及的，但低温下高频影响可忽略，所以这样推出的公式只适用于低温）
§.2Einstein的光子说
、爱因斯坦“光量子”假说（1905）
1、光电效应现象[1887赫兹（Hertz）]
光电效应的主要现象：
当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）
A、发射光电子依赖于频率，而与光强度无关。
要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低
频率叩min。
B、当照射光的频率V>十min时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。
这从经典物理学角度是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。
因此认为光波强度
增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光
强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。
所以,
经典理论与实验绝然相反。
2、Einstein（1905）的丿光子”假设：
Einstein（1905）创立了狭义相对论，并在这年将Planek“能量子”假设推广为“光量子”的概念。
（i）、“光量子”的概念：
一束单色光由辐射能量大小为
g=hv的光量子组成，即假设光与物质粒子交换
能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量
hv。
（ii）、光子的动量与波长的关系：
P=h^/c=h/k。
光子的静止质量呛=0，根据狭义相对论的光的能量
一「B、,十1-224.2222「，十
-动量关系：
E=moc+PC=PC；又由于
E=hv,所以P=hv/c=h/几（入=申是光的波长）。
对解释光电效应实验如下:
电子要飞离金属，必须克服吸引而做功
W）（逸出功），所以飞出光电子电子的动能Ke：
Ke=hv-W0,
Wo—电子在金属中的脱出功
由于电子吸引两个光量子的几率几乎为
0，故要想飞离金属，则至少Ke=0；
hVni^Wo即有一最低频率。
而Ke=hv-W）=h（V-Vmin卜
&除以频率V为一个常数，即
该常数并不能由经典物理学中常数所
我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量
=h（常数）
V
而这个常数h与光的频率V、光的强度、电子以及金属材料都无关。
给出。
因此，E=hv是一个与经典物理学完全不相容的关系式。
意义：
证明电磁场的能量子hv可以和单电子相互作用，从而它本身也可视为一种粒子,
称为“
光子”
3、密立根（Millikan）实验（1916）
密立根在1910开始研究光电效应，到1916通过实验证实了爱因斯坦的光电方程,
并推算出普朗克常量
h=6.56x10」4Js。
这为爱因斯坦的光量子理论提供了第一个直接而全面的实验证据。
1921年爱因斯
坦由于光电效应等理论工作获得诺贝尔物理学奖，密立根也于
1923年荣获诺贝尔物理学奖。
4、康普顿散射（ComptonScattering）
Compton实验（1923）是光在自由电子上的散射（或称光子-电子的碰撞）。
证实了光具有粒子性。
实验发现，单色X射线与电子作用使电子发生散射，散射X射线的波长增大:
实验结果和特点经典物理无法解释。
康普顿引入“光子”的概念并利用相对论力学对散射过程成功地进
行理论解释如下:
根据爱因斯坦假设：
x射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现,
因此它们交换能量和动量。
设
x入射波长为—则入射的x射线的能量和动量为
hc
E=hv=
A
假定电子开始处于静止状态，其初始能量为meC2。
当x射线与电子发生相互作用后，x射线以动量P沿
着日方向射出，此时波长为汀，能量和动量分别为
匚，.，hc
E=hv=——
rr
A
斗，E‘片，h十h彳,p=—n=——n=—；n
根据散射前后的能量、动量守恒有
由⑴2—cx
（2）2得:
2,八2丄c2,"“2*22彳h2丄小
=hZ-v'）+2meChW—v'）-cp-cp+2cpp=0
利用[P「hWcE：
,上式变为meW）tw'（1-cos&）Ip=加'/c=hkc
=meh一2]=-^（1-co用）=[J-）"=—^（1-cosH）
尸丄（1-cos日）
—
meC
即隔
V-人'丿mJmec
，其中A三h/meC=2.43xi042m称为电子的康普顿散射波长。
［例题1］当光对自由质子散射时，求它的波长的改变。
h
解：
根据康普顿散射公式△A=——（1-COS8）得mc
2X6.626X10'4
对于质子，m=1840me=1840咒gixIO^kg
△a=上（1-COST）=^sin2（e/2）=——"6.626：
10=2.65>M0-15sin2（0/2）m。
mcmc1840".1"0」.3咒108
［例题2］当氢原子放射一个频率国的光子时，求它的反冲，并求当反冲时由于把能量传递给原子而产生的©的改变。
解：
设氢原子的质量为m，不反冲时光子的频率为0^，反冲时光子的频率为⑷由能量和动量守恒得:
辐射除了
综上所述，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中得出结论:
显示其波动性外，在与物质的能量和动量交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系
E=hv
斗E屮hv・h4/
p=—n=——n=—n=fik
CCA
式中衣起着重要作用，衣很小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连续T连续，辐射的微粒性消失。
§.3玻尔旧量子论
、原子结构的稳定性
1、原子"行星模型”（1911Rutherford）
卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，a粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个
a粒子约有一个a粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。
以这一模型计算散射微分截
面，与实验符合得非常好。
对原子行星模型，按经典电动力学观点：
原子中电子绕原子核加速运动，电子会不断向外辐射电磁波（即
实上原子基态是出奇地稳定，也没有辐射发生（因负电荷粒子加速），这给经典理论带来了困难。
2、氢原子光谱的经验公式
氢原子特征谱线的频率为：
（1885Balmer）
（Paschen）系）、较远红外区（布喇开（Brackett）系）、远红外区（普逢得（Pfund）系）。
每个线系均具有以
下规律性：
沿波长减小的方向，谱线越来越密集且谱线强度越来越弱。
谱。
里兹“并合规则”：
若片和E在特征光谱中，则有时y+笃和V^V2也在特征光谱中。
其意义是氢原子
的任何一条谱线的波数都等于断续系列中的某两项之差。
构的旧量子论。
、Bohr模型（1913N.Bohr）
1、玻尔模型的基本假设:
（i）、定态假设
（ii）、跃迁假设当电子由一个定态“跳”（跃迁）到另一个定态时会发出或吸收光辐射，其频率为:
V=（En-Em）/h，式中En和Em为跃迁前、后的能量。
（iii）、角动量量子化条件:
方的整数倍，即
电子在原子中的允许轨道上满足下面的条件：
它的轨道角动量是
J=rp=n^（n=1,2，…）（对于圆形轨道）。
2、经典力学加玻尔假设可成功解释氢原子光谱
总能量：
E=T+V=」mev
24兀sr8兀E0r
再利用玻尔量子化条件：
J=n矗=rp=meVr=mev2
mee4
2护（4%）2
11
-=-hcR^-y,n=1,2,3,川,n-
其中定义精细结构常数
值完全符合。
3、玻尔模型的实验证据
2
mur
e2
4聪0n2护
2
mee
^137，me是电子质量，e是电子电荷。
4阳0祀
因而
（i）、氢原子光谱和类氢原子光谱，（ii）、Franck-Hertz实验（1913）也证明了原子能量的不连续性;
（iii）、斯特恩-盖拉赫实验（1921）证明角动量量子化的，（iv）、X射线的特征辐射等。
三、威尔逊-索末菲（Sommerfeld）量子化条件（1915）
索末菲推广了玻尔的角动量量子化，重新表述为
对于任何周期运动的自由度（Pi,qi）,有量子化条件
JPidqi=nh（n=1,2,）其中q：
—广义坐标，Pi—广义动量。
［例］考虑一个电子绕电荷为
Ze的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。
［解］系统的哈密顿函数为
Ze2
r4兀名0r
由有心力下角动量守恒，知
（p^6H/汐=0）。
由量子化条件（7PqdW=nqh得p申=n^。
p2Ze2
2
由E丄+2
2m2mr4兀20r
2mZe2
Pr=j2mE—T
4兀sr
A=-p$<0
2mZe2
令｛B=-
4隔
C=2mE
<0,则Pr
b
+—=
r
Cr
—+
Jcr2+Br+A
ba
』一十—
JCr2+Br+ArJcr2+Br+A
利用公式
dx
xJa+Bx+Cx2
dx
，Ja+Bx+Cx2
1.fBx+2A）
arcsin|=
IxVB-4AC丿
1<2Cx+B〕
arcsin|.=
&B2-4AC丿
（C<0）得
xdx
Ja+Bx+CX2B
；Ja+Bx+Cx2
dx
2cJA+Bx+Cx2
一一IfAbJprdTje+h严
rmax
二AJ
rmin
dr
rJCr2+Br+A
armin
+旦J
rmin
=JA+Br+Cr2+
4rcsin〔j
v-AlrjB2-4ACj
Br+2A
[d（Cr2+Br+A）
JCr2+Br+A2咕；Jcr2+Br+A
）1
dr
启arcsinf-,
2丁-C&B2-4AC丿
2Cr+B
rmax
」rmin
其中「max和rmin由积分J
JCr2+Br+Adr=0决定，即r
max
min
-B±Jb2-4ACr「Cc0
2
2C
且[B2-4AC>0。
Br+2A
rmax
7rmax
由
rVB2-4ACr
=Tl得arcsin
Br+2A
min
jJb2-4AC
=—2arcsin1=一兀
2Cr+B
rmax
由/—
VB2-4ACr
min
，仏]rmax
=±1得arcsinI—厂'
IrVB2-4AC/
Br+2A
=2arcsin1"
rmin
故由量子化条件HPrdr=nrh（nr=1,2,H|）得兀CA——nrh
匕2丁-C
二2兀7^—^==2nrh=2兀pep
v-c
2nrh
=在恵心r—n®mnU2「gE—聶卡吩1,2川），其中"兽。
旧量子理论虽然在解释氢原子和类氢原子上取得一定成功，但也存在着严重的缺陷:
（i）、对含有多个电子体系的复杂原子光谱、半整数角动量等等无能为力,（ii）、不能求解谱线的强度;
（iii）、只能做周期运动;
（iv）、无法理解人为假设（加速不辐射和量子化条件等）。
因此，必须有崭新的理论来解释客观存在的物理现象与经典物理学理论矛盾的事实。
§1.3物质粒子的波动性
、德布罗意的“物质波”假设（deBroglie/1923）
德布罗意根据对辐射具有微粒性的研究，提出“物质波”假设:
（i）、具有一定动量的粒子和一定波长的波相联系
P即pMk（|£|=2映）称为德布罗意关系
这两个关系把表征粒子性的动力学变量（能量和动量）与波动性的特征量（频率和波矢）联系起来。
也
就是说，对一个具有确定能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波矢（波数及一定的传播方向
而我们知道，具有一个固定频率和波长的波（并有一定的传播方向）是一个平面波
物质波：
把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）
而一般可计算得到：
物质微粒的波长<10"10?
，氧原子止0.4?
、DNA分子10，?
、电子波长止1?
。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的
质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
关于德布罗意波长的计算
12.5
当粒子是电子时，me=9.108x103kg，从而e=.—?
o
TEkW
在相对论情况下：
Ee=JJp2+m2c4
/
+2
K2moc丿
当gc»Ek，则k止h/J2moEko
德布罗意提出“物质波”时并没有实验根据，只是一个假设。
其目的是为了用电子的波动性解释玻尔量子化理论的困难，他把原子定态与驻波联系，即把束缚运动实物粒子的能量量子化与有限空间中驻波的波长的分立性联系。
例如：
氢原子中电子做稳定的圆周运动，把玻尔理论中的定态对应于电子在圆周轨道上的驻波，即相当于物质波沿着圆形轨道传播，只有波的首尾相连时波的传播才处于稳定状态。
此时,轨道周长等于波长的整数倍，即驻波条件
2兀『=n^（n=1,2|I3,=J=rp=门‘巾曲
=甬,这样就得到了玻尔的量子化条件。
德布罗意的“物质波”思想直接导致了量子力学的诞生。
1925年11月薛定谔在苏黎世的一个讨论会上
给出了德布罗意假设波的解释，德拜向他提出一个问题:
“波所满足的方程在哪？
”。
与此同时，1925年
海森堡以矩阵力学的形式建立了量子力学，随后
1926
年薛定谔就以波动力学的形式创建了量子力学。
1、戴维逊、革
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