由

知

又

可得A、B、C三事件之间的关系如图所示。

从而有

，且AB与

互不相容,于是

.

2.9。

对于古典概型，因为样本空间中的基本事件没有顺序，因此计算基本事件总数时，只能用组合而不能用排列,上述说法正确吗？

答：

不正确。

首先要指出,问题本身的提法是含糊的.以同时掷两枚硬币的试验为例,它的基本事件是：

{e1｝={正,正},｛e2}={正，反},｛e3｝=｛反，正}，{e4}={反，反}。

所谓“基本事件没有顺序”是指{e1｝、｛e2｝、{e3｝、｛e4}没有顺序,还是指“正”与“反”没有顺序?

此其一。

古典概型与排列组合有什么必然联系？

此其二。

不少学生有一个错误的看法，似乎计算古典概型的概率必须用排列组合，不需排列组合计算的概率就一定不是古典概型。

更有甚者，把概率论与排列组合等同起来,这些都是不正确的。

2.10。

下列解法正确与否？

8个足球队中,有2个强队，先任意将8个队分为两组（每组4个队）进行比赛。

这两个强队被分在一个组内的概率是多少？

解:

两个强队要分在一组，只要从剩下的6个队中任取2个队和这两个强队拼成一组就行了，共有

种方法，故所求的概率为

。

答：

不正确.产生错误的原因是分子分母所在的样本空间不一致，事实上

分子：

一种分组法是一个基本事件;

分母：

每4个队的一种组合是一个基本事件。

2.11。

已知P（A）=0。

8, P（A-B）=0。

2,求

。

答:

（2/5.提示

由此推出1-P（B｜A）=1/4,再利用

。

）

2。

12。

甲、乙二人进行一种游戏， 规则如下:

每掷一次（均匀的）硬币,正面朝上时甲得1分乙得0分;反面朝上时甲得0分乙得1分;直到谁先得到规定的分数为赢，赢者获奖品。

当游戏进行到甲还差2分、乙还差3分就分别达到规定的分数时,因故游戏停止。

问此时如何分奖品给甲、乙才算公平.

答：

为了确保公平，设想把游戏进行到能分出输赢为止。

在所得到的各种可能结果中看甲赢和乙赢的这两个事件所包含的基本事件个数各是多少，按甲、乙所赢的概率之比分奖品是公平的。

为了能分出输赢还要掷硬币2+3-1=4次（少于4次，有些情形分不出输赢）， 所有可能结果即基本事件总数为24=16，这些基本事件的发生是等可能的。

甲赢即正面朝上至少2次，甲赢的这个事件包含的基本事件个数为

故P（甲赢）=11/16.乙赢即反面朝上至少3次，乙赢的有利场合数为 

，

故P（乙赢）=5/16。

按11：

5分奖品,对甲乙二人是公平的

§3条件概率及全概率公式

 3。

1。

对任意两个事件A、B,是否恒有P（A）≥P（A|B）.

答：

不是。

有人以为附加了一个B已发生的条件,就必然缩小了样本空间，也就缩小了概率,从而就一定有P（A）≥P（A|B）, 这种猜测是错误的。

事实上，可能P（A）≥P（A|B）,也可能P（A）≤P（A|B）,下面举例说明.

在0，1,…,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令

A={抽到一数字是3的倍数｝；   B1=｛抽到一数字是偶数};   B2=｛抽到一数字大于8},那么

   P（A）=3/10,P（A｜B1）=1/5，P（A｜B2）=1.因此有P（A）＞P（A|B1），P（A）＜P（A|B2）。

3。

2。

以下两个定义是否是等价的。

定义1.若事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B）， 则称A、B相互独立。

定义2。

若事件A、B满足P（A｜B）=P（A）或P（B|A）=P（B），则称A、B相互独立.

答：

不是的.因为条件概率的定义为

    P（A｜B）=P（AB）/P（B）或P（B｜A）=P（AB）/P（A）

自然要求P（A）≠0, P（B）≠0，而定义1不存在这个附加条件，也就是说，P（AB）=P（A）P（B）对于P（A）=0或P（B）=0也是成立的.事实上， 若P（A）=0由0≤P（AB）≤P（A）=0可知P（AB）=0故P（AB）=P（A）P（B）.

因此定义1与定义2不等价，更确切地说由定义2可推出定义1， 但定义1不能推出定义2，因此一般采用定义1更一般化.

3.3。

对任意事件A、B，是否都有        P（AB）≤P（A）≤P（A+B）≤P（A）+P（B）。

答：

是的。

由于P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）（*）

因为 P（AB）≥0，故P（A+B）≤P（A）+P（B）。

由P（AB）=P（A）P（B|A），因为0≤P（B|A）≤1,故P（AB）≤P（A）；

同理P（AB）≤P（B）， 从而P（B）—P（AB）≥0,由（*）知P（A+B）≥P（A）.

原命题得证.

3.4。

在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率：

P（A｜B）,P（B｜A）,P（AB）.从事件的角度去考察,在A、B相容的情况下，它们都是下图中标有阴影的部分,然而从概率计算的角度看，它们却是不同的。

这究竟是为什么？

答：

概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别：

P（A｜B）的计算基于附加样本空间ΩB;

P（B|A）的计算基于附加样本空间ΩA;

P（AB）的计算基于原有样本空间Ω.

3。

5.在n个事件的乘法公式：

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）…P（An|A1A2…An—1）

中,涉及那么多条件概率,为什么在给出上述乘法公式时只提及P（A1A2…An—1）〉0呢?

答：

按条件概率的本意,应要求P（A1）>0, P（A1A2）〉0,…， P（A1A2…An—2）>0，          P（A1A2…An-1）〉0。

事实上,由于A1A2A3…An-2

A1A2A3…An-2An—1，从而便有P（A1A2…An—2）≥P（A1A2…An-1）>0.这样， 除P（A1A2…An-1）>0作为题设外， 其余条件概率所要求的正概率, 如P（A1A2…An-2）〉0,…, P（A1A2）〉0, P（A1）>0便是题设条件P（A1A2…An-1）>0的自然结论了。

3.6。

计算P（B）时, 如果事件B的表达式中有积又有和，是否就必定要用全概率公式。

答:

不是.这是对全概率公式的形式主义的认识， 完全把它作为一个”公式"来理解是不对的.  其实， 我们没有必要去背这个公式， 应着眼于A1，A2，…，An的结构。

事实上， 对于具体问题， 若能设出n个事件Ai，使之满足

（*）

就可得  

.（*＊）

这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式。

因此， 能否使用全概率公式， 关键在于（＊*）式，而要有（*＊）式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割， 即有（＊）式.

3。

7。

设P（A）≠0， P（B）≠0,因为有

（1）若A、B互不相容,则A、B一定不独立.

（2）若A、B独立,则A、B一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的.上述结论是否正确.

答:

不正确。

原命题中的结论

（1）

（2）都是正确的。

 但是由

（1）

（2）（它们互为逆否命题, 有其一就可以了）只能推出在P（A）≠0， P（B）≠0的前提下，事件A、B既互不相容又独立是不存在的， 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”。

事实上，恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的，下面举一例.

5个乒乓球（4新1旧）， 每次取一个, 无放回抽取三次, 记Ai={第i次取到新球｝， i=1，2，3.因为是无放回抽取，故A1、A2、A3互相不独立,又A1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容。

3。

8。

事件A、B的“对立"与“互不相容"有什么区别和联系？

事件A、B“独立"与“互不相容”又有什么区别和联系?

答:

“对立”与“互不相容"区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的，大体上可由如下的命题概括:

“对立”→“互不相容”, 反之未必成立。

至于“独立"与“互不相容"的区别和联系,并非一目了然。

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系， 丝毫未涉及它们的概率,其关系可借助图直观显示.

事件的独立性是由概率表述的， 即当存在概率关系P（A｜B）=P（A）或P（B｜A）=P（B）时， 称A、B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括:

对于两个非不可能事件A、B， 则有“A、B互不相容”→“A、B不独立". 其等价命题是：

在P（A）>0与P（B）〉0下， 则有“A、B独立"→“A、B不互不相容"（相容）。

注意， 上述命题的逆命题不成立。

3。

9.设A、B为两个事件,若

0〈P（A）<1,0〈P（B）〈1。

（*）

则A、B相互独立，A、B互不相容，

，这三种情形中的任何两种不能同时成立。

答:

在条件（*）下

当A、B相互独立时，有P（AB）=P（A）P（B）；

当A、B互不相容时,有P（AB）〈P（A）P（B）；

当

时,有P（AB）>P（A）P（B）。

在条件（*）下,上述三式中的任何两个不能同时成立.因此， A、B相互独立,A、B互不相容， 

这三种情形中的任何两种不能同时成立.

此结论表明:

在条件（*）下，若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了。

3.10.证明：

若P（A）=0或P（A）=1， 则A与任何事件B相互独立。

答：

若P（A）=0,又

， 故0≤P（AB）≤P（A）=0。

于是P（AB）=0=P（A）P（B），所以A与任何事件B相互独立.

若P（A）=1,则

.由前面所证知，

与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知， 

与B相互独立，即A与B相互独立.另种方法证明：

由P（A）=1知

 进而有

.

又

且AB与

互不相容， 故

。

即A与B相互独立。

3。

11。

设A、B是两个基本事件， 且0〈P（A）〈1,P（B）〉0, 

问事件A与B是什么关系？

［解1]由已知条件

可得

。

由比例性质，得

.

所以P（AB）=P（A）P（B）.因此事件A与B相互独立.

[解2］由

得

。

因而

.

又

所以P（B｜A）=P（B）.

因此事件A与B相互独立。

3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件。

答：

不是的.我们可以证明, 随机试验中，若A为小概率事件，不妨设P（A）=ε（0＜ε＜1为不论多么小的实数）,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早要发生的概率为1.

事实上,设Ak={A在第k次试验中发生｝，则P（Ak）=ε，

在前n次试验中A都不发生的概率为：

.

于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为

。

如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞,由于0＜ε＜1,则当n→∞时,有pn→1。

以上事实在生活中是常见的,例如在森林中吸烟，一次引起火灾的可能性是很小的，但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾。

3.13。

只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.

答:

不正确.小概率事件可不可以忽视，要由事件的性质来决定，例如在森林中擦火柴有1％的可能性将导致火灾是不能忽视的，但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.

3。

14.重复试验一定是独立试验，理由是:

既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同，从而试验的结果就不会互相影响,上述说法对吗?

答：

不对。

我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.

一个罐子中装有4个黑球和3个红球,随机地抽取一个之后,再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球，这种手续反复进行，显然每次试验的条件是相同的.每抽取一次以后，这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验，此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率。

3。

15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布。

答：

不一定.例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击,直到射中为止。

此试验只有两个可能的结果：

A={命中｝；

=｛未命中}，且P（A）=p.并且是重复独立试验,因此它是伯努利试验（伯努利概型），设Xk=｛第k次射中｝，Xk显然是一个随机变量，但

       P（Xk=k）=qk-1p，k=1,2，…，其中q=p-1,

可见Xk是服从参数为p的几何分布,而不是二项分布.

3。

16.某人想买某本书，决定到3个新华书店去买,每个书店有无此书是等可能的.如有,是否卖完也是等可能的.设3个书店有无此书，是否卖完是相互独立的。

求此人买到此本书的概率.

答：

（37/64）。

3。

17.在空战中，甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被击落，就进行还击,击落甲机的概率是0.3, 则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4.在这几个回合中，

（1）  甲机被击落的概率是多少?

（2） 乙机被击落的概率是多少?

答:

以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙",以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”，以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.

（1）甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能,故甲机被击落的概率为

.

（2）乙机被击落有两种情况。

一是第一次攻击中甲击落乙,二是第三次攻击中甲击落乙，故乙机被击落的概率是

=0。

2+（1-0.2）（1-0。

3）×0。

4=0。

424。

3。

18。

某个问题，若甲先答，答对的概率为0.4;若甲答错，由乙答，答对的概率为0。

5。

求问题由乙答出的概率.

答:

（0。

3）

3。

19。

有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次,一周内某天借书的可能性相同，求

（1）5个人都在星期天借书的概率；

（2）5个人都不在星期天借书的概率;

（3）5个人不都在星期天借书的概率.

答：

（1）（1/75）；

（2）（65/77）;

        （3）（1-1/75）.

§4随机变量及分布

 4。

1.随机变量X的分布函数定义有两种：

（1）F（x）=P{X＜x},

（2）F（x）=P（X≤x）.

这两个定义是不是等价的.

答:

不是的。

若采用定义

（1）,F（x）是左连续的；若采用定义

（2）,F（x）是右连续的。

因此,这两种定义是不等价的。

虽然这两种定义并不等价,但采取任何一种都是可以的。

目前采取第二种定义较多.

4。

2。

有的教材上把分布函数定义为F（x）=P（ξ

（1）

（2）

      （3）

—∞〈x<+∞。

答：

原书关于分布函数的定义是F（x）=P（ξ≤x），它与定义F（x）=P（ξ

它们的差别仅在于分布函数作为概率的累积,前者包括了｛ξ=x}的概率,而后者并不包括.如果ξ是连续型随机变量，两种定义实际上没有差别； 如果ξ是离散型随机变量,差别就在于ξ是否取到了点x。

所有可能的相异之处就在于此，由此而产生的主要差别列表如下:

F（x）=P（ξ≤x）

F（x）=P（ξ

至少是右连续的

至少是左连续的

P（A<ξ≤B）=F（B）-F（A）

P（A≤ξ

P（ξ=A）=F（A）-F（A—0）

P（ξ=A）=F（A+0）-F（A）

最后需要说明的是，两种定义都被广泛采用。

这是因为每个定义本身以及由此派生的结论都是和谐的.因而对于一本具体的教材来讲，究竟选用哪个定义并无原则上的差别,只是一经选定前后一致就可以了.

（1）   否.因为所给函数在x=1/3处不是右连续的.

（2）   是。

符合分布函数所有性质。

（3）   否.因为

.

4。

3。

两个分布函数的和仍是分布函数吗?

答：

不是的。

证明如下:

设F1（x）、F2（x）为两个分布函数，又设F（x）=F1（x）+F2（x）,则

。

故F（x）不是分布函数。

4.4。

分布函数只能是左连续的或右连续的，决不是连续函数吗。

答：

非.例如标准正态分布的分布函数是一连续函数.

一般地,可以证明连续型随机变量的分布函数是连续的.

4。

5.下列函数是否为分布函数,若是，判断它是哪类随