届高三理科数学一轮复习教师用书第7章第3节 空间点直线平面之间的位置关系.docx

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届高三理科数学一轮复习教师用书第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

[考纲传真]　（教师用书独具）1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

[基础知识填充]

1．平面的基本性质

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形

语言

符号

语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形

语言

符号

语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形

语言

符号

语言

a，b是异面

直线

a⊂α

3.平行公理（公理4）和等角定理

平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4．异面直线所成的角

（1）定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．

（2）范围：

.

[知识拓展]

1．唯一性定理

（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（　　）

（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（　　）

（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（　　）

（4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2．（教材改编）如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（　　）

图731

A．30°　　　　　B．45°C．60°D．90°

C　[连接B1D1，D1C（图略），则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]

3．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

A　[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]

4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（　　）

A．相交或平行B．相交或异面

C．平行或异面D．相交、平行或异面

D　[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]

5．（2016·山东高考）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]

平面的基本性质及应用

　如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

图732

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

[证明]　

（1）如图，连接EF，CD1，A1B．

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，

得P∈平面ABCD．

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

[规律方法]　1.证明线共面或点共面的常用方法

（1）直接法：

证明直线平行或相交，从而证明线共面.

（2）纳入平面法：

先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

（3）辅助平面法：

先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.

2.证明点共线问题的常用方法

（1）基本性质法：

一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.

（2）纳入直线法：

选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

3.证明三线共点问题常用的方法：

先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.

[跟踪训练]　如图733，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

图733

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）设EG与FH交于点P，求证：

P，A，C三点共线．

[证明]　

（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD．

在△BCD中，

＝

＝

，

所以GH∥BD，

所以EF∥GH.

所以E，F，G，H四点共面．

（2）因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．

所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

所以P∈AC，

所以P，A，C三点共线．]

空间两直线的位置关系

（1）（2018·东北三省三校二联）α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点．若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（　　）

A．垂直B．相交

C．异面D．平行

（2）（2017·河北邯郸调研）如图734，在三棱锥SABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是（　　）

图734

A．相交

B．平行

C．异面

D．以上都有可能

（1）D　

（2）B　[

（1）由于A∈m，A∈α，m⊄α，则有m与α相交，而n⊂α，那么m，n的位置关系只可能是相交（包括垂直）或异面，不可能平行，故选D．

（2）连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN（图略）．由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝

SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝

SN，

∴在△SMN中，

＝

，∴G1G2∥MN，

易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，

因此可得G1C2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行．故选B．]

[规律方法]　

[跟踪训练]　如图735，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

图735

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论的序号为________．

③④　[直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．]

异面直线所成的角

（1）（2017·全国卷Ⅱ）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

（2）（2018·南京、钦州第二次适应性考试）已知底面是边长为2的正方形的四棱锥PABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

（1）C　

（2）A　[

（1）法一：

将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图①所示，连接AD1，B1D1，BD．

图①

由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，

所以AD1＝BC1＝

，AB1＝

，∠DAB＝60°.

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝

，所以B1D1＝

.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cosθ＝

＝

＝

.

故选C．

法二：

以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图②所示．

图②

由已知条件知B1（0,0,0），B（0,0,1），C1（1,0,0），A（－1，

，1），则

＝（1,0，－1），

（1，－

，－1）．

所以cos〈

，

〉＝

＝

＝

.

所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为

.

故选C．

（2）因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC，则异面直线AD和CE所成角为BC和CE所成角，即∠BCE.在△PBC中，PB＝PC＝4，BC＝2，所以由余弦定理得cos∠PBC＝

＝

，则在△BCE中，CE2＝BE2＋BC2－2BE·BCcos∠PBC＝4＋4－8cos∠PBC＝6，故cos∠BCE＝

＝

＝

，故选A．]

[规律方法]　求异面直线所成角的2种方法

1.平移法

（1）作：

通过作平行线得到相交直线.

（2）证：

证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）.

（3）求：

解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

2.向量法：

利用向量的内积求所成角的余弦值.

[跟踪训练]　如图736，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为_________________．

图736

60°　[取AC的中点D，连接DE、DF（图略），

则DE∥PC，DF∥AB，∠EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，

利用余弦定理可求得∠EDF＝120°，

所以异面直线AB与PC所成的角为60°.]