抛物线与直线交点问题经典讲义教案设计23265.docx

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抛物线与直线交点问题经典讲义教案设计23265

标准实用

 

抛物线与直线交点问题

教学目标:

1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程,体会图象与函数解析式之间的联系。

2、理解图象交点与方程(或方程组)解之间的关系,并能灵活运用解决相关问题,进一步培养学生数形结合思想。

3、通过学生共同观察和讨论,进一步提高合作交流意识。

教学重点:

1、体会方程与函数之间的联系。

2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。

教学难点:

理解图象交点个数与方程(或方程组)解的个数之间的关系。

讲授方法:

讲授与讨论相结合

教学过程:

一、抛物线与x轴的交点问题

例1:

已知:

抛物线yx22x3,求抛物线与x轴的交点坐标。

 

练习:

1、已知:

抛物线yx2(m2)x3(m1)

(1)求证:

抛物线与x轴有交点。

(2)如果抛物线与x轴有两个交点,求m的取值范围。

 

2、(2013房山一模

23前两问)

已知,抛物线y

x2

bxc,当1<x<5时,y值为正;当x<1或x>5时,y值为负.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若直线ykx

b(k≠0)与抛物线交于点

A(3

,m)和B(4,n),求直线的解析

2

式.

 

方法总结:

1、抛物线与x轴相交:

抛物线yax2

bx

c的图象与x轴相交

ax2

bxc0(a

0)

2.抛物线与x轴的交点的个数

(1)有两个交点

△>0

抛物线与x轴相交

(2)有一个交点

△=0

抛物线与x轴相切

(3)没有交点

△<0

抛物线与x轴相离

 

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标准实用

 

二、抛物线与平行于x轴的直线的交点

例2:

求抛物线yx22x3与y=1的交点坐标

 

练习:

已知:

抛物线yx22xc

(1)如果抛物线与y=3有两个交点,求c的取值范围。

(2)如果对于任意x,总有y>3,求c的取值范围

 

方法总结:

1、抛物线与平行于x轴的直线相交

抛物线yax2bxc的图象与平行于x轴的直线相交

 

y

ax2

bx

c

2

bx

cm

y

m

新的一元二次方程ax

2.抛物线与平行于

x轴的直线的交点的个数

(1)有两个交点

△>0

抛物线与直线相交

(2)有一个交点

△=0

抛物线与直线相切

(3)没有交点

△<0

抛物线与直线相离

三:

抛物线与直线的交点问题

例3:

若抛物线y

1x2与直线y=x+m只有一个交点,求

m的值

2

 

练习:

已知:

抛物线yx2-3x和点A(-1,0),过点A作直线l与抛物线有且只有一个交点,并求直线l的解析式

 

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方法总结:

一次函数

y

kx

的图象

l

与抛物线

y

ax

2

bx

c(a0)

的图象

G

的交点个数

b(k0)

y

kx

b

的解的数目来确定

ax2

bx

y

c

方程组有两组不同的解时

l

与有两个交点

抛物线与直线相交

G

方程组有一组解时

l与G有一个交点

抛物线与直线相切

方程组没有解时

l与G没有交点

抛物线与直线相离

例4:

已知:

抛物线

yx2

2x

c

(1)

当c=-3

时,求出抛物线与

x轴的交点坐标

(2)

当-2

x轴有且只有一个交点,求

c的取值范围

 

方法总结:

线段与抛物线的交点,要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析练习:

1、抛物线yx2-2mxm2与直线y=2x交点的横坐标均为整数,且m<2,

求满足要求的m的整数值

 

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2、已知:

抛物线

y

x

2

-4x1

,将此抛物线沿

x轴方向向左平移

4个单位长度,得到一

条新的抛物线

(1)求平移后的抛物线的解析式

(2)请结合图象回答,当直线

y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时,实数

m的

取值范围

 

3、已知二次函数错误!

未找到引用源。

,在错误!

未找到引用源。

和错误!

未找到引用源。

时的函数值相等。

(1)

求二次函数的解析式;

(2)

若一次函数错误!

未找到引用源。

的图象与二次函数的图象都经过点

错误!

未找

到引用源。

,求错误!

未找到引用源。

和错误!

未找到引用源。

的值;

(3)

设二次函数的图象与

错误!

未找到引用源。

轴交于点错误!

未找到引用源。

(点

错误!

未找到引用源。

在点错误!

未找到引用源。

的左侧),将二次函数的图象

在点错误!

未找到引用源。

间的部分(含点错误!

未找到引用源。

和点错误!

找到引用源。

)向左平移错误!

未找到引用源。

个单位后得到的图象记为错误!

未找到引用源。

,同时将

(2)中得到的直线错误!

未找到引用源。

向上平移错

误!

未找到引用源。

个单位。

请结合图象回答:

当平移后的直线与图象

错误!

找到引用源。

有公共点时,错误!

未找到引用源。

的取值范围。

 

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4、已知关于

x的一元二次方程2x2

4xk

10有实数根,且k为正整数

(1)

求k的值

(2)

当此方程有两个非零的整数根时,

关于x的二次函数y2x2

4x

k1的图

象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式

(3)在

(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:

当直线y1xb(bk)与此图象有两个公共点时,b的取值范围

2

 

课堂小结:

1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题,

 

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相交方程组一元二次方程根的个数

0有两个交点,0有一个交点,0没有交点

2、在解题过程中,计算要求比较高,应夯实基础提高应用

3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想

1、(2013门头沟一模

23)已知关于x的一元二次方程

1x2

(m2)x

2m60.

2

(1)求证:

无论

m取任何实数,方程都有两个实数根;

(2)当m<3时,关于x的二次函数y

1

x2

(m

2)x

2m6

的图象与x轴交于A、

2

B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且2AB=3OC,求m的值;

(3)在

(2)的条件下,过点

C作直线l∥x轴,将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直

线l翻折,二次函数图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,记为

G.请你

结合图象回答:

当直线

1

yxb与图象G只有一个公共点时,b的取值范围.

3

 

y

 

1

O1x

 

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2、(2013丰台一模23)二次函数yx2bxc的图象如图所示,其顶点坐标为M(1,-4).

(4)求二次函数的解析式;

(2)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得

到一个新的图象,请你结合新图象回答:

当直线yxn与这个新图象有两个公共

点时,求n的取值范围.

 

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3、(2013昌平一模23)已知抛物线yx2kxk2.

 

(1)求证:

无论k为任何实数,该抛物线与x轴都有两个交点;

(2)在抛物线上有一点P(m,n),n<0,OP=10,且线段OP与x轴正半轴所夹锐角

3

的正弦值为4,求该抛物线的解析式;

5

(3)将

(2)中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折,与原图象的另一部分组成一个新

 

的图形M,当直线yxb与图形M有四个交点时,求b的取值范围.

 

y

 

1

-1O1

x

-1

 

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4、(2013怀柔一模

23)已知关于x的方程kx2

(3k

1)x3

0.

(1)求证:

无论

k取任何实数时,方程总有实数根

;

(2)若二次函数

2

1)

3

ykxk

x

的图象与

x

轴两个交点的横坐标均为整数,

且k为

(3

正整数,求k值;

(3)在

(2)的条件下,设抛物线的顶点为

M,直线y=-2x+9

与y轴交于点C,与直线

OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线

OD上.若平移的抛物线与射线

CD

(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围

.

 

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5、(2013燕山一模23)己知二次函数

y1

x2

2tx(2t1)(t>1)的图象为抛物线C1.

⑴求证:

无论t取何值,抛物线

C1与x轴总有两个交点;

⑵已知抛物线C1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),将抛物线C1

作适当的平移,得

抛物线C2:

y2(xt)2,平移后A、B的对应点分别为

D(m,n),E(m+2,n),求

n的值.

⑶在⑵的条件下,将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线

DE向上翻折后,连同C2

在DE上方的部分组成一个新图形,

记为图形G,若直线y

1x

b(b<3)与图形G

2

有且只有两个公共点,请结合图象求

b的取值范围.

y

2

1

-1O

123

x

-1

 

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6、(2013海淀一模23)在平面直角坐标系xOy中,抛物线ymx22mxn与x轴交于

A、B两点,点A的坐标为(2,0).

(1)求B点坐标;

1

(2)直线y=x+4m+n经过点B.

2

①求直线和抛物线的解析式;

②点P在抛物线上,过点P作y轴的垂线l,垂足为D(0,d).将抛物线在直线l上方

的部分沿直线l翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象G.请结合图象回答:

 

图象G与直线y=

1

d的取值范围是

x+4m+n只有两个公共点时,

2

 

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7、(2013顺义二模23)已知抛物线

y3x2

mx

2.

(1)求证:

无论m为任何实数,抛物线与

x轴总有两个交点;

(2)若m为整数,当关于x的方程

3x2

mx

2

0的两个有理数根都在

1与

4之间(不

包括-1、4)时,求m的值.

3

3

(3)在

(2)的条件下,将抛物线y

3x2

mx

2在x轴下方的部分沿

x轴翻折,图象的

其余部分保持不变,得到一个新图象

G,再将图象G向上平移n个单位,若图象G与

过点(0,3)且与x轴平行的直线有

4个交点,直接写出n的

取值范围是

y

 

O

1

x

 

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3、(2012海淀二模23)已知抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点.

(1)求m的取值范围;

(2)若m>1,且点A在点B的左侧,OA:

OB=1:

3,试确定抛物线的解析式;

(3)设

(2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l//x轴,将抛物线在y轴左侧

的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.请你结合

新图象回答:

当直线y1xb与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y07时,求b

3

的取值范围.

y

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1O12345678x

-1

-2

-3

-4

-5

 

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8(2012中考数学23)已知二次函数错误!

未找到引用源。

在错误!

未找到引用源。

和错误!

未找到引用源。

时的函数值相等。

(5)求二次函数的解析式;

(6)若一次函数错误!

未找到引用源。

的图象与二次函数的图象都

经过点错误!

未找到引用源。

,求错误!

未找到引用源。

和错

误!

未找到引用源。

的值;

(7)设二次函数的图象与错误!

未找到引用源。

轴交于点错误!

找到引用源。

(点错误!

未找到引用源。

在点错误!

未找到引

用源。

的左侧),将二次函数的图象在点错误!

未找到引用源。

间的部分(含点

错误!

未找到引用源。

和点错误!

未找到引用源。

)向左平移错误!

未找到引用

源。

个单位后得到的图象记为错误!

未找到引用源。

,同时将

(2)中得到的直

线错误!

未找到引用源。

向上平移错误!

未找到引用源。

个单位。

请结合图象回

答:

当平移后的直线与图象错误!

未找到引用源。

有公共点时,错误!

未找到引

用源。

的取值范围。

 

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9、(2012东城二模23).已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30.

 

(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;

 

(2)若正整数m满足82m2,设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x

 

轴交于A、B两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持

不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:

当直线ykx3与此图

象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可).

 

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10、(2012丰台一模23).已知:

关于x的一元二次方程:

x22mxm240.

(1)求证:

这个方程有两个不相等的实数根;

 

(2)当抛物线yx22mxm24与x轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时,

 

求此抛物线的解析式;

(3)将

(2)中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,其余部分保持能够不变,得到图形

C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2,当直线y=xb(b<0)与图形C2恰有两个

公共点时,写出b的取值范围.

 

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11、(2014东城一模

23)已知:

关于x的一元二次方程

2

﹣(4m+1)x+3m+3=0

(m>1).

mx

(1)求证:

方程有两个不相等的实数根;

(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于m的函数,且y=x1﹣3x2,

求这个函数的解析式;

(3)将

(2)中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折,图象的其余部

分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:

当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

 

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12、(2012海淀二模23)已知抛物线y(m1)x2(m2)x1与x轴交于A、B两点.

(1)求m的取值范围;

(2)若m>1,且点A在点B的左侧,OA:

OB=1:

3,试确定抛物线的解析式;

(3)设

(2)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l//x轴,将抛物线在y轴左侧

的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.请你结合

新图象回答:

当直线y1xb与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y07时,求b

3

的取值范围.

y

8

7

6

5

4

3

2

1

-4-3-2-1O12345678x

-1

-2

-3

-4

-5

 

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14、(2011中考23)在平面直角坐标系xOy中,二次函数ymx2m3x3m0的图

象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

⑴求点A的坐标;

⑵当ABC45时,求m的值;

⑶已知一次函数ykxb,点Pn,0是x轴上的一个动点,在⑵的条件下,过点P垂

直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数

ym2xm3x3m0的图象于点N。

若只有当2n2时,点M位于点N

的上方,求这个一次函数的解析式。

y

5

4

3

2

1

-3-2-1O

123

x

-1

-2

-3

-4

-5

 

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15、(2014顺义一模23)23.已知抛物线yx22mxm21与x轴交点为A、B(点B在

点A的右侧),与y轴交于点C.

(1)试用含m的代数式表示A、B两点的坐标;

(2)当点B在原点的右侧,点C在原点的下方时,若△BOC是等腰三角形,求抛物

线的解析式;

(3)已知一次函数ykxb,点P(n,0)是x轴上一个动点,在

(2)的条件下,过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线

yx22mxm21于点N,若只有当1n4时,点M位于点N的下方,求这

 

个一次函数的解析式.

 

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16、(2013中考23)在平面直角坐标系

xOy中,抛物线

y

mx

2

2mx2

0)与y

(m

轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。

 

(1)求点A,B的坐标;

(2)设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线的解析式;

(3)若该抛物线在2x1这一段位于直线的上方,并且在2x3这一段位于

直线AB的下方,求该抛物线的解析式。

 

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