量子双态体系.docx

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量子双态体系

[北京大学《量子信息物理原理》课程讲稿]（IV）

第二章量子双态体系

前言

两能级体系，更一般说，量子双态体系，是Hilbertspace为2维的量子体系。

其实，只需要在我们感兴趣的物理过程所涉及的能区或量子数范围内，有两个足够稳定（它们的半衰期很长于每次工作的时间）的不同状态，而体系的其余能级或状态在物理过程中对这两个状态的影响可以忽略，就可以将其看作是个双量子态体系，简称为双态体系。

这里并不一定需要顾及体系到底有多少能级，或是其余的那些量子态。

这类双态体系又称做“量子位”（quantumbit=qubit）。

两个态一般记作态和态。

目前正处于迅速崛起中的量子通讯领域里，有关量子信息存储、操控、传递等所有过程都会用到这类双态体系。

所以它们在量子信息论的广阔领域中显得尤其重要。

最简单的例子就是：

其一，两类相互垂直的极化光子。

比如光子处于垂直极化状态称作态，而水平极化状态称作态；其二，两种自旋状态的电子。

比如可定义：

。

本章集中讲述这类双态体系的有关基本物理问题。

包括对它们量子状态和特征量描述、状态演化、测量影响等等。

至于对混态的更多叙述、以及关于多体量子系综、量子纠缠与可分离、多位量子存储器、逻辑门的运行和操控、量子计算、退相干等等问题，则在下面各讲中分别讲述。

§2.1,单粒子双态体系的定态描述

1,单粒子双态体系的纯态与混态

两能级体系，普遍一些的提法是双态体系，其纯态一般为

（2.1a）

对自旋体系，状态一般为下面形式：

（2.1b）

这里是在2维自旋空间中将转向方向的转动：

（2.1c）

对于两维态空间的光子，与电子情况有两点不同。

其一，无静质量；其二，自旋为1是玻色子，其表示不是某个简单旋量。

但作为2维数学运算，表面形式是类似的。

设光子两个极化状态基矢为：

水平极化态，垂直极化态。

对沿Z轴前进的光子，将其极化状态在X-Y面内转角的转动变换为

（2.2a）

再加上对两个基的相对相移变换

（2.2b）

这两种变换联合使用即可对光子极化状态施加任何幺正变换

（2.2c）

其实，广泛而言，一个光子通过一个半透片后，是反射还是透射，也是两种状态的相干叠加，构成关于哪个出口空间模的二维状态空间[1]。

注意，依此类推，可以用实验手段引入粒子的新自由度。

虽然无论纯态或混态都可以用密度矩阵描述，但混态必需，而纯态并不必需用密度矩阵描述。

一般而言，单粒子A任意混态密度矩阵为

（2.3）

（2.3）式的含义是：

A处在的概率为，…。

注意：

i，这些态之间的相对相位不定，彼此不相干涉；ii，之间不一定相互正交。

有如下性质：

i）是厄密的（2.4a）

ii）本征值是非负的。

于是对任何态有

（2.4b）

iii）迹为1：

。

纯态，混态（2.4c）

这里，对角元素是正数，非对角元素可以是复数。

并且有

（2.4d）

此处有3个独立实参数，用于决定任一混态。

纯态密度矩阵是该纯态的并矢,于是，（2.4d）中第二式的等号成立，最多只含2个独立实参数（不计绝对相位）。

2,纯态极化矢量、混态Bloch矢量与Bloch球描述

双态体系的状态变换有4个算符：

注意这里的。

显然，三个Pauli矩阵加上可以构成一组矩阵基，用于展开任何2×2矩阵。

于是单个双态体系的混态密度矩阵可以展开为：

（2.5）

可以检验，对纯态为单位矢量,并等于极化矢量。

比如对（1b）两个态,

（2.6）

应当指出：

由于量子测量过程中塌缩的随机性，即使对这两个纯态的多个样品沿Z轴进行多次测量，也只能决定两个系数的模值，仍然不能决定态的内部相因子（这完全不同于经典方程式，几个变数就用几次独立测量来确定）。

实验测定一个自旋纯态等价于确定其极化矢量，测定这个单位矢量的两个方位角。

Bloch球描述方法。

引入单位半径

的圆球，于是上面叙述说明纯态对应单

位球面上一点，模长为1的矢径正是该

纯态的极化矢量。

但Bloch球

方法更重要的用途在于描述双态体系的

混态。

就单个qubit而言，任一混态不过是两个两分量自旋态按一定概率的非相干混合，其密度矩阵是一个迹为1的本征值非负的厄密矩阵。

这种混态密度矩阵总可以表示为

（2.8）

对于混态,矢量称作Bloch矢量,其模长小于1：

（2.9）

这是因为,设本征值为，则有。

行列式非负要求导致混态Bloch矢量模长小于1。

因此，单个qubit任何混态必对应单位球内某一点。

说明在qubit随时间演化的退相干过程中，由某个纯态转为混态时，相应的Bloch矢量将从球面上某点因径长缩小而进入球内（在某些特殊的退相干过程中，矢径最终会转到球面上某一特定点——体系的稳定基态，是个纯态）。

Bloch球心是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态：

（2.10）

3，可观察量与测量

它们是自伴算符（self-adjointoperators）：

。

对2维体系

的任一可观察量总可以写为

（2.11）

采用4个矩阵基，将展开为

（2.12）

按测量公设，对于给定的和它的两个本征态，当态为时，可得:

单次测量：

得本征值的概率为。

若测量是一次过滤性的测量，测后即塌缩向态。

投影测量：

任何投影都可以看做测量，

结果为1：

测后的态为；

结果为0：

测后的态为；

多次测量：

若制备大量同一态，多次重复测量，即得期望值，极限即为平均值。

§2.2，双态体系的幺正演化，举例

1，双态动力学演化

单纯双态体系动力学[3]中有所叙述，但叙述未突出耦合场性质，而且未能概括丰富的各种广义双态体系，也不切合现在量子信息论的实用。

下面两节将以建立普适理论的方式，从理论上全面解决这一问题。

这里先作简单叙述。

设体系的初态为，则

（2.13）

如果初始为混态，更方便的是使用Liouville方程

（2.14）

按（2.12）式可将Hamiltonian分解为：

（2.15a）

这里。

多数情况下体系Hamiltonian并不依赖于时间，问题很容易精确求解。

略去常数项（将其归入本征值中）后，

（2.15b）

这里是单位矢量。

时间演化算符为

（2.16a）

至此已经容易进行各种计算了。

比如有

（2.16b）

于是，状态按变换演化，与此同时，等效的极化矢量按相应的三维空间转动演化。

这是中子干涉量度学基本规律之一[2]。

2，举例

量子光学中常用如下Hamiltonian

（2.17a）

引入单位矢量,并记

（2.17b）

当时，有

（2.18）

比如，若体系初始被制备在态，找到它在态的概率以频率振荡。

这些振荡称作Rabi振荡，为Rabi频率。

§2.3，双态体系实验制备简介

目前正在实验尝试采用各种可能的途径来实现可控量子位和量子存储器。

以便尽早制造出包含10-20个量子位左右的量子计算机。

目前文献中出现的方案主要归纳为以下5类：

NMR方案；腔QED；离子阱（iontrap）；量子点（quantumdot）；各种固体方法，比如硅基NMR，超导Josephson结等等。

1，NMR方案

核磁共振（NMR）方法是较早出现的量子计算实验方案。

利用液体NMR技术进行量子计算时，量子位通常是由自旋原子核（如等）的自旋态来承担。

以弱静磁场来定义态和态。

与此同时，利用自旋在外磁场下会作进动运动的规律，以射频交变磁场作为调控自旋状态的手段。

射频场的频率、强度、持续时间、方向等均可以人为操控（详见§10.1）。

由于单个分子中原子核自旋信号十分微弱，实验上利用含有大量分子的溶液。

所以液体NMR量子计算又称为集体自旋共振量子计算。

室温下液体NMR样品中分子处于热平衡状态，并且可以认为它们彼此独立，组成近独立的平衡态量子统计系综。

所以单个分子的密度矩阵对系综平均之后，就可以代表整个样品的时间演化。

但经此平均之后，体系的状态已是混态（详见§6.2。

这时密度矩阵的对角元表示粒子的布居数，服从Boltzmann分布，代表相干性的非对角项经统计平均趋于零）。

相应的热平衡态的密度矩阵为

（2.19）

室温下，可近似写成（设单位液体中含有个核自旋）

（2.20）

由于中自旋-自旋耦合项和进动频率项相比十分小，所以这个热平衡态密度矩阵基本上是对角的，就是说是个高度的混合态。

因此，事实上系综每个成员的真实物理态是什么，这是一个有争议的问题：

这种热平衡态适宜于作为NMR量子计算的初态吗？

针对液体NMR方案的实际情况，提出了“赝纯态（pseudo-purestate）”或“有效纯态”概念。

对于每个分子中含有个核自旋的情况，密度矩阵记为，

（2.21）

这里是任意幺正算符。

由于单位矩阵在NMR任何操作中没有可观测效应，可予略去。

于是，称作偏移密度矩阵的第二部分和纯态只相差一个极化因子。

由此可知，除了信号强度差别外，等效纯态和纯态具有相同的演化规律。

就是说，这种特定状态在完成量子计算任务过程中，可以起到相应纯态的作用。

NMR的量子计算就是对进行的。

设对应完成某个算法的量子变换为，这一般是个幺正保迹的变换，它对纯态的操作为。

如果计算完成后对体系测量。

假定为的某种变换，则按设定，在和之间有如下关系

（2.22）

这里为比例系数。

在NMR的实际实验中，采用时间平均、空间平均、逻辑标记等办法，通过对热平衡态进行适当的处理，使体系初态处于这类特定的状态（指特定的，比如。

于是对角矩阵的对角线上除一个元素外全都相同）。

这样就能使人们相信，只要体系对它所处高温环境的耦合足够弱，利用上述有效纯态方法，就可以在高温平衡态下研究零温度动力学问题。

NMR方法的优点是利用了大量分子热平衡态的统计性质，因此抗外界干扰性强，退相干时间长，而且试验在室温下进行。

这些优点使量子算法的最新试验进展几乎都集中在这方面，最近已实现了7个量子位的计算机，并实现了最简单的Deutsch算法及Grover搜寻算法等的实验演示。

方法的缺点是不能实现较多量子位，随着量子位的增多，合适分子选择、量子位寻址、信号读出都将发生困难。

NMR方案操作的具体叙述，以CNOT门为例，详细见§10.1。

在[12]中§6.1对其研究现状和展望有一个详细的评估和预计。

NMR包括早先的液体和近来的固体两个很不相同的方向。

2，腔QED

腔QED主要涉及两能级原子和量子电磁场的相互作用。

原子能级的跃迁拌随着光场光量子的发射和吸收。

在此电磁作用过程中，不仅有能量守恒（在不确定关系成立的范围内）、总角动量守恒、宇称守恒；而且由于涉及的能量是非相对论性的，原子中电子数目也守恒。

后者是说，相互作用Hamiltonian中的每一项中电子态的产生湮灭算符均须配对相乘出现（只有量子光场的光子算符不如此）。

腔QED的主要理论模型是前面已详细研究过的Jaynes-Cummings模型。

在[12]中的§6.3对中性原子，包括：

腔QED、单原子阱、磁光阱、光学晶格等的现状和展望有一个详细的评价和预计。

而在§6.4又专门对腔QED方案的现状和展望有一个详细的评价和预计。

3，光学方法

上一章的§1.2节已经详细描述了光学方法及其器件。

这里仅向对此方法有兴趣的人推荐文献[13]。

那是一个利用线性光学器件实现CNOT门的实验工作。

此处不再作详细介绍。

应当说，虽然也有用光学方法演示少量子位的量子算法工作，但方法用途显然并不在于量子计算，而在于量子信息传递。

另外，在[12]中的§6.5对这一方法的现状和展望有一个详细的评价和预计。

4，离子阱

这是一类人工微结构。

在各种类型量子计算方案中，离子阱

方法是现在正在研究的重要候选者之一。

在[12]中的§6.2对这一方法的现状和展望有一个详细的评价和预计。

这是用原子作为qubit的实验实现方案（通过能量等各种限制办法，量子计算过程将只涉及内态中的两个态）。

然后，通过原子与光场相互作用将量子态写入（存入原子的内态）和读出（从内态取出转为光子——飞行