一元二次方程练习卷.docx

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一元二次方程练习卷

一元二次方程练习卷

一．选择题（共10小题）

1．如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（　　）

A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣1

2．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）

A．﹣4B．8C．6D．0

3．若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程

x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

4．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）

A．m≤

B．m≤

且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0

5．已知方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（　　）

A．﹣3或1B．﹣3C．1D．3

6．若关于x、y的方程组

有实数解，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞4B．k＜4C．k≤4D．k≥4

7．一元二次方程：

x2﹣2（a+1）x+a2+4=0的两根是x1，x2，且|x1﹣x2|=2，则a的值是（　　）

A．4B．3C．2D．1

8．某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）

A．（50+x）（10﹣x）=504B．50（10﹣x）=504

C．（10﹣x）（50+6x）=504D．（10﹣6x）（50+x）=504

9．某工厂要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m的木板，求仓库的长与宽？

若设垂直于墙的边长为x米，则列出的方程为（　　）

A．x•（32﹣2x+1）=130B．

C．x•（32﹣2x﹣1）=130D．

10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则

+

的值是（　　）

A．3B．﹣3C．5D．﹣5

二．填空题（共5小题）

11．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是　　．

12．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a+2013=0，b2﹣b+2013=0，则

=　　．

13．已知实数x满足

，则

=　　．

14．已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1﹣x2=7，则k=　　．

15．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　　．

三．解答题（共5小题）

16．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

18．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

19．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

（1）经过6秒后，BP=　　cm，BQ=　　cm；

（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

（3）经过几秒△BPQ的面积等于

cm2？

20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

∴x2﹣4＞0可化为

（x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　　；

（2）分式不等式

的解集为　　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

一元二次方程练习卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（　　）

A．2或﹣1B．0或1C．2D．﹣1

【解答】解：

∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，

∴x2﹣x﹣1=1，

即（x﹣2）（x+1）=0，

解得：

x1=2，x2=﹣1，

当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，

故选：

C．

2．（2015•湖北校级自主招生）设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）

A．﹣4B．8C．6D．0

【解答】解：

∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，

∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3，

∵x13=x1x12=x1（3﹣x1）=3x1﹣x12，

∴x13﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣4x22+15=3x1﹣x12﹣x22﹣3x22+15=3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，

∴x13﹣4x22+15=﹣3﹣1﹣6+6=﹣4，

故选：

A．

3．（1999•烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于x的二次方程

x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【解答】解：

∵

x2+（a﹣b）x+c2=0，

∴△=b2﹣4ac=

=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）

∵a，b，c为三角形三边，

∴b+c＞a，a+c＞b

∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0

∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，

即二次方程

x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．

故选C．

4．（2014•包头）关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）

A．m≤

B．m≤

且m≠0C．m＜1D．m＜1且m≠0

【解答】解：

∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，

∴m≤

，

∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0

∴m＜1，m≠0

∴m≤

且m≠0．

故选：

B．

5．（2005•常德）已知方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（　　）

A．﹣3或1B．﹣3C．1D．3

【解答】解：

∵方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有两实根

∴△≥0，

即（2k+1）2﹣4（k2﹣2）=4k+9≥0，

解得k≥

，

设原方程的两根为α、β，

则α+β=﹣（2k+1），αβ=k2﹣2，

∴α2+β2=α2+β2+2αβ﹣2αβ=（α+β）2﹣2αβ=[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）=2k2+4k+5=11，

即k2+2k﹣3=0，

解得k=1或k=﹣3，

∵k≥

，∴k=﹣3舍去，

∴k=1．

故选C．

6．（2003•台州）若关于x、y的方程组

有实数解，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＞4B．k＜4C．k≤4D．k≥4

【解答】解：

∵xy=k，x+y=4，

∴根据根与系数的关系可以构造一个关于m的新方程，设x，y为方程m2﹣4m+k=0的实数根．

△=b2﹣4ac=16﹣4k≥0，

解不等式16﹣4k≥0得

k≤4．

故选C．

7．（2000•内江）一元二次方程：

x2﹣2（a+1）x+a2+4=0的两根是x1，x2，且|x1﹣x2|=2，则a的值是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：

由根与系数的关系可得：

x1+x2=2（a+1），x1•x2=a2+4．

由|x1﹣x2|=2，得（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=4．

则4（a+1）2﹣4（a2+4）=4，解得a=2．

故选C．

8．（2016•哈尔滨模拟）某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（　　）

A．（50+x）（10﹣x）=504B．50（10﹣x）=504

C．（10﹣x）（50+6x）=504D．（10﹣6x）（50+x）=504

【解答】解：

由题意可得，

（10﹣x）（50+6x）=504，

故选C．

9．（2016•富顺县校级模拟）某工厂要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长为16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m的木板，求仓库的长与宽？

若设垂直于墙的边长为x米，则列出的方程为（　　）

A．x•（32﹣2x+1）=130B．

C．x•（32﹣2x﹣1）=130D．

【解答】解：

设仓库的垂直于墙的一边长为x，

依题意得（32﹣2x+1）x=130，

故选A．

10．（2016•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则

+

的值是（　　）

A．3B．﹣3C．5D．﹣5

【解答】解：

∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，

∴a+b=3，ab=p，

∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，

∴p=﹣3．

当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，

∴p=﹣3符合题意．

+

=

=

=

﹣2=

﹣2=﹣5．

故选D．

二．填空题（共5小题）

11．（2016•雅安校级自主招生）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是　﹣

　．

【解答】解：

∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，

∴x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2+k+3，

∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2

=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1

=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2

=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2

=2k2+2k﹣4

=2（k+

）2﹣

≥﹣

，

故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是﹣

．

故答案为：

﹣

．

12．（2013•江阳区校级模拟）若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a+2013=0，b2﹣b+2013=0，则

=　

　．

【解答】解：

∵非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a+2013=0，b2﹣b+2013=0，

∴ab是方程x2﹣x+2013=0的解，

∴a+b=1，ab=2013，

∴

=

=

；

故答案为：

．

13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足

，则

=　3　．

【解答】解：

设

=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，

解得y1=﹣2，y2=3，

当y1=﹣2时，

=﹣2，

∵△=b2﹣4ac＞0

∴此方程无解，

当y2=3时，

=3，

∵△=b2﹣4ac＞0

∴此方程有解，

∴

=3；

故答案为：

3．

14．（2011•莆田模拟）已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1﹣x2=7，则k=　﹣5　．

【解答】解：

∵x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，

∴x1+x2=﹣4①，

而2x1﹣x2=7②，

解由①②所组成的方程组得x1=1，x2=﹣5，

∵x1•x2=k，

∴k=﹣5．

故答案为：

﹣5．

15．（2010•大连）如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　（9﹣2x）•（5﹣2x）=12　．

【解答】解：

设剪去的正方形边长为xcm，

依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）=12，

故填空答案：

（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．

三．解答题（共5小题）

16．（2016•厦门校级模拟）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【解答】解：

（1）∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）∵当△ABC是等边三角形，

∴a=b=c，

∵（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，

∴2ax2+2ax=0，

∴x1=0，x2=﹣1．

17．（2016•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

【解答】解：

（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，

所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的范围为3≤m≤4．

18．（2016•朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

【解答】解：

设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．

根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×

）=800，

解得x1=7，x2=5．

∵售价不能超过进价的200%，

∴x≤3×200%．即x≤6．

∴x=5．

答：

每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．

19．（2016春•杭州期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

（1）经过6秒后，BP=　6　cm，BQ=　12　cm；

（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

（3）经过几秒△BPQ的面积等于

cm2？

【解答】解：

（1）由题意，得

AP=6cm，BQ=12cm．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=12cm，

∴BP=12﹣6=6cm．

故答案为：

6、12．

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，

当∠PQB=90°时，

∴∠BPQ=30°，

∴BP=2BQ．

∵BP=12﹣x，BQ=2x，

∴12﹣x=2×2x，

∴x=

，

当∠QPB=90°时，

∴∠PQB=30°，

∴BQ=2PB，

∴2x=2（12﹣x），

x=6

答6秒或

秒时，△BPQ是直角三角形；

（3）作QD⊥AB于D，

∴∠QDB=90°，

∴∠DQB=30°，

∴DB=

BQ=x，

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

DQ=

x，

∴

，

解得；x1=10，x2=2，

∵x=10时，2x＞12，故舍去

∴x=2．

答：

经过2秒△BPQ的面积等于

cm2．

20．（2012•湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

∴x2﹣4＞0可化为

（x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　x＞4或x＜﹣4　；

（2）分式不等式

的解集为　x＞3或x＜1　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

【解答】解：

（1）∵x2﹣16=（x+4）（x﹣4）

∴x2﹣16＞0可化为

（x+4）（x﹣4）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞4，

解不等式组②，得x＜﹣4，

∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，

即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．

（2）∵

∴

或

解得：

x＞3或x＜1

（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）

∴2x2﹣3x＜0可化为

x（2x﹣3）＜0

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得

或

解不等式组①，得0＜x＜

，

解不等式组②，无解，

∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜

．