课题图形的滚动.docx

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课题图形的滚动

课题:

图形的滚动

执教：

射阳二中胡仁界

教学目标:

经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。

教学过程：

一.导入

二.探究活动一:

圆的滚动

1.课前小实验:

两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。

滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?

2.探讨:

车轮的滚动

在平地上,自行车车轮（设半径为R）滚动一周,前进了多少路程?

由此你发现了什么规律？

[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?

（π取3.14,精确到1圈.）

3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?

4.拓展:

（1）有两个大小不等的圆,定圆⊙O的半径为6cm,动圆⊙P的半径为2cm,若⊙P紧贴⊙O外侧滚动一周,则⊙P自转了多少圈?

（2）若

（1）中的⊙P紧贴⊙O内侧滚动一周,则⊙P自转了多少圈?

方法小结:

如何计算滚动的圆自转的圈数?

5.中考链接:

[例1]将半径为2cm的圆形纸板,沿着边长分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?

变化:

如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?

[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

三.探究活动二：

多边形的滚动

[例3]如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？

点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？

[例4]如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA围绕着点O旋转了多少度?

A

四.课堂小结

五.作业.

《滚动的图形》探究练习

班级_____学号______姓名________

1.如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（     ）圈.

2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束走过的路径长度是____________。

3.如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐.x2006=__________．

4.如图2，将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．

5．如图，矩形ABCD的长和宽分别为2和1，AB在直线m上。

依次以B、、为中心将矩形ABCD按顺时针旋转90°，这样点A按曲线移动，其中弧与边CD交于点P。

（1）、求A点运动的路径的长度；

（2）、求图中阴影部分的面积；

（3）、求A点的运动路径与直线m所围图形的面积。

“求硬币旋转圈数问题”的另一种方法

2004年《小学数学教师》第5期77页上有这样一个著名的经典问题：

这题的答案是2圈，对于文中的答案书上给出了两种解释。

对于这两种方法，虽然都说明了为什么会转2圈的道理，但都显得比较抽象、难懂。

而且用这两种方法去解答后面的题目都给人太复杂的感觉。

我认为还有更直观易懂的方法去解释它。

一、预备定理：

“一个圆滚动前进，这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

”

二、证明：

“如右图，圆和这条直线相切于A点，这个圆从A点开始沿着直线滚动一周后再和这条直线相切于A点，这时圆心所经过路径长度为线段OO的长度，圆周所滚过的路径长度为线段AA的长度，这两个长度是一样的。

事实上因为“圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹”，滚动时圆上的点前进多少，圆心也会前进多少。

因此，不管圆怎样滚动，圆心所经过轨迹的长度一定会等于圆周所滚动过的长度。

利用以上的结论，对于开头的问题，我是这样去理解的：

甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的周围自我滚动，当乙把甲的圆周滚完后又回到起始点时，乙硬币的圆心所经过的轨迹就是一个以甲硬币的圆心为中心的圆，如右图，设这个大圆的半径为R，这个大圆的周长=乙硬币的圆心所经过轨迹的长度=2πR。

利用预备定理：

这个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度就等于这个圆所滚动过的路径的长度。

所以当硬币乙沿硬币甲的周围滚动一周后再回到起始点时，硬币乙一共滚动过的距离也等2πR，而硬币乙自己滚动一周的长度为为2πr（本圆的周长）。

这儿R=2r，所以2πR是2πr的2倍，2πR÷2πr=2，即硬币乙一共旋转了2圈。

用这个方法去考虑这类问题的优点在于：

只要看出这个滚动物体的圆心所经过的路径（轨迹），并求出这个路径（轨迹）的长度，再用这个长度去除以这个物体自身滚动一周所经过的长度，答案即为自己所旋转的圈数。

例1：

取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。

最上端那个硬币（圆A）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。

问硬币A自己一共转了几圈？

分析与解答：

设每个硬币直径为1，当圆A转至A位置（此时圆A与圆B和圆C都相切）时，圆A始终以圆B的圆心为圆心，1为半径旋转且旋转了60，这个轨迹的长度为2×π×1×=。

可以看出，圆A顺着6个硬币旋转一周，所滚过的路径长度为12×=4π，而硬币A自己转一圈经过路径的长度为2×π×0.5=π,因此硬币A一共转了4π÷π=4（圈）。

例2：

如右图所示，如果圆O周长为20π厘米，有两个同样大小的小圆A、B，其半径为2厘米，小圆A沿圆O的内壁滚动，小圆B沿圆O的外壁滚动，小圆B转动几圈后回到原来的位置？

小圆B转动几圈后回到原来的位置？

小圆A转动几圈后回到原来的位置？

分析与解答：

圆O的半径为20π÷π÷2=10厘米，当小圆B沿圆O的外壁滚动再回到原来位置时，小圆B的圆心所经过的轨迹为“以O为圆心，以（10+2）厘米为半径的圆。

”这个轨迹长度为2×12×π，而这个长度也等于小圆B的圆周滚过的长度，而小圆B自己转一圈的长度为2×2×π，（2×12×π）÷（2×2×π）=6圈。

小圆A沿圆O内壁滚动再回到原来位置时，小圆A的圆心的运动轨迹为“以O为圆心，以（10－2）厘米为半径的圆。

”所以小圆A的圆心共经过了2×8×π厘米，（2×8×π）÷（2×2×π）=4圈。

推广到更一般的情况：

当圆乙在圆甲的外圆周上作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲+R乙）÷（2πR乙）=（R甲+R乙）÷R乙，在圆甲的内圆周作无滑动的滚动一周时，圆乙自身旋转的圈数为2π（R甲-R乙）÷（2πR乙）=（R甲－R乙）÷R乙，（R甲＞R乙），用这种方法解题更直观简便且操作性强。

现在我们用新方法来解决一些近年来出现的数学竞赛题，最后所附其余题目可以自己思考。

1、一个小轮在一个大轮内不停地滚动，大轮的半径是小轮的直径。

小轮滚动一周回到原来位置时，小轮自己旋转了几圈？

（第9届全国华罗庚少儿数学邀请赛初赛题）

解答：

R=2r，（R-r）÷r=1圈。

2、如右图，在一边长为8.28厘米的正方形内有一个半径为1厘米的小圆，小圆紧贴正方形的内壁滚动一周，小圆自己要转几圈？

解答：

小圆紧贴正方形的内壁滚动一周后，圆心经过

的轨迹为一个边长6.28厘米（8.28－1－1）的正方形，

其长度为6.28×4=25.12厘米，这个长度也等于小圆

的圆周一共所滚过的长度。

小圆自己转一圈的长度为3.14×2=6.28厘米,

25.12÷6.28=4圈

拿两个5毛硬币，一个不动，另一个贴着第一个转，总共转1周，问第二个硬币转了几圈？

这个问题看似很无聊，自己拿硬币试试就知道了（当然我没有一次成功的转满一周，每次都打滑╮（╯▽╰）╭）。

实际上，我的第一反应是：

肯定不是1圈，2圈差不多，不过也太巧合了吧。

然而，生活总是玩弄我们，这种巧合确实存在，事实上答案确实是两圈。

然而，生活中的数学问题肯定是有依据的，我们试着从理论层面来分析这个问题。

一个圆绕着另一个圆旋转，这个问题有点复杂，我们不妨将问题化简一下：

一个圆在一条线上运动，它运动的距离是多少？

答案很显然，就是圆心所走的距离！

由此，我们容易知道，一个圆转动过程中，运动的路程等于圆心运动的路程。

有趣的事情发生在一条折线上。

当圆运动到线段的尽头时，它会转向，而此时底部的点是静止不动的。

至于怎么转向……我们知道，圆O与第一条线段相切，前进过程中圆始终保持这个状态，相当于以转折点为圆心、圆的半径为半径，做一条弧，运动到圆O’时，圆O’要与第二条线段相切。

由此，我们易知：

圆O在转折时，运动的距离就是弧O’O的长度（注意，此时圆下面那个点不动，只是“重心转移”）。

说到这里，原来滚硬币的问题应该就很容易解决了。

我们推广到一般情况，两个圆，圆A和圆B半径分别是r和R，两圆切与C点，圆B绕着圆A转一周。

则圆B运动的路程就是以A为圆心、（r+R）为半径的圆的周长，即2π（r+R）。

我们要计算圆B转的圈数，实际上就是除以圆B的周长。

所以圆B转的圈数就是：

2π（r+R）/2πR即（r+R）/R。

对于两个5毛硬币，r=R，所以转的圈数就是（1+1）/1=2圈。

其实我们还可以有更多的玩法，比如说把这个圆放到一个三角形外面。

圆的半径为r，三角形三边分别长aπr，bπr，cπr，圆运动的路程就如图中虚线所示。

我们可以把它拆成两部分，一部分是（a+b+c）πr，另一部分就是三个弧部分。

这三个弧又应该怎么算呢？

生活再次玩弄了我们，这三个弧的角度之和等于360°！

原因就是每个条弧所对的角都与三角形的一个角互补，于是乎三条弧度数之和就是（180°-∠A）+（180°-∠B）+（180°-∠C）=180°×3-180°=360°！

也就是一个圆，所以三条弧总长2πr。

所以圆转动的圈数就=（a+b+c+2）πr/2πr=（a+b+c+2）/2。

当然，你还可以把这个圆扔到抛物线上等等……

取两枚大小相同的硬币,将其中一枚固定在桌子上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈

请你动手试一试：

如图，取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？

（本文中的“滚动”均指“无滑动的滚动”）.

你想出来了吗？

是不是陷入了困境？

别急，下面我们一起来解决它.

引子1：

现在有这样一道题：

如图，一枚半径为r的硬币沿直线滚动，圆心经过的距离是多少时硬币滚动了一圈？

这个问题你会吗？

我相信很多同学都会！

因为同学们知道圆心经过的路径是与桌面平行的一条线段.硬币沿直线滚动一圈，圆心经过的路径长度等于硬币的周长.所以圆心经过的距离为时滚动了一圈.

引子2：

如图，把上题中的直线换成有点弧度的曲线，结果又会怎样呢？

硬币沿曲线滚动一圈，圆心经过的路径长度等于硬币的周长.

所以此时结果也是圆心经过的距离为时滚动了一圈.

引子3：

如图，把上题中的有点弧度的曲线换成弧度很大的曲线，结果又会怎样呢？

硬币沿曲线