王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六.docx
《王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六.docx（110页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
王明慈概率论与数理统计第二版习题解答习题五六
习题五
1.设抽样得到样本观测值为：
38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.6
计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。
10
__
1
10__
2222
1
10__
222
1
__
22
11
:
（38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6）40.5;
1010
11
（）[（38.240.5）（40.040.5）（40.640.5）]2.1587;
99
1
（）2.15874.66;
9
1
（）
10
i
i
i
i
i
i
i
xx
sxx
sxx
xxσ
=
=
=
===
=−=−+−++−=
=−==
=−
∑
∑
∑
∼
…
解
10
2
1
9
4.194.
10
i
S
=
==∑
2.设抽样得到100个样本观测值如下：
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。
解：
由书上127页（5.20）（5.21）（5.22）式可知：
6___
1
6___
2222
1
6
___
22
1
11
（11522132542051267）3.14;
100100
11
（）[（13.14）15（63.14）7]2.1216;
9999
199
（）2.12162.1004.
100100
ii
i
ii
i
ii
i
xxn
sxxn
xxnσ
=
=
=
==×+×+×+×+×+×=
=−=−×++−×=
=−=×=
∑
∑
∑
∼
…
3.略
4.从总体中抽取容量为n的样本，设c为任意常数，k为任意正数，作变换
1
,
n
XX…
（）,1,2,,.
ii
YkXcin=−=⋯
证明：
（1）
（2）其中及分别是的样本均值及样本;
Y
Xc
k
=+
2
2
2
;
y
x
S
S
k
=X
2
x
S
1
,
n
XX…
方差；及分别是的样本均值及样本方差。
Y
2
y
S
1
,
n
YY…
证明
（1）由得
1
1
n
i
i
XX
n
=
=∑（）
ii
YkXc=−
i
i
Y
Xc
k
=+
11
111
（）
nn
i
i
ii
YY
XcYncc
nkknnk
==
∴=+=+⋅=+
⋅
∑∑
观测值
i
x
123456
频数
i
n
15212520127
（2）
（）（）
（）
2
22
11
2
2222
11
2
2
2
11
（）
11
（）
nn
yii
ii
nn
iix
ii
y
x
SYYkXckXkc
nn
kXkXkXXkS
nn
S
S
k
==
==
⎡⎤=−=−−−
⎣⎦
=−=⋅−=⋅
∴=
∑∑
∑∑
5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为及，设两组的样本均值分别为及，
1
n
2
n
1
X
2
X
样本方差分别为及，把这两组样本合并为一组容量为的联合样本。
2
1
S
2
2
S
12
nn+
证明：
（1）.联合样本的样本均值；
1122
12
nXnX
X
nn
+
=
+
（2）.联合样本的样本方差
（）（）（）
（）（）
2
22
1212
11222
121212
11
11
nnXXnSnS
S
nnnnnn
−−+−
=+
+−++−
证明：
（1）
111222
121122
1212
umum
umum
SnXSnX
SSnXnX
X
nnnn
==
++
==
++
（2）
12
12
22
12
211
12
22
111222
11
12
（）（）
1
（）（）
1
nn
ii
ii
nn
ii
XXXX
S
nn
XXXXXXXX
nn
==
==
−+−
=
+−
−+−+−+−
=
+−
∑∑
∑∑
（）（）（）（）
（）
（）（）
1
1
1
2
111
1
22
111111
1
2
2
1111
1
2
2
1111
（）
2
（）0
1
n
i
i
n
ii
i
n
i
i
XXXX
XXXXXXXX
XXnXX
nSnXX
=
=
=
−+−
⎡⎤
=−+−+−−
⎣⎦
=−+−+
=−+−
∑
∑
∑
又
（）（）
（）（）
（）（）
2
2
222
1
2
2
2222
22
1122
2222
111222
2222
1111122222
（）
1
22
22
n
i
i
XXXX
nSnXX
nXXnXX
nXXXXnXXXX
nXnXXnXnXnXXnX
=
−+−
=−+−
−+−
=−++−+
=−++−+
∑同理
而
（）
（）
（）
（）
（）
1122
12
2
1111221122121122
22
1112222
1212
12
22
nXnX
X
nn
nXnXnXnXnXnXnXnX
nXnnnX
nnnn
nn
+
=
+
+++
∴=−++⋅+−
++
+
又
化简得
（）
（）（）（）
（）（）
2
1212
12
2
22
1212
11222
121212
11
11
nnXX
nn
nnXXnSnS
S
nnnnnn
−
=
+
−−+−
∴=+
+−++−
6设随机变量X,Y,Z相互独立，都服从标准正态分布N.（0,1）,求随机变量函数
的分布函数与概率密度；并验证§5.4定理1当k=3时成立，即U～
222
UXYZ=++
（）
2
3χ
解：
X,Y,Z相互独立且都服从N（0,1）,则U～显然（）
2
3χ
（）
3
1
22
3
2
1
0
3
2
2
0
u
U
Ueu
fuP
ou
−−⎧
>
⎪
⎛⎞
⎨⎜⎟
⎝⎠
⎪
≤
⎩
不然，直接求U的分布函数
（）（）
（）
（）（）（）
（）
（）
222
222
222
222
222
3
2
,
0,0
1
0,
2
xyzu
xyzu
xyz
xyzu
PUuPXYZu
fxyzdxdydz
fxfyfzdxdydz
uPUu
uPUuedxdydz
π
++≤
++≤
++
−
++≤
≤=++≤
=
=
≤≤=
⎛⎞
>≤=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
当
当
利用三重积分的性质（略）也可得到结论。
7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：
随机变量服从自由度为（1，k）
2
YX=
的F分布。
证明：
X～,则可将X记为～N（0,1）,V～（）tk,
U
XU
V
k
=其中（）
2
kχ
则其中～，V～
2
2
21
U
U
VV
kk
χ==
2
U
2
χ（）1
2
χ（）k
由F分布的定义知Y=～F（1,k）.
2
χ
8.设随机变量X服从自由度为的F分布，证明：
随机变量服从自由度为（）
1,2
kk
1
Y
X
=
的F分布；从而证明等式（5.33）：
（）1,2
kk
（）
（）
11,2
2,1
1
Fkk
Fkk
α
α
−
=
证明：
X～F,则X可写成（）1,2
kk（）
21
1
2
,
U
k
Uk
V
k
χ∼其中（）
2
2
Vkχ∼
其中，，由F分布定义知
2
1
1
V
k
Y
UX
k
==（）
2
1
Ukχ∼（）
2
2
Vkχ∼
（）
（）（）
（）
2,1
11,2
11,2
1
11
1
YFkk
PXFkk
P
XFkk
α
α
α
α
−
−
>=−
⎛⎞
⎜⎟<=−
⎜⎟
⎝⎠
∼
（）11,2
11
1
（1）P
XFkk
α
αα
−
⎛⎞
⎜⎟∴>=−−=
⎜⎟
⎝⎠
（）
（）（）
（）
（）
2,1
11,2
2,1
11,2
1
1
PYPYFkk
Fkk
Fkk
Fkk
α
α
α
α
αα
−
−
⎛⎞
⎜⎟∴>=>=
⎜⎟
⎝⎠
∴=
又
（）
（）
11,2
2,1
1
Fkk
Fkk
α
α
−
即＝
9.设总体X服从正态分布（）
2
5Nµ
（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1Xµ
的概率（）
1;PXµ−<
（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率达到0.95？
（）1PXµ−<
解：
（1）（）0,1
X
N
n
µ
σ
−
∵∼
（）（）111PXPXµµ∴−<=−<−<
11
555
646464
X
P
µ
⎛⎞
⎜⎟
−−
=<<⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
888
21
555
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=Φ−Φ−=Φ−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
20.945210.8904=×−=
（2）
（）（）111PXPXµµ−<=−<−<
nXn
P
n
µ
σσσ
⎛⎞
⎜⎟
−−
=<<⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
210.95
n
σ
⎛⎞
=Φ−=
⎜⎟
⎝⎠
0.975
5
1.969.896
5
n
n
nn
⎛⎞
∴Φ=⎜⎟
⎝⎠
∴===
10.从正态总体N中抽取容量为10的样本，（）
2
0.5µ
1210
,XXX…
（1）已知，求的概率。
0µ=
10
2
1
4
i
i
X
=
≥∑
（2）未知，求的概率。
µ
10
2
1
（）2.85
i
i
XX
=
−<∑
解：
（1）
1010
22
22
11
11
44
0.50.5
ii
PXPX
==
⎛⎞⎛⎞
≥=≥⋅
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑
又（P133，定理3）
2
1
0.5
10
2
1
i
i
X
=
∑（）
2
10χ∼
（）（）
2
10160.10Pχ∴≥=原式＝
（2）
1010
22
22
11
11
（）2.85（）2.85
0.50.5
ii
PXXPXX
==
⎛⎞⎛⎞
−<=−<×
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∑∑
又（定理4P133）
10
2
2
1
1
（）
0.5
i
i
XX
=
−∑（）
2
9χ∼
（）（）（）（）
22
911.41911.4PPχχ∴<=−<原式＝
10.250.75=−=
11.设总体，总体，从总体X中抽取容量为10的样本，（）
2
50,6XN∼（）
2
46,4YN∼
从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：
（1）
（2）（）08PXY<−<
2
2
8.28
x
y
S
P
S
⎛⎞
<⎜⎟
⎝⎠
解：
（1）（）（）（）（）（）0805046504685046PXYPXY<−<=−−<−−−<−−
=
（）（）（）
222222
05046504685046
646464
108108108
XY
P
⎛⎞
⎜⎟
−−−−−−−
⎜⎟
<<
⎜⎟
+++⎜⎟
⎝⎠
有136定理6知，
（）
（）
22
5046
0,1
64
108
XY
N
−−−
+
∼
（）
22
504644
5.65.6
64
108
XY
P
⎛⎞
⎜⎟
−−−−
⎜⎟
∴<<
⎜⎟
+⎜⎟
⎝⎠
原式＝
4
210.909
5.6
⎛⎞
=Φ−=
⎜⎟
⎝⎠
（2）
2
2
8.28
x
y
S
P
S
⎛⎞
<⎜⎟
⎝⎠
2
2
2
22
2
4
6
8.28
6
4
x
y
S
P
S
⎛⎞
⎜⎟
=<×
⎜⎟
⎝⎠
又由P139，（）
2
2
2
2
6
101,81
4
x
y
S
F
S
−−∼
（）（）
（）（）
9,73.68
19,73.6810.050.95
F
F
∴=<
=−<=−=
原式
12.设总体，抽取样本，样本均值为，样本方差为。
若（）
2
XNµσ∼
1
,
n
XX…X
2
S
再抽取一个样本，证明：
1n
X
+
统计量与相互独立。
（）
1
1
1
n
XXn
tn
nS
+
−
−
+
∼X
1n
X
+
证明：
（）
2
22
11
1
,,,,
nn
n
XNXNXXNo
nn
σ
µσµσ
++
⎛⎞+⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∼∼∼
1
1
1
1
1
1
n
n
XXn
nn
XXnn
n
nSnS
σ
σ
+
+
−+
⋅⋅
⋅
−+
+
=
+
＝
（）
11
1
22
2
2
11
11
1
nn
n
XXXX
nn
XX
nn
SnSnS
n
n
σσ
σ
σ
σσ
++
+
−−
++
⋅⋅
−
⋅==
+−
⋅
−
（）
（）
（）（）
2
2
1
2
1
0,1,11334
1
n
nSXX
NnPTh
n
n
χ
σ
σ
+
−−
∴−
+
⋅
∼∼分子
∴（）
1
1
1
n
XXn
tn
nS
+
−
−
+
∼
13.设总体，抽取样本，求下列概率：
（）
2
8,2XN∼
12,10
,XXX…
（1）（）
12,10
max,,10PXXX⎡⎤>
⎣⎦
…
（2）（）
12,10
min,,5PXXX⎡⎤≤
⎣⎦
…
解：
（1）＝1－（）
12,10
max,,10PXXX⎡⎤>
⎣⎦
…（）
12,10
max,,10PXXX⎡⎤<
⎣⎦
…
（）
（）（）（）
（）
（）
1210
1210
10
1
10
10
110,10,,10
1101010
8108
1（）
22
11
10.84130.8224
PXXX
PXPXPX
X
P
=−<<<
=−<<<
−−⎡⎤
=−<
⎢⎥
⎣⎦
=−Φ⎡⎤
⎣⎦
=−=
…
…
（2）（）（）
12,1012,10
min,,51min,,5PXXXPXXX⎡⎤⎡⎤≤=−>
⎣⎦⎣⎦
……
（）
（）
（）
（）
1210
10
1
10
1
10
10
15,5,,5
115
858
11（）
22
111.5
11.50.4991
PXXX
PPX
X
P
=−>>>
=−−<⎡⎤
⎣⎦
−−⎡⎤
=−−<
⎢⎥
⎣⎦
=−−Φ−⎡⎤
⎣⎦
=−Φ=
…
14.设总体X服从泊松分布，抽取样本，求：
（）Pλ
1
,
n
XX…
（1）样本均值的期望与方差；X
（2）样本均值的概率分布。
X
解：
（1）X
（）
111
22
1
111
11
nnn
ii
iii
n
i
i
XXX
nnn
DXDXn
nnn
λλ
λ
λ
===
=
=Ε=Ε==
==⋅=
∑∑∑
∑
（2）由泊松分布的可加性有：
（）（）
12n
n
YXXXPPnλλλλ=+++++…∼⋯
�������
个
＝
，则
Y
X
n
∴=（）
（）
0,1,2,
!
y
n
yn
PXPYyey
ny
λ
λ
−
⎛⎞
=====
⎜⎟
⎝⎠
⋯
15.设总体X服从指数分布，抽取样本，求：
（）eλ
1
,
n
XX…
（1）样本均值的期望与方差；X
（2）样本方差的数学期望。
2
S
解：
（1）
2
1
11
i
i
XX
DXDX
nn
λ
λ
Ε=Ε=
==
22
1
22
1
22
1
1
（2）（）
1
1
（）
1
1
）
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
SXX
n
XnX
n
XnX
n
=
=
=
⎡⎤
Ε=Ε−
⎢⎥
−
⎣⎦
⎡⎤
=Ε−
⎢⎥
−
⎣⎦
⎡⎤
=Ε−Ε
⎢⎥
−
⎣⎦
∑
∑
∑
（）
（）
2
2
22
22
2
2
22
2
222
22
2
112
11
1211
1
11
1
1
iiii
DXXXX
XDXX
n
n
Sn
nn
n
n
λλλ
λλ
λλλ
λλ
λ
⎛⎞
∴=Ε−Ε∴Ε=+=
⎜⎟
⎝⎠
Ε=+Ε=+
⎡⎤⎛⎞
∴Ε=−⋅+
⎜⎟⎢⎥
−⎝⎠⎣⎦
⎛⎞
=−
⎜⎟
−⎝⎠
=
1
第六章参数估计
2.设总体的概率密度为X
⎩
⎨
⎧<<
=
−
.,0
;10,
）;（
1
其它
xx
xf
θ
θ
θ
其中，若样本观测值为，求参数的矩估计值与最大似然估计值。
0>θ
n
xxx,,,
21
⋯θ
解：
（1）先求总体一阶矩：
10
1
1
）;（）（
1
1
0
1
+
=
+
===
+−
∞+
∞−
∫∫
θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
xdxxxdxxxfXE
样本一
升级会员 