北师大版九年级数学下册单元教案第一章直角三角形的边角关系.docx

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北师大版九年级数学下册单元教案第一章直角三角形的边角关系

第一章　直角三角形的边角关系

1．1　锐角三角函数

第1课时　正切

1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．

2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算．

理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度．

从现实情境中理解正切的意义．

一、创设情景　明确目标

我们都有过走上坡路的经验，坡面有陡有平，在数学上该如何衡量坡面的倾斜程度呢？

如图所示，哪个坡面更陡一些？

想一想：

如图所示的两个坡面，哪个更陡一些？

你是怎么做的？

二、自主学习　指向目标

阅读预习教材第2页至第4页的内容；完成“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　正切的定义

活动：

1．想一想：

当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值会确定的吗？

2．如图所示：

在锐角A的一边上任意取点B，B1，B2，过这些点分别作CB⊥AC，C1B1⊥AC，C2B2⊥AC，垂足分别是C，C1，C2.

展示点评：

证明：

△ABC∽△AB1C1，从而得出BC∶B1C1＝AC∶AC1，进一步转化成BC∶AC＝B1C1∶AC1，同理可以证明：

BC∶AC＝B2C2∶AC2.

反思小结：

（1）通过以上论证，引导学生总结：

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值．

（2）直角三角形中边与角的关系：

在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝

例题讲解：

见教材例1.

针对训练：

教材第4页《课堂练习》第1题．

　坡度

活动：

阅读教材第4页内容．

反思小结：

坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（坡比），可以写成i＝tanα.

针对训练：

当堂练习部分．

四、总结梳理　内化目标

本节课从梯子的倾斜程度谈起，通过探索直角三角形中边角关系，得出了直角三角形中的锐角确定后，它的对边比邻边的比也随之确定，在直角三角形中定义了正切的概念，接着，了解了坡面的倾斜程度与正切的关系．

五、达标检测　反思目标

1．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，指出∠A和∠B的对边，邻边：

（1）tanA＝（　　　）∶AC＝CD∶（　　　）

（2）tanB＝（　　　）∶BC＝CD∶（　　　）

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°.

（1）AC＝3，AB＝6，求tanA和tanB；

（2）BC＝3，tanA＝，求AC和AB.

3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求tanB.

教材第4页习题1，2题．

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第2课时　正弦和余弦

1．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．

2．能够正确地运用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边之比．

正确地运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．

理解角度与数值之间一一对应的函数关系．

一、创设情景　明确目标

1．锐角∠A的正切符号分别如何表示？

2．它等于哪两边的比？

3．求出如图所示的Rt△ABC中∠A的正切值．

二、自主学习　指向目标

阅读教材第5页至第6页的内容；完成“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　正弦和余弦的定义

活动：

（1）如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比随之确定．此时，其他边之间的比值也确定吗？

（2）可以让学生再画一个Rt△ABC，使之与上图相似，然而再求出对边与斜边，邻边与斜边，比较与上图所求出对边与斜边，邻边与斜边的比相等吗？

展示点评：

两个相似三角形的对边与斜边之比相等，邻边与斜边的比也相等，据相似三角形的比例而得到的．

反思小结：

（1）在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．

（2）在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝

（3）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝

（4）锐角A的正弦，余弦和正切都是做∠A的三角函数．

例题讲解：

见教材例2.

针对练习：

教材随堂练习第1，2题．

四、总结梳理　内化目标

1．锐角三角函数定义：

sinA＝

tanA＝

cosA＝

2．定义中应该注意的几个问题：

（1）sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）；

（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正弦，余弦，正切，习惯省去“∠”号；

（3）sinA，cosA，tanA是一个比值．注意比的顺序，且sinA，cosA，tanA均﹥0，无单位；

（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关；

（5）两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．

五、达标检测　反思目标

1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（　　）

A．扩大100倍　　　　B．缩小100倍

C．不变D．不能确定

2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°.

（1）若AC＝4，AB＝5，求sinA与sinB；

（2）若AC＝5，AB＝12，求sinA与sinB；

（3）若BC＝m，AC＝n，求sinB.

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，求AC和BC.

4．如图：

在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.求：

sinB，cosB，tanB.

提示：

过点A作AD垂直于BC于D.

教材第6页习题1，4题．

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1．2　30°，45°，60°角的三角函数值

1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．

2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．

一、创设情景　明确目标

1．一个直角三角形中是怎么定义一个锐角的正弦、余弦和正切的？

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝________，cosA＝________．

二、自主学习　指向目标

阅读教材第8页至第9页的内容，完成的“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　30°，45°，60°的特殊值

活动：

（1）思考两块三角尺有几个不同的锐角？

分别是多少度？

（可以通过量角器去度量）

（2）你通过两块直角的各边长分别求出几个锐角的正弦值，余弦值和正切值．

展示点评：

如图

（1），∵a＝c，即c＝2a，据勾股定理可得到b＝a，∴sin30°＝＝，cos30°＝＝；tan30°＝＝，依次可以用45°，60°的三角函数值．

以上均属于特殊角，例如在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，可以通过勾股定理求出它的邻边的长，即可求出30°的角所有三角函数值，同理45°，60°也可进行．

反思小结：

sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝.

讲解例题：

教材例1.

针对训练：

（1）sin30°＝_______；cos45°＝_______；tan30°＝________；sin60°＝________；cosA＝，则∠A＝________；tanA＝，则∠A＝________；sinA＝，则∠A＝________．

（2）教材随堂练习1.

　　　特殊值的应用

活动：

教材例2

例2：

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01m）．

展示点评：

解：

如图，据题意可知：

∠AOD＝×60°＝30°，OD＝2.5m

∴OC＝OD·cos30°＝2.5×≈2.165（m），∴AC＝2.5－2.165≈0.34（m）

反思小结：

利用通过锐角三角函数在实际中的应用，得到与特殊角的三角函数值，尽量取值接近准确值．

针对训练：

教材随堂练习2.

四、总结梳理　内化目标

（1）熟练30°，45°，60°的特殊三角函数值．

（2）准确应用锐角三角函数在实际生活中，特殊值在实际生活中有很大的用途．

五、达标检测　反思目标

1．已知：

Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝15，则AC的长是（　　）

A．3　　　B．6　　　C．9　　　D．12

2．下列各式中不正确的是（　　）

A．sin260°＋cos260°＝1　　B．sin30°＋cos30°＝1

C．sin35°＝cos55°　　D．tan45°>sin45°

3．计算2sin30°－2cos60°＋tan45°的结果是（　　）

A．2B.C.D．1

4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（　　）

A．0°＜∠A≤60°B．60°≤∠A＜90°

C．0°＜∠A≤30°D．30°≤∠A＜90°

5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形B．钝角三角形

C．锐角三角形D．不能确定

6．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BC＝3，AC＝4，设∠BCD＝α，则tanα的值为（　　）

A.B.

C.D.

7．当锐角α>60°时，cosα的值（　　）

A．小于B．大于

C．大于D．大于1

教材第10页习题1，2题．

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1．3　三角函数的计算

1．熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相应的锐角．

2．能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在0与1之间．

学会应用计算器求三角函数值．

能够进行简单的三角函数式的运算．

一、创设情景　明确目标

（1）让学生熟练写出30°，45°，60°的三角函数的特殊值．

（2）如图，∠C＝90°，∠A＝16°，则∠B＝________（74°）．

16°，74°的三角函数值是特殊值吗？

可以直接求出来吗？

还有16°32′的三角函数值怎么求？

二、自主学习　指向目标

阅读教材第12页至第14页的内容，完成的“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　用科学计算器求锐角三角函数值

活动：

像这样的问题：

如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ABsin16°，你知道sin16°等于多少吗？

我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？

怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢？

请与同伴交流你是怎么做的．

展示点评：

（1）用科学计算器求16°的三角函数值（sin16°）：

（2）操作顺序如下：

按键的顺序

显示结果

sin16°

0.275637355

　　∴据上表则可以求得BC＝AB·sin16°≈200×0.2756≈55.12

反思小结：

利用科学计算器求锐角的三角函数值按键的顺序为：

第一步按或或，第二步按数键，第三步按，即可出来数据；一般题中无特例说明，数据一般精确到万分位．

例题讲解：

例：

用科学计算器计算cos42°，tan85°和sin72°38′5″的值．（学生动手操作）

针对训练：

教材随堂练习1.

　用科学计算器求锐角的度数

活动：

教材第13页[想一想]

展示点评：

已知三角函数值求角度，要用到键的第二功能和键．

例　已知三角函数值，用计算器求锐角A：

sinA＝0.9816，cosA＝0.8607，tanA＝0.1890，tanA＝56.78

按键的顺序

显示结果

sinA＝0.9816

78.99184039

cosA＝0.8607

30.60473007

tanA＝0.1890

10.70265749

tanA＝56.78

88.99102049

上表的显示结果是以“度”为单位的，再按键即可显示以“度，分，秒”为单位的结果．

请你求出想一想中∠A的度数．

反思小结：

已知三角函数值求角度，要用到科学计算器中的，，键的第二功能键和键．

针对训练：

教材随堂练习4.

四、总结梳理　内化目标

利用科学计算器求已知角的三角函数值和已知三角函数值求角度的步骤．

注意区分以上两种计算方式的步骤；在计算时注意精确值．

五、达标检测　反思目标

1．用计算器求下列各式的值：

（1）sin56°；

（2）sin15°49′；（3）cos20°；（4）tan29°；

（5）tan44°59′59″；（6）sin15°＋cos61°＋tan76°

2．根据下列条件求∠θ的大小：

（1）tanθ＝2.9888；

（2）sinθ＝0.3957；

（3）cosθ＝0.7850；（4）tanθ＝0.8972

3．求图中避雷针的长度（结果精确到0.01m）

教材第15页习题2，3，4.

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1．4　解直角三角形

1．熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系．

2．学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形．

会利用已知条件解直角三角形．

根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形．

一、创设情景　明确目标

（1）直角三角形三边的关系：

勾股定理a2＋b2＝c2.

直角三角形两锐角的关系：

两锐角互余∠A＋∠B＝90°.

*直角三角形边与角之间的关系：

锐角三角函数

sinA＝，cosA＝，tanA＝

（2）特殊角30°，45°，60°角的三角函数值．

（3）直角三角形中有6个元素，三个角和三条边，那么至少知道几个元素就可以求其他元素．

二、自主学习　指向目标

阅读教材第16页至第17页的内容，完成中的“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　解直角三角形

活动：

想一想：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

（1）根据∠A＝60°，斜边AB＝30，你能求出这个三角形的其他元素吗？

（2）根据AC＝，BC＝，你能求出这个三角形的其他元素吗？

（3）根据∠A＝60°，∠B＝30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？

展示点评：

（1）∠B＝90°－∠A＝30°；AC＝sinB·AB；BC＝sinA·AB.

（2）AB＝；tanA＝；∠B＝90°－∠A，以上可以根据所给出的等量关系分别求出

（1）

（2）中的未知元素．

（3）不可以求出各边长．

反思小结：

（1）在直角三角形中由已知的元素，求出所有未知的元素，叫解直角三角形．

（2）解直角三角形中，除直角外，其他五个元素中需要知道两个元素（至少有一个为边）可以求到其他三个元素．

例题讲解：

教材例1，例2

针对训练：

（1）教材随堂练习．

（2）中“当堂练习”部分．

四、总结梳理　内化目标

本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础．

五、达标检测　反思目标

1．在下列直角三角形中不能求解的是（　　）

A．已知一直角边一锐角

B．已知一斜边一锐角

C．已知两边

D．已知两角

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．

（1）已知∠B＝45°，c＝解这个直角三角形

（2）已知∠A＝30°，b＋c＝30解这个直角三角形

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC的平分线AD＝4，解此直角三角形．

教材习题1.5第1，2题．

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1．5　三角函数的应用

第1课时　与方位角有关的实际问题

1．理解航海方位角的概念，并学会画航行方位图，将航海问题转化成数学问题．

2．通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景，从而培养空间想象力．

学会画航行的方位图，将航海问题转化成数学问题．

将航海的实际情景用航行方位图表现出来．

一、创设情景　明确目标

（1）回顾直角三角形边与角之间的关系．

（2）让学生画出方位角的示意图，并给出定义．

学生画图：

二、自主学习　指向目标

阅读教材第19页图1－13有关的内容，并完成中的“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　方位角的实际问题

活动：

出示幻灯片动画，动画内容如下：

一渔船以20海里/小时的速度跟踪鱼群由西向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B点，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知灯塔C的周围10海里范围内有暗礁，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

展示点评：

根据题中船的路径可以把它画成平面图，如图所示，根据实际问题，作CD⊥AD，在Rt△ACD中，求出CD的长度，然后比较CD与10海里的大小就可以确定此船有没有触礁的危险．

解答如下：

根据题意可知，∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，

AB＝20×1＝20（海里）．

则∠BAC＝∠ACB＝30°，

故AB＝BC＝20海里．

在直角三角形CBD中，

∵sin60°＝CD∶CB＝，

∴CD＝20×＝10＞10

所以，货轮继续向东航行途中没有触礁的危险．

反思小结：

（1）在这种航海问题上，首先通过方位角的定位画出平面示意图，用辅助线的方法把实际问题转化成数学问题（解直角三角形）

（2）方位角的位置要精确．

针对训练：

中“当堂练习”部分．

四、总结梳理　内化目标

本节课我们学习了航海方位角的概念，并学会根据航海实际情景来画航行方位图，将航海问题转化成数学问题来解决．

五、达标检测　反思目标

如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？

（精确到0.01海里）

教材习题1.6第4题．

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第2课时　与仰角、俯角有关的实际问题

1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义．

2．将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．

将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念．

实际情景和平面图形之间的转化．

一、创设情景　明确目标

（1）让学生熟练写出直角三角形中的边与角之间的关系：

（①三边之间，②角之间，③锐角三角函数）

（2）仰角与俯角

①如图：

②定义：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．

二、自主学习　指向目标

阅读教材第19页中想一想的内容，完成中“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　仰角、俯角的实际问题

活动：

出示幻灯动画，动画内容如下：

小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？

（小明的身高忽略不计，结果精确到1m）．

（1）你能完成这个任务吗？

（2）请与同伴交流你是怎么想的？

（3）准备怎么去做？

展示点评：

实物图可以建立成两个直角三角形模型，已知在Rt△ACD中，AC＝CD·tan30°，同理BC＝CD·tan60°，于是AC－BC＝AB，可以得到关于CD与已知量的关系，即可求出CD的长．

解答如下：

解：

如图，根据题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50m.求CD的长设CD＝xm，则∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，∵tan∠ADC＝，tan∠BDC＝，∴AC＝xtan60°，BC＝xtan30°，∴xtan60°－xtan30°＝50.∴x＝＝＝25≈43（m）

所以，该塔约有43m高．

反思小结：

仰角、俯角的问题上的类型题，首先要据题意建立直角三角形模型，充分利用三角函数来解决此类实