七年级数学一元一次方程学生讲义.docx
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七年级数学一元一次方程学生讲义
第三章一元一次方程
本章知识网络结构图
3.1一元一次方程的概念和性质
【本讲主要内容】
1.等式与方程
表示相等关系的式子叫做等式。
含有未知数的等式叫做方程。
可见方程必须具备两个条件：
一是必须含有未知数，二是必须是一个等式。
2.等式的性质
等式的性质1：
等式两边加（减）同一个数（式子）。
结果仍相等。
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字。
要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形。
3.一元一次方程的概念
我们把含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的最简形式是
（
0）。
方程中的未知数叫做“元”，一个方程中有几个未知数，就称这个方程为几元方程。
方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，这一点和多项式的次数有类似的地方。
例如
是一元一次方程，
是一元二次方程，
是二元一次方程，
是二元二次方程。
4.方程的解与解方程
方程是一个有待研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么值时等式才成立。
解方程就是确定使方程中等号左右两边相等的未知数的值，我们把这样的未知数的值叫做方程的解。
这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一个解、多个解，也可能无解。
如方程3x-5=4x+3只有一个解x=-8。
方程2x-7=5x-（3x+7）有无数个解，而方程2x-3=2x+2无解。
求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
利用等式的性质，对方程进行一系列的变形，就可以求出方程的解。
5.思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴建模思想：
通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.
⑵方程思想：
用方程解决实际问题的思想就是方程思想.
⑶化归思想：
解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
⑷数形结合思想：
在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.
⑸分类思想：
在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.
【典型例题】
例1.已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m=.
例2.已知
是方程
ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.
例3.已知a、b为定值，无论k为何值，关于x的一元一次方程
的解总是1，试求a、b的值。
例4.（2011台北13）若a：
b：
c＝2：
3：
7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？
（A）7（B）63（C）
（D）
例5.（2011江苏镇江，17，2分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为___．
例6.参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是（）
住院医疗费（元）
报销率（%）
不超过500的部分
0
超过500～1000的部分
60
超过1000～3000的部分
80
……
…
A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元
例7.足球比赛的记分规则为：
胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：
⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？
⑵这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？
⑶通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
例8.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是（）
A．10B．－8C．－10D．8
例9.已知y＝3是6＋
（m－y）＝2y的解，那么关于x的方程2m（x－1）＝（m＋1）（3x－4）的解是多少?
例10.扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4
，求这种药品包装盒的体积.
例11.（2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：
方案一：
投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：
投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：
投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？
为什么？
（注：
投资收益率=
×100%）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：
甲、乙两人各投资了多少万元？
【模拟试题】
一、选择题：
1.在①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-
x=x+1④x+2y=3中方程有（）个.（）
A.1B.2C.3D.4
2.若方程3
-4=5（a已知,x未知）是一元一次方程,则a等于（）
A.任意有理数B.0C.1D.0或1
3.x=2是下列方程（）的解.
A.2x=6B.（x-3）（x+2）=0C.x2=3D.3x-6=0
4.x、y是两个有理数,“x与y的和的
等于4”用式子表示为（）
A.
B.
C.
D.以上都不对二、填空：
5.列式表示:
（1）比x小8的数：
__________;
（2）a减去b的
的差;（3）a与b的平方和:
_______________;（4）个位上的数字是a、十位上的数字是b的两位数:
_____________.
6.下列式子各表示什么意义?
（1）（x+y）2:
______________________________________________________;
（2）5x=
y-15:
___________________________________________________;
（3）
:
______________________________________________________.
7.甲乙两运输队,甲队32人,乙队28人,若从乙队调走x人到甲队,那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍,列出方程（32+x）=2（28-x）所依据的相等关系是
_______________________________________________.（填写题目中的原话）
8.一根铁丝用去
后还剩下3米,设未知数x后列出的方程是x-
=3,其中x是指
__________________________________________.
9.甲乙两人从相距40千米的两地同时出发,向相而行,三小时后相遇.已知甲每小时比乙多走3千米,求乙的速度,若设乙的速度为x千米/时,列出方程为3x+3（x+3）=40,其中3（x+3）表示___________________________________________________.
三、解答题：
10.某中学一、二年级共1000名学生,二年级学生比一年级少40人,求该中学一年级人数是多少?
（设未知数、列方程并估计问题的解）.
11.随随与州州约好1小时后到州州家去玩,他骑车从家出发半小时后发现时间不够了便将速度提高到原来的2倍,半小时后准时到达州州的家.已知他们家相距30千米,求随随原来的骑车速度.（画出路程示意图,设未知数列方程并估计问题的解）
12.甲乙两个数,甲数比乙数的2倍多1,乙数比甲数小4,求这两个数（用不同的方法设元、列方程并估计解）
13.方程17+15x=245,
2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数,未知数的指数都是1,它们是一元一次方程,方程x2+3=4,x2+2x+1=0,x+y=5是一元一次方程吗?
若不是,它们各是几元几次方程?
3.2一元一次方程的解法
【本讲主要内容】
一.教学内容：
一元一次方程和它的解法
二.教学目标和要求：
1.了解一元一次方程的概念，能写出一元一次方程的标准形式。
2.熟练掌握利用等式性质解一元一次方程的基本过程，能熟练地求解一元一次方程。
三.重点、难点：
1.重点：
移项法则、一元一次方程的概念及其解法。
2.难点：
一元一次方程解法步骤的灵活运用。
四.知识要点：
1.一元一次方程的概念
（1）定义：
经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式
（
），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的标准形式：
方程
（其中
是未知数，
是已知数，且
）叫做一元一次方程的标准形式（
是未知数的系数，
是常数项）。
2.一元一次方程的解法
（1）解一元一次方程的一般思路
先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，将方程化为最简方程
（
）的形式，然后将方程两边都除以
，得方程的解
。
（2）移项法则：
方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。
（3）解一元一次方程的一般步骤：
①去分母：
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。
②去括号：
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
③移项：
把含未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边。
④合并同类项：
把方程化成
（
）的形式。
⑤系数化1：
在方程两边都除以未知数的系数
，得到方程的解
。
（4）检验方法：
将所得的解分别代入原方程的左边和右边，如果左边=右边，说明所得的解是原方程的解；如果左边≠右边，说明解题过程有错误，应认真检查，一定是哪一步的计算出了错误。
【典型例题】
例1.已知
是关于
的一元一次方程，求
的值。
例2.若关于
的方程
的解为正整数，求正整数
的值。
例3.解方程
例4.解方程:
+
+---+
=2005.
例5.已知关于x的方程
ax+5=
的解x与字母系数a都是正整数,求a的值.
例6.解方程
.
例7.（2009年贵州安顺）在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？
（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？
说明理由。
例8.解关于
的方程
例9.一个商人以每3只16分钱的价格购进批量橘子，他又以每4只21分钱的价格购进比前一批数量多一倍的橘子。
如果他以每3只k分钱的价格全部出售，可得到所投资的20%的收益，求k。
例10.若
则x的取值范围是？
【模拟试题】
一、选择题：
1.下列方程的变形，正确的个数有（）个
⑴由3+x=5，得x=5+3；⑵由7x=－4，得x=
；
⑶由
，得y=2；⑷由3=x－2，得x=－2－3；
A、1B、2C、3D、0
2.当x=2时，代数式ax－2的值是4，那么当x=－2时，代数式的值是（）
A、－4B、－8C、8D、2
*3.几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（）
A、28B、33C、45D、57
4.下列各方程中，是一元一次方程的是（）
A、3x+2y=5B、y2－6y+5=0C、
D、3x－2=4x－7
5.已知y=1是方程2－
的解，则关于x的方程m（x+4）=m（2x+4）的解是（）
A、x=1B、x=－1C、x=0D、方程无解
*6.某种商品的进价为1200元，标价为1750元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于
﹪，则至多可打（）
A、6折B、7折C、8折D、9折
7.某市为解决药品价格过高的问题，决定大幅度降低药品的价格，其中将原价a元的某种常用药降价40﹪，则降价后此药的价格为（）
A、
元B、
元C、60﹪a元D、40﹪a元
8.下列说法中，正确的是（）
A、代数式是方程B、方程是代数式C、等式是方程D、方程是等式
9.与方程
的解相同的方程是（）
A、
B、
C、
D、
10.一个数的
与2的差等于这个数的一半．这个数是（）
A、12B、–12C、18D、–18
*11.母亲26岁结婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的3倍.此时母亲的年龄为（）
A、39岁B、42岁C、45岁D、48岁
*12.A、B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶需要4小时到达目的地，火车提速后，速度比原来加快30％，那么提速后只需要（）即可到达目的地。
A、
小时B、
小时C、
小时D、
小时
二、填空题
13.如果x=4是方程ax=a+4的解，那么a的值为______.
14.当x=时，代数式4x－5的值等于7.
15.已知甲数比乙数的2倍大1，如果设甲数为x，那么乙数可表示为_____；如果设乙数为y，那么甲数可表示为_________.
16.初一（3）班男女生人数的比为5：
4，如果男生人数为a人，那么女生人数是____人，全班共有学生人.
17.欢欢的生日在8月份．在今年的8月份日历上，欢欢生日那天的上、下、左、右4个日期的和为76，那么欢欢的生日是该月的号.
18.某工厂预计今年比去年增产15﹪，达到年产量60万吨，设去年的年产量为x万吨，则可列方程；
19.甲、乙两辆汽车从相隔400米的两站同时同向出发，经过2小时后，甲车追上乙车，若甲车的速度是a千米/时，则乙车的速度是；
20.从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7小时，开通高速公路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5小时即可到达。
甲乙两地的路程是；
三、解答题
21.解下列方程
（1）
（2）
22.
为何值时，代数式
的值等于3？
23.一家商店将某型号彩电先按原售价提高40﹪，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”.经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款.求每台彩电的原价格.
24.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得本利和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.
*25.在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：
“二环路车流量为每小时10000辆”.
乙同学说：
“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”.
丙同学说：
“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”.
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
3.3一元一次方程的应用
【本讲教育信息】
一、教学内容：
1.列方程解应用题.
2.用一元一次方程解决实际问题.
3.用二元一次方程组解决实际问题.
二、知识要点：
1.列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。
因此我们要努力学好这部分知识。
列方程解应用题的主要步骤：
（1）审题：
认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；
（2）设未知数：
用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；
（3）列方程：
利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；
（4）解方程：
求出所列方程的解；
（5）检验：
检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，不符合实际的要舍去，并答题。
2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型
（1）行程问题：
行程问题的基本关系：
路程＝速度×时间.
①相遇问题：
甲、乙相向而行，则有：
甲走的路程＋乙走的路程＝总路程.
②追及问题：
甲、乙同向不同地，则：
追赶者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离.
③环形跑道问题：
若甲、两人在环形跑道上同时同地同向出发：
快者多跑一圈才能第一次追上慢者；若同时同地背向而行：
两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.
（2）等积问题：
正确应用面积和体积公式.
①同一根绳子可以围成不同的图形，则有：
两种图形的周长不变；
②一个物体由一种形状变成另一种形状，变化前后体积不变；
③液体由一个容器倒入另一个容器，则有：
液体体积不变.
（3）打折问题：
打折就是以商品原价为基础，按一定比例降价出售.如7折销售，就是原价×70%.利润：
是指商品的售价减去进价.利润率：
指商品的利润与进价的比率，即利润率＝
×100%.
（4）利息问题，有以下基本关系式：
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和＝本金＋利息；
③利息税＝利息×利税税率.
3.利用方程组解决实际问题除1中所列外，还有以下几种：
（1）工程问题：
工程问题中有三个量：
工作效率、工作时间、工作量.其关系式为工作效率×工作时间＝工作量.
工作效率是单位时间的工作量，同一题目中的时间单位必须统一，一般将工作总量设为1，也可设为A，应根据题目的特点合理运用.工程问题也常借助列表格或图象进行分析.
（2）几何问题：
初中数学学习过程中，许多几何问题借助代数知识解决，这样就出现了几何与代数的综合性题目，这类题目是近几年中考、竞赛中常见的题型，学习中应引起注意.
（3）浓度问题：
浓度问题中也有三个量：
混合物（溶液）、浓度、纯物质（溶质）.其关系式为：
混合物×浓度＝纯物质（溶液×浓度＝溶质）.
【典型例题】
例1.小明上学要经过小亮的家，他们两家相距1千米，小明骑自行车上学的时间比小亮步行上学的时间少10分钟.如果小明骑自行车的速度是9千米/时，小亮步行的速度是4千米/时，问他们上学各用多少时间？
例2.一项工程，甲独做需8天，乙独做要5天，丙独做10天完成，甲、乙合做2天后，因乙有事离开，由甲、丙继续做，还需几天完成？
.
例3.景华制衣厂接受了一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套服装，就可超过订货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套？
原计划多少天完成？
例4.有两个容器，甲容器装有47升水，乙容器装有58升水，如果将乙容器的水倒满甲容器，那么乙容器剩下的水相当于这个容器容积的一半；如果将甲容器的水倒满乙容器，那么甲容器剩下的水相当于这个容器容积的
，问这两个容器的容积各是多少？
例5.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进行.受季节限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪一种方案获利最多？
为什么？
例6.（2012江苏省无锡市惠山区数学试题）（（本题满分8分）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息，试求两种笔记本各买了多少本？
例7.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
例8、小王：
“小李，你的生日是几号？
”
小李：
“我的生日连同上下左右5个日期之和为21.”
小张却认为小李在说谎.
请你帮助判断一下，小李有没有说谎？
【方法总结】
1.在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，然后根据数量之间的关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.
2.一般情况下，题中所给条件在列式时不能重复使用，也不能漏掉不用.重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解.
3.对于求得的解，还要看它是否符合实际意义，再写“答”.
【模拟试题】
一、选择题
1.（2009年台湾）动物园的门票售价：
成人票每张50元，儿童票每张30元。
某日动物园售出门票700张，共得29000元.设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？
（）
A．30x50（700x）=29000B．50x30（700x）=29000
C．30x50（700x）=29000D．50x30（700x）=29000。
2．（2009年深圳）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（）
A．45元B．90元C．10元D．100元
二、选择题
1.（2009年贵州安顺）已知关于
的方程
的解是
，则
的值是________。
2.（2009年湖南郴州）方程
的解是______________．
3.（2009年四川泸州）关于x的方程
的解为正实数，则k的取值范围是
4.（2009年陕西）一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．
5.（2009年上海）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是
，那么该商品现在的价格是元（结果用含
的代数式表示）．
6.（2009年黑龙江牡丹江）五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．
7.（2009年宁夏）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 元．
8．（2009年重
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