精选推荐018届高考数学大一轮复习第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质教师用书理.docx

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精选推荐018届高考数学大一轮复习第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质教师用书理

第五节　直线、平面垂直的判定与性质

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求

真题举例

命题角度

　　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。

2016，全国卷Ⅰ，18

（1），6分（证明面面垂直）

2016，全国卷Ⅱ，19

（1），6分（证明线面垂直）

2015，全国卷Ⅰ，18

（1），6分（证明面面垂直）

2013，全国卷Ⅰ，18

（1），6分（证明线线垂直）

　　1.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容；

2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。

微知识　小题练

自|主|排|查

1．直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。

（2）直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

微点提醒

1．在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等。

2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”。

3．判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况。

小|题|快|练

一、走进教材

1．（必修2P73A组T1改编）下列命题中不正确的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

【解析】　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内。

故选A。

【答案】　A

2．（必修2P69练习题）如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S—EFG中必有（　　）

A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFG

C．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF

【解析】　解法一：

在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在四面体SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG。

故选A。

解法二：

GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，GS＝a（正方形边长），GD＝

a，SD＝

a，所以SG2≠SD2＋GD2，∠SDG≠90°，从而排除B和D。

故选A。

【答案】　A

二、双基查验

1．（2016·浙江高考）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥lB．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

【解析】　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l。

故选C。

【答案】　C

2．（2015·浙江高考）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β（　　）

A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β

D．若α∥β，则l∥m

【解析】　选项A中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l∥β时，α，β可以相交；选项D中，α∥β时，l，m也可以异面。

故选A。

【答案】　A

3.（2016·葫芦岛模拟）已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF。

则下列结论不正确的是（　　）

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

【解析】　A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；

B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF。

又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；

C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；

而D中CF与AD不垂直，故D结论不正确。

故选D。

【答案】　D

4．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC。

其中正确的个数是________。

【解析】　如图所示。

∵PA⊥PC，PA⊥PB，

PC∩PB＝P，

∴PA⊥平面PBC

又∵BC⊂平面PBC，

∴PA⊥BC。

同理PB⊥AC，PC⊥AB。

但AB不一定垂直于BC。

【答案】　3

5．（2016·天津模拟）已知不同直线m，n与不同平面α，β，给出下列三个命题：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β。

其中真命题的个数是________个。

【解析】　①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误。

②根据线面垂直的性质可知②正确。

③根据面面垂直的性质和判定定理可知③正确，所以真命题的个数是2个。

【答案】　2

微考点　大课堂

考点一

直线与平面垂直的判定与性质……多维探究

角度一：

证明直线与平面垂直

【典例1】　如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点。

求证：

直线SD⊥平面ABC。

【证明】　因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，

所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD。

又因为AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC。

【母题变式】　在本典例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？

【解析】　因为AB＝BC，点D为斜边AC的中点，

所以BD⊥AC，

又由例题知SD⊥BD，

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，

故BD⊥平面SAC。

【答案】　BD⊥平面SAC

角度二：

利用线面垂直的性质证明线线垂直

【典例2】　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1。

设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E。

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1。

【证明】　

（1）由题意知，点E是B1C的中点。

在三角形AB1C中，点D是AB1的中点，所以DE是三角形AB1C的中位线，所以DE∥AC。

又因为AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C。

（2）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，所以AC⊥BC1。

又因为BC＝CC1，所以四边形BB1C1C是正方形，所以BC1⊥B1C。

又因为B1C∩AC＝C，所以BC1⊥平面AB1C，所以BC1⊥AB1。

反思归纳　1.证明直线和平面垂直的常用方法：

（1）判定定理；

（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；（4）面面垂直的性质。

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质。

因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想。

3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直。

考点二

平面与平面垂直的判定与性质

【典例3】　（2016·江苏高考）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1。

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F。

【证明】　

（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC。

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1。

又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F。

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1。

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1。

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D。

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，

所以B1D⊥平面A1C1F。

因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F。

反思归纳　1.判定面面垂直的方法：

（1）面面垂直的定义；

（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）。

2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化。

在一个平面内找或作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

【变式训练】　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝

，O，M分别为AB，VA的中点。

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积。

【解析】　

（1）证明：

因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB。

又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

所以VB∥平面MOC。

（2）证明：

因为AC＝BC，O为AB的中点，

所以OC⊥AB。

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB。

又OC⊂平面MOC，

所以平面MOC⊥平面VAB。

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝

，

所以AB＝2，OC＝1。

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝

。

又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥C－VAB的体积等于

OC·S△VAB＝

。

又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为

。

【答案】　

（1）

（2）见解析　（3）

考点三

垂直关系中的探索性问题

【典例4】　如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC。

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由。

【解析】　

（1）证明：

在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE。

又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，

∴DF∥a。

（2）线段BE上存在点G，且BG＝

BE，使得平面DFG⊥平面CDE。

证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE。

在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF。

由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE。

又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF。

⇒GF⊥平面CDE。

又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE。

此时，如平面图所示，∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，

由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，

∴HB＝BC＝

EF。

由△HGB∽△FGE可知

＝

，即BG＝

BE。

【答案】　

（1）见解析

（2）线段BE上存在点G，且BG＝

BE

反思归纳　同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明。

【变式训练】　（2017·郑州模拟）如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点。

（1）证明：

MN∥平面AA′C′C；

（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论。

【解析】　

（1）证明：

如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE。

因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′。

又A′C′⊂平面AA′C′C，A′A⊂平面AA′C′C，

所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，因为NE∩ME＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，

因为MN⊂平面MNE，

所以MN∥平面AA′C′C。

（2）连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，

由题意知BC＝

λa，CN＝BN＝

，

因为三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，

所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，

因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，∠BAC＝90°，所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，

要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，

所以CN2＋BN2＝BC2，即2

＝2λ2a2，

解得λ＝

，故当λ＝

时，CN⊥平面A′MN。

【答案】　

（1）见解析　

（2）λ＝

，证明见解析

微考场　新提升

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是（　　）

A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

解析　对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b。

故选C。

答案　C

2．（2016·成都一诊）设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

D．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

解析　与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图

（1），设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图

（2），直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误。

故选C。

答案　C

3.如图，O是正方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

解析　连接B1D1，则A1C1⊥B1D1，根据正方体特征

可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1。

答案　D

4.如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；

③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。

其中正确结论的序号是________。

解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。

又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC。

∴BC⊥AF。

∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC。

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF。

∴PB⊥EF。

故①②③正确。

答案　①②③

5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

AA1，D是棱AA1的中点。

（1）证明：

平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

解析　

（1）证明：

由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1。

又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC。

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC。

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC。

又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。

（2）设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1。

由题意得V1＝

×

×1×1＝

。

又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，

所以（V－V1）∶V1＝1∶1。

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1。

答案　

（1）见解析　

（2）1∶1