中考试题专题突破九 几何综合.docx
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中考试题专题突破九几何综合
专题突破（九） 几何综合
在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形（全等、相似）、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．
求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．
2011－2015年北京几何综合题考点对比
年份
2011
2012
2013
2014
2015
考点
平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形（全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形）
旋转变换、对称变换、构造全等三角形
全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，等腰直角三角形旋转的性质
以轴对称和正方形为载体，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理
以正方形为载体，考查了平移作图，利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程
1．[2015·北京]在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.
（1）若点P在线段CD上，如图Z9－1（a）．
①依题意补全图（a）；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明．
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
图Z9－1
2．[2014·北京]在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
（1）依题意补全图Z9－2①；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
图Z9－2
3．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°<α<60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
（1）如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在
（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
图Z9－3
4．[2012·北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图Z9－4①），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．
图Z9－4
5．[2011·北京]在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
（1）在图Z9－5①中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图②），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图③），求∠BDG的度数．
图Z9－5
1．[2015·怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.
（1）依题意补全图Z9－6①；
（2）若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；
（3）如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．
图Z9－6
2．[2015·朝阳一模]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B，C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.
（1）如图Z9－7（a），点D在BC边上．
①依题意补全图（a）；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．
（2）如图（b），点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系（直接写出结论）．
图Z9－7
3．[2015·海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：
EG＝BC；
（3）用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：
________．
图Z9－8
4．[2015·海淀二模]如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）．
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE.
①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：
BD＝CD；
②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：
BD＝CF.
图Z9－9
5．[2015·西城一模]在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.
（1）如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，
＝________；
（2）如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和
的值，并证明你的结论；
（3）如果∠BAC＝α，那么
＝________．（用含α的代数式表示）
图Z9－10
6．[2015·丰台一模]在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝
∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.
（1）如果∠ACB＝90°，
①如图Z9－11（a），当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
②如图（b），当点P不与点A重合时，求
的值．
（2）如果∠CAB＝a，如图（c），请直接写出
的值．（用含a的式子表示）
图Z9－11
7．[2015·海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°<α<120°）得到线段AD，连接CD.
（1）连接BD，
①如图Z9－12（a），若α＝80°，则∠BDC的度数为________．
②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．
（2）如图（b），以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．
图Z9－12
8．[2015·西城二模]正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
（1）如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．
（2）如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，
（1）中的结论是否成立？
若成立给出证明；若不成立，说明理由．
（3）如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
图Z9－13
参考答案
北京真题体验
1.解：
（1）①如图（a）所示．
②AH＝PH，AH⊥PH.
证明：
连接CH，
由条件易得：
△DHQ为等腰直角三角形，
又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，
∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP.
∵BD为正方形ABCD的对称轴，
∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，
∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，
∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，
∴AH＝PH且AH⊥PH.
（2）如图（b），
过点H作HR⊥PC于点R，
∵∠AHQ＝152°，
∴∠AHB＝62°，
∴∠DAH＝17°，
∴∠DCH＝17°.
设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝
.
由tan17°＝
得
＝tan17°，
∴x＝
.
2．解：
（1）补全图形如图①所示：
（2）如图①，连接AE，
则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠EAD＝130°，AE＝AD.
∴∠ADF＝25°.
（3）如图②，连接AE，BF，BD.
由轴对称的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°.
∴BF2＋FD2＝BD2.
∴EF2＋FD2＝2AB2.
3．解：
（1）∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝
（180°－∠A）＝90°－
α.
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝30°－
α.
（2）△ABE是等边三角形．
证明：
连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC＝BD，∠DBC＝60°.
∴△BCD为等边三角形．
∴BD＝CD.
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－
α.
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC＝
α.
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°－（30°－
α）－150°＝
α＝∠BAD.
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC，
∴AB＝BE.
又∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
（3）∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°－60°＝90°.
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC.
∵∠BCE＝150°.
∴∠EBC＝
（180°－150°）＝15°.
∵∠EBC＝30°－
α＝15°，
∴α＝30°.
4．解：
（1）如图①，∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM＝MC.
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，
∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ＝60°，
∴∠CDB＝30°.
（2）连接PC，AD，
∵AB＝BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD＝CD，AP＝PC.
在△APD与△CPD中，
∵
∴△APD≌△CPD，
∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，
∴∠ADC＝2∠CDB.
又∵PQ＝PA，
∴PQ＝PC，∴∠PQC＝∠PCD＝∠PAD，
∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°，
∴∠APQ＋∠ADC＝360°－（∠PAD＋∠PQD）＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α，
∴2∠CDB＝180°－2α，
∴∠CDB＝90°－α.
（3）∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α.
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°－2α＞α，
∴45°＜α＜60°.
5．解：
（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.
∴∠CEF＝∠F.
∴CE＝CF.
（2）∠BDG＝45°.
（3）如图，分别连接GB，GE，GC，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°，
∴∠ECF＝∠ABC＝120°.
∵FG∥CE且FG＝CE，
∴四边形CEGF是平行四边形．
由
（1）得CE＝CF.
∴四边形CEGF是菱形，
∴GE＝EC，①
∠GCF＝∠GCE＝
∠ECF＝60°，
∴△ECG与△FCG是等边三角形，
∴∠GEC＝∠FCG，
∴∠BEG＝∠DCG，②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE.
在▱ABCD中，AB＝DC，
∴BE＝DC.③
由①②③得△BEG≌△DCG，
∴BG＝DG，∠1＝∠2，
∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°，
∴∠BDG＝
＝60°.
北京专题训练
1.解：
（1）补全图形，如图①所示．
（2）连接AD，如图①.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AD＝AC，∠DAC＝120°，
∴2∠ACE＋120°＝180°.∴∠ACE＝30°.
（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
证明：
连接AD，EB，如图②.
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD＝AB，DE＝BE，
可证得∠EDA＝∠EBA.
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠ACE.
设AC，BE交于点F，
∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，
∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
2．解：
（1）①补全图形，如图（a）所示．
②如图（b），由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°.
∵DF⊥BC，
∴∠FDB＝90°.
∴∠ADF＝∠EDB.
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠DFB＝45°.
∴DB＝DF.
∴△ADF≌△EDB.
∴AF＝EB.
在△ABC和△DFB中，
∵AC＝8，DF＝3，
∴AB＝8
，BF＝3
.
AF＝AB－BF＝5
，
即BE＝5
，
（2）
BD＝BE＋AB.
3．解：
（1）补全图形，如图①所示．
（2）方法一：
证明：
连接BE，如图②.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC.
∵∠ADC＝120°，
∴∠DCB＝60°.
∵AC]是菱形ABCD的对角线，
∴∠DCA＝
∠DCB＝30°.
∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.
由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，
∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°.
∴∠GEB＝∠CBE.
∵∠FBC＝50°，
∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°.
∴∠EBG＝∠BEC.
在△GEB与△CBE中，
∴△GEB≌△CBE.
∴EG＝BC.
方法二：
证明：
连接BE，设BG与EC交于点H，如图②.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC.
∵∠ADC＝120°，
∴∠DCB＝60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠DCA＝
∠DCB＝30°.
∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.
由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，
∵∠FBC＝50°，
∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°＝∠BEC.
∴BH＝EH.
在△GEH与△CBH中，
∴△GEH≌△CBH.
∴EG＝BC.
（3）AE＋BG＝
EG.
4．解：
（1）∠ADE＝90°－α.
（2）①证明：
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF.
∴∠EDC＝∠ABC＝α.
由
（1）知∠ADE＝90°－α，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BD＝CD.
②证明：
∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠C＝α.
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF.
∴∠EAC＝∠C＝α.
由
（1）知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2（90°－α）＝2α，
∴∠DAC＝α.
∴∠DAC＝∠C.
∴AD＝CD.
∵AD＝AE＝BF，
∴BF＝CD.
∴BD＝CF.
5．解：
（1）90
（2）结论：
∠AHB＝90°，
＝
.
证明：
如图，连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠1＋∠2＝90°.
又∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°.
∴∠2＋∠C＝90°.
∴∠1＝∠C＝60°.
设AB＝BC＝k（k>0），
则CE＝
CD＝
，DE＝
k.
∵F为DE的中点，
∴DF＝
DE＝
k，AD＝
AB＝
k.
∴
＝
，
＝
.
∴
＝
.
又∵∠1＝∠C，
∴△ADF∽△BCE.
∴
＝
＝
，
∠3＝∠4.
又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，
∴∠3＋∠6＝90°.
∴∠AHB＝90°.
（3）
tan（90°－
）．
6．解：
（1）①作图．
△ADE（或△PDE）．
②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，
∴∠CPM＝∠CAB.
∵∠CPE＝
∠CAB，
∴∠CPE＝
∠CPN.∴∠CPE＝∠FPN.
∵PF⊥CG，∴∠PFC＝∠PFN＝90°.
∵PF＝PF，∴△PFC≌△PFN.∴CF＝FN.
由①得：
△PME≌△CMN.
∴PE＝CN.∴
＝
＝
.
（2）
tanα.
7．解：
（1）①30°.
②不改变，∠BDC的度数为30°.
方法一：
由题意知AB＝AC＝AD.
∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．
∴∠BDC＝
∠BAC＝30°.
方法二：
由题意知AB＝AC＝AD.
∵AC＝AD，∠CAD＝α，
∴∠ADC＝∠ABD＝
＝90°－
α.
∵AB＝AD，∠BAD＝60°＋α，
∴∠ADB＝∠ABD＝
＝
＝60°－
α.
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝（90°－
α）－（60°－
α）＝30°.
（2）过点A作AM⊥CD于点M，连接EM.
∴∠AMC＝90°.
在△AEB与△AMC中，
∴△AEB≌△AMC.
∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM.
∴∠EAM＝∠EAC＋∠CAM＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝60°.
∴△AEM是等边三角形．
∴EM＝AM＝AE.
∵AC＝AD，AM⊥CD，
∴CM＝DM.
又∵∠DEC＝90°，
∴EM＝CM＝DM.
∴AM＝CM＝DM.
∴点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上．
∴α＝∠CAD＝90°.
8．解：
（1）CH＝AB
（2）结论成立．
证明：
如图，连接BE.
在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°.
∵DE＝DF，
∴AF＝CE.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE.
∴∠1＝∠2.
∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，
∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．
∴∠3＝∠2.
∴∠3＝∠1.
∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC＝90°，
∴∠4＝∠HBC.
∴CH＝CB.
∴CH＝AB.
（3）3
＋3.
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