立体几何知识总结.docx

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立体几何知识总结

立体几何知识汇总

考试内容

平面及其基本性质,平面图形直观图画法

直线和平面平行的判定与性质

直线和平面垂直的判定与性质,三垂线定理及其逆定理

两个平面的位置关系

空间向量及其加法、减法、数乘;空间向量的坐标表示,空间向量的数量积;

直线的方向向量,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离

平面的法向量,点到平面的距离,直线和平面所成的角,向量在平面内的射影。

平行平面的判断和性质,平行平面间的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判断和性质,多面体,正多面体,棱锥棱柱,球。

一、空间几何体

㈠空间几何体的类型

1）多面体:

由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

2）旋转体:

把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

其中,这条直线称为旋转体的轴。

1.柱、锥、台、球的结构特征

1）柱

⑴棱柱:

一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

1.棱柱的结构特征

1）棱柱的定义:

有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

2）棱柱的分类

棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体

性质:

Ⅰ.侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;

Ⅱ.两底面是全等多边形且互相平行;

Ⅲ.平行于底面的截面和底面全等;

3）棱柱的面积和体积公式

（是底周长,是高）S直棱柱表面=c·h+2S底

V棱柱=S底·h

⑵圆柱:

以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

★圆柱的结构特征

1）圆柱的定义:

以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

2）圆柱的性质

⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆;

⑵过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。

3）圆柱的侧面展开图:

圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。

4）圆柱的面积和体积公式

S圆柱侧面=2π·r·h（r为底面半径,h为圆柱的高）

S圆柱全=2πrh+2πr2

V圆柱=S底h=πr2h

棱柱与圆柱统称为柱体;

2）锥

⑴棱锥:

一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

★棱锥的结构特征

1）棱锥的定义

⑴棱锥:

有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

⑵正棱锥:

如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。

2）正棱锥的结构特征

⑴平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;

⑵正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;

正棱锥侧面积:

（为底周长,为斜高）

体积:

（为底面积,为高）

★正四面体:

对于棱长为正四面体的问题可将它补成一个边长为的正方体问题。

对棱间的距离为（正方体的边长）

正四面体的高（）

正四面体的体积为（）

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）

外接球的半径为（是正方体的外接球,则半径）

内切球的半径为（是正四面体中心到四个面的距离,则半径）

⑵圆锥:

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

★圆锥的结构特征

1）圆锥的定义:

以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

2）圆锥的结构特征

⑴平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;

⑵轴截面是等腰三角形;

⑶母线的平方等于底面半径与高的平方和:

l2=r2+h2

3）圆锥的侧面展开图:

圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。

棱锥与圆锥统称为锥体。

3）台

⑴棱台:

用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。

★棱台的结构特征

1）棱台的定义:

用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。

2）正棱台的结构特征

⑴各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;

⑵正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;

⑶正棱台的对角面也是等腰梯形;

⑷各侧棱的延长线交于一点。

⑵圆台:

用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。

★圆台的结构特征

1）圆台的定义:

用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台。

2）圆台的结构特征

⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;

⑵圆台的截面是等腰梯形;

⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。

3）圆台的面积和体积公式

S圆台侧=π·（R+r）·l（r、R为上下底面半径）

S圆台全=π·r2+π·R2+π·（R+r）·l

V圆台=1/3（πr2+πR2+πrR）h（h为圆台的高）

圆台和棱台统称为台体。

4）球

⑴定义:

①球面:

半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。

②球体:

球面所围成的几何体。

⑵性质:

①任意截面是圆面（经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小圆）两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。

②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且,其中为球半径,为截面半径,为球心的到截面的距离。

★球的结构特征

1）球的定义:

以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。

空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体。

2）球的结构特征

⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;

⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:

r2=R2–d2

★3）球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是:

⑴根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形;

⑵找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面图;⑶将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题;

⑷注意圆与正方体的两个关系:

①球内接正方体,球直径等于正方体对角线;

②球外切正方体,球直径等于正方体的边长。

4）球的面积和体积公式

S球面=4πR2（R为球半径）

V球=R3

★《空间几何体的表面积与体积》总结

1.空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积:

各个面面积之和

圆柱的表面积:

圆锥的表面积:

圆台的表面积:

球的表面积:

扇形的面积公式（其中表示弧长,表示半径,表示弧度）

2.空间几何体的体积

柱体的体积:

锥体的体积:

台体的体积:

球体的体积:

5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

6）正多面体:

①定义:

每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体叫做正多面体。

②欧拉公式:

（为简单多面体的顶点数,为面数,为棱数）

（表示各个面上的棱数,表示过各个顶点的棱数）

2.多面体的面积和体积公式

名称

侧面积（S侧）

全面积（S全）

体积（V）

棱

柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h（S上底+S下底+）

正棱台

（c+c′）h′

表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。

3.旋转体的面积和体积公式

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

S侧

2πrl

πrl

π（r1+r2）l

S全

2πr（l+r）

πr（l+r）

π（r1+r2）l+π（r21+r22）

4πR2

V

πr2h（即πr2l）

πr2h

πh（r21+r1r2+r22）

πR3

表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台,上、下底面半径,R表示半径。

4.空间几何体的三视图

1）三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。

具体包括:

⑴正视图:

物体前后方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和长度;

⑵侧视图:

物体左右方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的高度和宽度;

⑶俯视图:

物体上下方向投影所得到的投影图;

它能反映物体的宽度和长度;

★空间几何体的三视图和直观图

正视图:

光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。

侧视图:

光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。

俯视图:

光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。

★画三视图的原则:

正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样

注:

球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形

2）空间几何体的直观图:

斜二测画法

①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;

②画出斜坐标系,在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350）,它们确定的平面表示水平平面;

③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;

④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

★直观图:

斜二测画法

斜二测画法的步骤:

⑴平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;

⑵平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;

⑶画法要写好

用斜二测画法画出长方体的步骤:

⑴画轴⑵画底面⑶画侧棱⑷成图

3）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。

二、立体几何网络图:

1.线线平行的判断:

⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

2.线线垂直的判断:

⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平