初等数学知识点补充.docx

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初等数学知识点补充

初等数学补充知识

1.公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

　　例如：

12的约数有：

1，2，3，4，6，12；

　　18的约数有：

1，2，3，6，9，18。

　　12和18的公约数有：

1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数

　　几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

　　例如：

12的倍数有：

12，24，36，48，60，72，84，…

　　18的倍数有：

18，36，54，72，90，…

　　12和18的公倍数有：

36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36

3、1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：

质数、合数和1．

　　偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．

　　每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．

　　把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．

例1两个质数的积是46，求这两个质数的和．

分析：

两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．

解：

因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．

例2用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？

分析：

首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：

243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．

解：

如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．

　　质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．

　　例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？

因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．

　　判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？

例3将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．

分析：

如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．

解：

将八个数分解成质因数：

　　40=23×544=22×11

　　45=32×563=32×7

　　65=5×1378=2×3×13

　　99=32×11105=3×5×7

　　这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：

40，63，65，99和44，45，78，105．

例4九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．

分析：

9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．

　　首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：

　　11，13，15，17，19；

　　41，43，45，47，49；

　　71，73，75，77，79；

　　101，103，105，107，109；

　　131，133，135，137，139；

　　161，163，165，167，169；

　　191，193，195，197，199；

　　根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．

解：

200以内另外五组这样的质数为：

3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199

归一问题

　归一问题是一类典型应用题．这类问题是用等分除法求出一个单位的数值（单一量）之后，再求出题目所要求解的问题．解答归一问题的方法，叫做归一法．

　　归一问题可以分为两种：

一种是求总量的，叫做正归一问题；另一种是求份数的，叫做反归一问题．归一问题在日常生活和生产中经常遇到．

例1某纺织厂有32台织布机，10天可织布4万米，后来改进操作规程，每台织布机每天多织5米，照这样的速度生产，如果该纺织厂又增加同样的织布机4台，20天可织布多少万米？

分析：

要求20天织布多少米，必须先求出改进操作规程前每天每台织布机织多少米，然后求出改进操作规程后每天每台织布机织多少米，就是“单一量”．这样便容易求出20天织布多少米．

解：

（1）改革操作规程前，每天每台织布机织布

40000÷32÷10=125（米）

（2）改进操作规程后，每天每台织布机织布

　　125+5=130（米）

　　（3）（32+4）台织布机，20天可织布

　　130×（32＋4）×20=93600（米）=9.36（万米）

　　综合算式

　　（40000÷32÷10＋5）×（32＋4）×20

　　=（125＋5）×36×20

　　=130×36×20

　　=93600（米）

　　=9.36（万米）

　　答：

36台织布机，20天可织布9.36万米．

例2某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？

分析：

要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题．

解：

（1）每人每天生产的零件数

　　1280÷20÷4=16（个）

（2）15人7天生产的零件数

　　16×15×7=1680（个）

　　（3）增加的零件数

　　1680-1280=400（个）

　　综合算式

　　（1280÷20÷4）×15×7-1280

　　=16×15×7-1280

=1680-1280

　　=400（个）

　　答：

增加了400个零件．

例3某农场收割麦子，计划18人每天6小时15天收割完，后来为了加快速度，实际每天增加了9人，并且工作时间增加了2小时，实际比原计划提前了几天完成这项任务？

分析：

这题工作总量没有发生变化，只是人数和时间发生了变化．首先先求出工作总量，再求出实际工作的天数，便可以求出提前的天数．

解：

设一人工作一小时为一“工时”．

（1）工作总量为

　　18×6×15=1620（工时）

（2）（18＋9）人工作的小时数

　　1620÷（18＋9）=60（小时）

　　（3）实际工作的天数

　　60÷（6＋2）=7.5（天）

　　（4）实际比原计划提前的天数

　　15-7.5=7.5（天）

　　综合算式

　　15-18×6×15÷（18+9）÷（6＋2）

　　=15-1620÷27÷8

　　=15-7.5

　　=7.5（天）

　　答：

实际比原计划提前了7.5天．

例4一项工程预计28天完成，先由20个人去做8天，完成了工程的

分析：

要想求出需要增加多少名工人，只需先求出完成全部工程所需的

减去原有人数，即为增加的工人数．

解：

设一人工作一天为一“日工”

（1）完成全部工程所需的工作总量

（2）剩余工程所需的工作量

　　（3）在20天里完成剩余工程需要的工人数

　　480÷（28-8）=24（人）

　　（4）增加的工人数

　　24-20=4（人）

　　综合列式

　　=480÷20-20

　　=24-20

　　=4（人）

　　答：

还需要增加4名工人．

例5有一只闹钟和一只手表，已知闹钟走1小时，手表要多走30秒，又已知在1小时的标准时间里，闹钟少走30秒，问这只手表的时间准不准？

每小时相差多少？

分析：

初看起来，手表比闹钟快30秒，闹钟比标准时间慢30秒，一快一慢都是30秒，刚好抵消．这是错误的，因为手表多走30秒是手表上的30秒，闹钟比标准时间少走30秒是闹钟上的30秒，手表比闹钟走得快，因此手表走30秒的时间比闹钟走30秒的时间短，两者无法抵消的．解这个问题的关键是先要计算在1小时（3600秒）的标准时间里闹钟走了多少秒，在这段时间里手表走了多少秒？

与1小时（3600秒）的标准时间比较就可得出手表的误差．

解：

（1）标准时间走3600秒时，闹钟走了

　　3600-30=3570（秒）

（2）闹钟走3600秒时，手表走了

　　3600+30=3630（秒）

　　（3）闹钟走1秒时，手表走了

　　3630÷3600=121÷120（秒）

　　（4）标准1小时（闹钟走3570秒时），手表走了

　　121÷120×3570=121×3570÷120=3599.75（秒）

　　（5）手表比标准1小时慢

　　3600-3599.75=0.25（秒）

　　综合列式

　　3600-（3600＋30）÷3600×（3600-30）

　　＝3600-3630÷3600×3570

　　=3600-3599.75

　　=0.25（秒）

　　答：

这只手表每小时慢0.25秒．

还原问题

从问题的最后结果出发，运用加与减、乘与除的互逆关系，一步一步进行逆推，即遇加用减，遇减用加，遇乘用除，遇除用乘，最后求出问题的解，这种解题的方法通常叫做还原

法，或逆推法，这类应用题通常叫做还原问题．

例1某数加上2，乘以5，除以11，再减去8，结果是1，求这个数．

分析：

采用还原法思考，题中最后的结果是1，1是一个数减去8得到的，在没减去8之前的数是8+1=9，9又是一个数除以11得到的，在没除以11之前的数是9×11=99，而99又是一个数乘以5得到的，在没乘以5之前的数是99÷5=19.8，19.8就是某数加上2得到的，因此在没加2之前这个数为19.8-2=17.8．

解

（1）没减去8之前的数

　　8+1=9

（2）没除以11之前的数

　　9×11=99

　　（3）没乘以5之前的数

　　99÷5=19.8

　　（4）没加上2之前，某数

　　19.8-2=17.8

　　综合算式

　　（1+8）×11÷5-2=17.8答：

这个数是17.8．

平均数

在日常生产和生活中，通过求平均数来说明问题的例子很多．例如，农民根据平均亩产量看出产量的高低；学校根据同一年级的同一次考试各班的平均分数，比较出各班的差异；等等．因此，学会求平均数是很有必要的．

　　几个数的和，再用它们的个数去除，就得到这几个数的平均数．与平均数有关的问题叫做平均数问题．解答平均数问题的基本公式是

　　平均数=总数÷总份数

　　总份数=总数÷平均数

　　总数=平均数×总份数

例1小宁在期末考试时，语文、数学、英语三科平均分数是93分，语文、数学平均90.5分，数学、英语平均97分．问他的三科成绩各是多少？

分析：

已知三科的平均分数是93分，那么这三科的总分数为93×3=279分，由语文、数学平均90.5分，则知这两科的总分数为90.5×2=181分，用三科的总分数减去这两科的总分数279-181=98分，即为英语的分数；同样，再由数学、英语平均97分，知道这两科的总分数为97×2=194分，用三科的总分数减去这两科的总分数279-194=85分，即为语文的分数；最后用三科的总分数减去语文、英语的分数就得到数学的分数．

解：

（1）这三科的总分数

　　93×3=279（分）

（2）语文、数学的总分数

　　90.5×2=181（分）

　　（3）英语的分数

　　279-181=98（分）

　　（4）数学、英语的总分数

　　97×2=194（分）

　　（5）语文的分数

　　279-194=85（分）

　　（6）数学的分数

　　279-98-85=96（分）

　　答：

小宁的语文是85分，数学是96分，英语是98分．

例2一个气象站每天早晨测量室外温度，现已知某星期一至星期日这七天的平均温度是25℃，并且知道星期一、三的温度相同，它们比星期二高3.5℃，星期二、四的温度相同，它们比星期五低1℃，星期六、日的温度相同，它们比星期五高2℃，问这七天的温度分别是多少？

分析：

由已知我们可以看出有四天的温度与星期五的温度有关，星期一、三两天的温度比星期二高3.5℃，星期二的温度比星期五低1℃，由此可知，星期一、三的温度比星期五的温度高3.5-1=2.5℃，这样七天中有六天与星期五的温度有关，把星期五的温度作为基准数，这六天的温度比星期五的温度共高2.5×2-1×2＋2×2=7℃，再用这七天的总度数减去7℃，就是星期五的温度的7倍，这样星期五的温度可以求出，从而问题便可以解决．

解：

（1）七天的总度数

25×7=175（℃）

（2）六天比星期五共高的度数

　　（3.5-1）×2-1×2+2×2=7（℃）

　　（3）星期五的度数

　　（175-7）÷7＝24（℃）

　　（4）星期一、三的度数

　　24＋3.5-1=26.5（℃）

　　（5）星期二、四的度数

　　24-1=23（℃）

　　（6）星期六、日的度数

　　24＋2=26（℃）

　　答：

星期一与星期三的温度是26.5℃，星期二与星期四的温度是23℃，星期五的温度是24℃，星期六与星期日的温度是26℃．

例3甲、乙、丙三个学生各拿出相同的钱买相同的画片，买来之后，甲、乙两人都比丙各多买了9张画片，因此他俩分别给了丙0.6元，问每张画片多少钱？

分析：

三人拿出相同的钱买相同的画片，应该买来同样多的画片，但是甲、乙确比丙各多买了9张，一共多买了9×2=18张，如果把这18张平均分配，每人应得18÷3=6张，甲、乙应分别给丙3张就行了．但实际上，甲、乙两人各自给丙0.6元，这0.6元就是3张画片的钱数，于是求出每张画片的价钱．

解：

（1）甲、乙共多买张数

　　9×2=18（张）

（2）这18张平均分给3人，每人应得的张数

　　18÷3=6（张）

　　（3）每张画片的价钱

　　0.6÷（9-6）=0.2（元）

　　综合算式

　0.6÷（9-9×2÷3）=0.2（元）

　　答：

每张画片的价钱是0.2元．

例4商店里购进同样钱数的甲、乙两种糖果．已知甲种糖果每千克12元，乙种糖果每千克8元．现将这两种糖果混在一起成为什锦糖，问这种什锦糖每千克的成本是多少元？

分析：

甲、乙两种糖果的总价和总重量都不确定，因此无法确定什锦糖的总价和总重量．但这种什锦糖中含有的这两种糖果的价钱相同，重量不同，所以，如果能确定什锦糖中甲、乙两种糖的重量比值，就可以求出这种什锦糖的成本．假如我们取出一部分什锦糖，其中含甲、乙两种糖果的价钱相同，均为24（12与8的最小公倍数）元，那么24元可购得甲种糖24÷12=2千克，乙种糖果24÷8=3千克，也就是说，48元可购得这种什锦糖3＋2=5千克，因此这种什锦糖的成本就可以求出来了．

解：

（1）12与8的最小公倍数

　　　　　4×3×2=24

（2）价值48元的什锦糖中含有甲、乙两糖果的重量

　　甲种糖果24÷12=2（千克）

　　乙种糖果24÷8=3（千克）

　　（3）每千克什锦糖的成本

　　48÷（3＋2）=9.6（元）

　　答：

这种什锦糖每千克的成本是9.6元．