小学数学奥数方法讲义40讲三.docx

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小学数学奥数方法讲义40讲三

第二十一讲守恒法

应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。

解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。

（一）总数量守恒

有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。

例1晶晶要看一本书，计划每天看15页，24天看完。

如果要12天看完，每天要看多少页？

如果改为每天看18页，几天可以看完？

（适于三年级程度）

解：

无论每天看多少页，总是看这一本书，只要抓住这本书的“总页数不变”这个关键，问题就好办了。

这本书的总页数是：

15×24=360（页）

如果要12天看完，每天要看的页数是：

360÷12=30（页）

如果改为每天看18页，看完这本书的天数是：

360÷18=20（天）

答略。

此题由于第一步是用乘法求出总数，因此也叫做“归总”应用题。

*例2用一根铁丝围成一个长26厘米，宽16厘米的长方形。

用同样长的铁丝围成一个正方形，正方形所围成的面积是多少？

（适于三年级程度）

解：

这根铁丝的长是不变的量，铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相同。

即：

26×2+16×2

=52+32

=84（厘米）

正方形的边长是：

84÷4=21（厘米）

正方形所围成的面积是：

21×21=441（平方厘米）

答略。

解：

书架上书总的本数是不变的数量，设它为单位1。

从“上层书的本

书总的本数分成5份，上层的书占总本数的

因此，书总的本数是：

原来书架的上层有书：

原来书架的下层有书：

90-18=72（本）

（二）部分数量守恒

当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解题。

例1一辆汽车，从甲站到乙站，要经过20千米的平路，45千米的上坡路，15千米的下坡路。

如果这辆汽车在平路上每小时行40千米，在上坡路上每小时行30千米，在下坡路上每小时行45千米。

照这样的速度行驶，这辆汽车在甲、乙两站间往返一次需要多少时间？

（适于五年级程度）

解：

无论汽车行驶在平路上、上坡路上，还是在下坡路上，每一段路上的速度是不变的。

这辆汽车往返一次共行：

在平路（20+20）千米在上坡路（45+15）千米在下坡路（15+45）千米这辆汽车往返一次需要的时间是：

答略。

例2有含盐15％的盐水20千克，要使盐水含盐10％，需要加水多少千克？

（适于六年级程度）解：

题中盐的重量是不变的数量，盐的重量是：

20×15％=3（千克）

在盐水含盐10％时，盐的对应分率是10％，因此盐水的重量是：

3÷10％=30（千克）

加入的水的重量是：

30-20=10（千克）

答略。

解：

文艺书的本数是不变的数量。

文艺书有：

=720（本）

从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数，得到买进科技书的本数：

720-630=90（本）

综合算式：

=720-630

=90（本）

答略。

（三）差数守恒

当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。

例1父亲今年35岁，儿子5岁。

多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？

（适于四年级程度）

解：

父子年龄的差是个不变的数量，始终是35-5=30（岁）

在父亲年龄是儿子年龄的3倍时，父子年龄的差恰好是儿子年龄的2倍。

因此，这时儿子的年龄是：

30÷2=15（岁）

15-5=10（年）

答：

10年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。

*例2小明有200个枣，大平有120个枣。

两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。

问两个人一共吃掉多少个枣。

（适于四年级程度）

解：

两个人相差的枣的个数是不变的数量：

200-120=80（个）

两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。

这就是说大平剩下的枣是1份数，小明剩下的枣比大平剩下的枣多4份数。

因为两人吃掉的枣的个数相同，所以相差数还是80个。

这80个是4份数。

因此，大平剩下的枣是其中的一份数：

80÷4=20（个）

大平吃掉的枣是：

120-20=100（个）

因为两个人吃掉的枣一样多，所以一共吃掉枣：

100×2=200（个）

答略。

*例3有甲、乙两个车间，如果从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人；如果从两个车间各调出18人，乙车间剩下人数就是甲车间

解：

由“从甲车间调出18人给乙车间，甲车间就比乙车间少3人”可看出，甲车间比乙车间多2个18人又少3人，即甲车间比乙车间多：

18×2-3=33（人）

由“从两个车间各调出18人，乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的

甲车间原有的人数是：

88+18=106（人）

乙车间原有的人数是：

106-33=73（人）

答略。

*例4甲种布的长是乙种布长的3倍。

两种布各用去8米时，甲种布剩下的长是乙种布剩下长度的4倍。

两种布原来各长多少米？

（适于六年级程度）

解：

甲、乙两种布的长度差是不变的数量，解题时要以这个不变的数量作为标准量。

原来乙种布的长是标准量的：

乙种布先后两个分率的差是：

乙种布的长是：

甲种布的长是：

48+24=72（米）

答略。

第二十二讲两差法

解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。

用两差法一般是解答差倍问题。

差倍问题的数量关系是：

两数差÷倍数差=1倍数

1倍数×倍数=几倍数

较小数+两数差=较大数

例1某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。

这个厂男女职工共有多少人？

（适于四年级程度）

解：

根据“人数差÷倍数差=1倍数”，有：

65÷（6-1）=13（人）

那么，这个厂男女职工共有的人数是：

13×（6+1）=91（人）

答略。

例2小李买3本日记本，小华买同样的8本日记本，比小李多用2.75元。

小李、小华两人分别用去多少钱？

（适于五年级程度）

解：

小华比小李多用2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。

小李用的钱数是：

0.55×3=1.65（元）

小华的钱数是：

0.55×8=4.40（元）

答略。

例3甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。

问甲乙两数各是多少？

（适于四年级程度）

解：

甲-乙=28，甲是乙的3倍，那么乙就是1倍数，28所对应的倍数是3-1=2（倍），则乙数可以求出。

解法是：

28÷（3-1）=14……………………………乙数

14×3=42…………………………………甲数

答：

甲数是42，乙数是14。

例4一个植树小组植树。

如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

这个植树小组有多少人？

一共有多少棵树苗？

（适于五年级程度）

解：

把题中的条件简要摘录如下：

      每人5棵      剩14棵

      每人7棵      缺4棵

比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。

根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。

（14+4）÷（7-5）=9（人）……………………人数

5×9+14=59（棵）……………………………棵数

答略。

例5用一个杯子向一个空瓶里倒水。

如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进5杯水，连瓶共重600克。

一杯水和一个空瓶各重多少克？

（适于五年级程度）

解：

解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。

这道题的“暗差”有两个：

一个是5-3=2（杯），另一个是600-440=160（克）。

这里两个暗差的等量关系是：

2杯水的重量=160克。

这样就能很容易求出一杯水的重量：

160÷2=80（克）

一个空瓶的重量：

440-80×3=200（克）

答略。

*例6甲从西村到东村，每小时步行4千米。

3.5小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行9千米。

问乙需要几小时才能追上甲？

（适于高年级程度）

解：

乙出发时，甲已经行了（4×3.5）千米，乙每行1小时便可比甲每小时多行（9-4）千米，那么（4×3.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。

所以：

答：

乙需2.8小时才能追上甲。

例6是典型的“追及问题”。

由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。

*例7某电风扇厂生产一批电风扇。

原计划每天生产120台电风扇，实际每天比原计划多生产30台，结果提前12天完成任务。

这批电风扇的生产任务是多少台？

（适于高年级程度）

解：

在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：

（120+30）×12。

因为实际每天比原计划多生产30台，因此：

计划完成任务的天数是60天，那么这批电风扇的生产任务就是：

120×60=7200（台）

答略。

*例8甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3小时。

问这段路长多少千米？

（适于五年级程度）

解：

解答这道题应从“差异”入手。

因为凡是发生差异必定有它的道理。

题中的差异是“甲比乙少用了3小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。

为什么会“甲比乙少用了3小时”？

因为甲比乙的速度快。

（1）在3个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？

在3小时里甲比乙正好多走：

4×3=12（千米）

（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？

5-4=1（千米）

（3）走完这12千米的差数甲要走几小时呢？

12÷1=12（小时）

（4）这段路长多少千米？

5×12=60（千米）

综合算式：

5×[4×3÷（5-4）]

=5×[12÷1]

=5×12

=60（千米）

答略。

解：

此题是“差倍”问题的变形。

答略。

两堆煤原来各有多少吨？

（适于六年级程度）

解：

这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。

虽然知道甲堆运

知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。

本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。

然后再看假设引出了什么差异。

已知条件告诉我们共运走180吨，与方才算得的162吨相差180-162=18（吨），为什么会产生这18吨的差异呢？

270-120=150（吨）……………………甲堆

答略。

*例11祖父给兄弟二人同样数目的零花钱，祖母给了哥哥1100日元，给了弟弟550日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为7∶5。

求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？

（适于六年级程度）

解：

因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。

1100-550=550（日元）

由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为7∶5可知，把哥哥的钱看成是7份的话，弟弟的钱数就是5份，它们相差：

7-5=2（份）

所以，每一份的钱数是：

550÷2=275（日元）

哥哥有零花钱：

275×7=1925（日元）

其中祖父给的是：

1925-1100=825（日元）

答：

祖父给兄弟二人的钱都是825日元。

*例12一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：

“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？

”牧羊人说：

“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍，你去算吧。

”请你帮助小明算一算。

（适于五年级程度）

解：

由“山羊的只数加上99只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多99只。

由“绵羊的只数加上99只就是山羊的3倍”知道，绵羊的只数加上99只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。

此时，如果把山羊只数看作1倍，绵羊只数就是3倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图22-1）。

用除法可以求出1倍数（山羊只数），再用加法就可以求出绵羊只数。

（99+99）÷（3-1）

=198÷2

=99（只）…………………山羊只数

99+99=198（只）…………绵羊只数

答略。

*例13某工厂有大、小两个车间。

如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍；如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等。

求大、小两个车间各有多少人？

（适于高年级程度）

解：

根据“如果从大车间调30人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多30×2人；根据“如果从小车间调10人到大车间，则大车间的人数是小车间的3倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（30×2+10×2）人。

把调动后小车间的人数看作1倍数，则大车间的人数就是3倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（30×2+10×2）人。

用除法可以求出1倍数（调动后，小车间人数），加上10就得小车间原有人数。

（30×2+10×2）÷（3-1）+10

=80÷24+10

=50（人）………………（小车间原有人数）

50+30×2=110（人）…（大车间原有人数）

答略。

在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。

年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。

但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。

抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问题。

*例14今年哥哥18岁，弟弟8岁。

问几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？

（适于高年级程度）

解：

作图22-2。

哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。

把几年前弟弟的年龄看作1倍数，哥哥的年龄就是3倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。

用除法可以求出1倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的3倍。

8-（18-8）÷（3-1）=3（年）

答略。

*例15今年父亲40岁，儿子4岁。

问几年后父亲的年龄是儿子的4倍？

（适于高年级程度）

解：

作图22-3。

父子年龄之差（40-4）岁始终不变。

把几年后儿子的年龄看作1倍数，父亲的年龄就是4倍数，比儿子多（4-1）=3倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。

用除法可求出1倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的4倍。

（40-4）÷（4-1）-4

=36÷3-4

=8（年）

答略。

第二十三讲比例法

比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。

近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。

用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。

有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。

用比例法解答应用题的关键是：

正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。

（一）正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：

例1一个化肥厂4天生产氮肥32吨。

照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？

（适于六年级程度）

解：

因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。

设四月份30天生产氮肥x吨，则：

答略。

例2某工厂要加工1320个零件，前8天加工了320个。

照这样计算，其余的零件还要加工几天？

（适于六年级程度）

解：

因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。

还需要加工的数量是：

1320-320=1000（个）

设还需要加工x天，则：

例3一列火车从上海开往天津，行了全程的60％，距离天津还有538千米。

这列火车已行了多少千米？

（适于六年级程度）

解：

火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。

设火车已行的路程为x千米。

答略。

米。

这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是2∶3。

这段公路长多少米？

（适于六年级程度）

解：

余下的长度与已修好长度的比是2∶3，就是说，余下的长度是已

这段公路的长度是：

答略。

（二）反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：

x×y=k（一定）

例1某印刷厂装订一批作业本，每天装订2500本，14天可以完成。

如果每天装订2800本，多少天可以完成？

（适于六年级程度）

解：

由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。

设x天可以完成，则：

答略。

例2一项工程，原来计划30人做，18天完成。

现在减少了3人，需要多少天完成？

（适于六年级程度）

解：

工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。

现在减少3人，现在的人数就是：

30-3=27（人）

设需要x天完成，则：

答略。

例3有一项搬运砖的任务，25个人去做，6小时可以完成任务；如果相同工效的人数增加到30人，搬运完这批砖要减少几小时？

（适于六年级程度）

解：

题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。

设增加到30人以后，需要x小时完成，则：

6-5=1（小时）

答：

增加到30人后，搬运完这批砖要减少1小时。

例4某地有驻军3600人，储备着吃一年的粮食。

经过4个月后，复员若干人。

如果余下的粮食可以用10个月，求复员了多少人？

（适于六年级程度）

解：

按原计划，4个月后余下的粮食可以用：

12-4=8（个月）

因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用8个月的粮食，现在就可以用10个月。

粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。

设余下的粮食供x人吃10个月，则：

答：

复员了720人。

（三）按比例分配

按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。

用归一法解按比例分配应用题的核心是：

先求出一份是多少，再求几份是多少。

这种方法比解分数应用题的方法容易一些。

用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：

把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。

这种转化稍微难一些。

然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。

究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。

有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。

1.按正比例分配

甲、乙、丙三个数的连比是：

4+5+8=17

答略。

例2有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少

解：

因为甲堆比乙堆多12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1+12.5％）。

甲∶乙=（1+12.5％）∶1=9∶8

甲∶乙∶丙=9∶8∶10

已知甲堆比丙堆少6吨，这6吨所对应的份数是1，所以，甲堆煤的吨数是：

6×9=54（吨）

乙堆煤的吨数是：

6×8=48（吨）

丙堆煤的吨数是：

6×10=60（吨）

答略。

2.按反比例分配

*例1某人骑自行车往返于甲、乙两地用了10小时，去时每小时行12千米，返回时每小时行8千米。

求甲、乙两地相距多少千米？

（适于六年级程度）

解：

此人往返的速度比是：

12∶8=3∶2

因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的时间比是2∶3。

去时用的时间是：

两地之间的距离：

12×4=48（千米）

答略。

*例2一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了110个小

这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。

将110小时按8∶2∶1的比例分配。

骑马的时间是：

坐火车的时间是：

答略。

3.按混合比例分配

把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。

混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。

*例1红辣椒每500克3角钱，青辣椒每500克2角1分钱。

现将红辣椒与青辣椒混合，每500克2角5分钱。

问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？

（适于六年级程度）

解：

列出表23-1。

表23-1

表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。

混合后的辣椒是每500克卖2角5分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是1∶1，因为在混合后的辣椒中每有500克红辣椒，红辣椒就要少卖5分钱，所以应算是每500克红辣椒损失了5分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和3角，填上5分；又因为在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多卖4分钱，所以应算是每500克青辣椒多卖了（益）4分钱，在“益”一栏中，横对青辣椒和2角1分，填上4分。

5与4的最小公倍数是20。

20÷5＝4，20÷4＝5，

只有在混合的辣椒中，有4份的红辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好卖2角5分钱。

4份的红辣椒是4个500克，它的价钱是，

0.3×4=1.2（元）

5份的青辣椒是5个500克，它的价钱是，

0.21×5=1.05（元）

4份红辣椒与5份青辣椒的总价是，

1.2+1.05=2.25（元）

而9个500克的混合辣椒的总价是，

0.25×9=2.25（元）

9份（9个500克）红辣椒和青辣椒的总价正好与9个500克混合辣椒的总价相等。

所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是4∶5。

这个比正好是益损两数比的反比。

答略。

*例2王老师买甲、乙两种铅笔共20支，共用4元5角钱。

甲种铅笔每支3角，乙种铅笔每支2角。

两种铅笔各买多少支？

（适于六年级程度）

解：

20支铅笔的平均价格是：

4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）

列出表23-2。

表23-2

因为甲种铅笔每支3角，而平均价格是每支2.25角，所以每支甲种铅笔损失了0.75角钱。

在表中“损”一栏横对“甲”填上0.75角/支；因为乙种铅笔每支2角，而平均价格是每支2.25角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了0.25角。

在表中“益”一栏横对“乙”填上0.25角/支。

两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填0.25，而横对乙填0.75。

把0.25和0.75化简后得1和3。

现在可以认为两种铅笔的总份数是：

1+3=4（份）

甲种铅笔的支数是：

乙种铅笔的支数是：

答略。

（四）连比

如果甲数量与乙数量的比是a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。

注意：

“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。

*例1已知甲数和乙数的比是5∶6，丙数和乙数的比是7∶8，求这三个数的连比。

（适于六年级程度）

解：

已知甲、乙两数的比是5∶6，丙数与乙数之比为7∶8，即乙数与丙数之比为8∶7。

第一个比的后项是6，第二个比的前项为8，这说明