人教版七年级上册第16讲角的证明与相关计算.docx

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人教版七年级上册第16讲角的证明与相关计算

第16讲角

知识导航

1．角的有关概念及表示法；

2．角的比较与运算；

3．余角与补角

【板块一】角的有关概念及表示法

方法技巧

1．角的定义有静态和动态定义两种．

2．角的顶点处有多个角时一般采用三个字母表示或数字表示法或希腊字母表示法．

3．度，分，秒的换算是60进制，高级向低级转化，每级变化乘60，低级向高级单位转化每级除以60．

4．钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针速度为每分钟6°．

题型一角的定义及其表示法

【例1】下列说法中，正确的是（）

A．两条射线组成的图形叫做角

B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转面形成的图形

D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形

【例2】如图，下列关于角的说法中，错误的是（）

A．∠1与∠AOB表示同一个角

B．∠AOC也可以用∠O来表示

C．∠β表示的是∠BOC

D．图中共有三个角：

∠AOB，∠AOC，∠BOC

题型二角的计数问题

【例3】如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有多少个角?

画2条射线，图中共有多少个角?

画3条射线，图中共有多少个角?

画n条射线，图中共有多少个角?

题型三角的单位及其换算

【例4】度,分，秒的计算

①56°18′＋72°48′＝； ②131°28′－51°32′15″＝;

③12°30′20″2＝;④12°31′21″3＝

题型四钟面上角的特征

【例5】钟表上在2时和3时之间（包括2时,3时）分针和时针有多少次夹角为90°的机会?

求出此时对应的时间.

针对练习1

1.如图所示，下列说法情误的是（ ）

A.∠DAO就是∠DAC  B.∠COB就是∠O   C.∠2就是∠OBC  D.∠CDB就是∠1

第1题图第3题图第6题图

2.下列语句正确的是（ ）

A.一条直线可以看成一个平角  B.周角是一条射线     

C.角是由条射线旋转而成的  D.角是由公共端点的两条射线组成的图形

3.如图，以O为顶点且小于180”的角有（  ）

A.7个  B.8个C.9个  D.10个

4.下列式子中错误的是（   ）   

A.38.78°＝38°46′48″  B.50°42′＝ 50.7°

C.98°45′＋2°35′＝101°20′  D.108°18′－57°23′＝51°55′

5.钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（  ）

A.65°  B.75° C.85° D.90°

6.如图，∠1还可以用什么方法表示?

若∠1＝62°9′36″，那么62°9′35″等于多少度?

7.计算:

（1）48°39′＋67°31′－21°17′；

（2）23°53′3－107°43′5.

8.钟面角是指时钟的时针与分针所成的角。

如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圈我们称之为钟面圆.为便于研究，我们规定钟面圈的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB;本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°，本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间.

（1）时针每分钟转动的角度为  ,分针每分钟转动的角度为  ；

（2）8点整，钟面角∠AOB＝  ，钟面角与此相等的整点还有：

  点；（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点12分时半径OA,OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数.

9.某人下午6点到7点之间外出购物.出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了多少分钟?

【板块二】角的比较与运算

方法技巧

1.角的大小比较法有:

叠合法.度量法,推理法.

2.一副三角板能画出小于平角的角有15°，30°，45°，60°,75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°；

3.角的n等分线，利用角的等量关系结合角的和差进行计算.

题型一角的大小比较

【例6】如图，射线OC,OD是∠AOB内两条射线.

（1）比较大小:

∠AOB∠AOC;

（2）若∠AOC＝∠BOD.求证:

∠BOC－∠AOD;

题型二  角的和差

【例7】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：

∠AOD＝5：

17.求∠AOB 与∠COD的度数.

【例8】如图，是一副特制的三角板,用它们可以看出一些特殊角.在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°， 153°，171°的角中,能画出的角有多少个?

题型三n等分线

【例9】如图,OE为∠AOD的平分线，∠COD＝

∠EOC,∠COD＝20°,求:

①∠EOC的大小；②∠AOD的大小.

题型四证明角平分线

【例10】如图，点O为直线AB上的一点，∠AOC＝50°.OD平分∠AOC,∠DOE＝90°.

（1）求∠BOD的度数;

（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC.

针对练习2

1.用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（C） 

A.135°B.75°C.55°  D.15°

2如图，是一副特制的三角板用它们可以画出一些特殊角.在下列选项中，不能画出的角度是（B ）

A.18°B.55°C.63°D.117°

3.已知∠A0B＝80°,OE,OC分别平分∠AOD与∠BOD,∠COD＝15°,求∠DOE的度数.

4.

（1）如图1，射线OC,OD在∠AOB的内部，射线OM,ON分别平分∠AOD,∠BOC,且∠BON＝50°,∠AOM＝40°.∠COD＝30°,求∠AOB的度数;

（2）如图2.射线OC,OD在∠AOB的内部，射线OM,ON分别平分∠AOD,∠BOC, 且∠AOB＝150°，∠COD＝30°,求∠MON的度数.

5.己知∠AOB＝160°.∠COE＝80°,OF平分∠AOE.

（1）如图1.若∠COF＝14°.求∠BOE的度数，

（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，探究∠BOE与∠COF的数量关系，并说明理由，

（3）在

（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD.使得∠BOD＝90°.且∠DOF＝3∠DOE?

若存在，请求出∠COF的度数:

若不存在请说明理由.

【板块三】余角与补角

方法技巧

1．余角与补角是指数量关系，不是指位置关系；

2．求一个角的余角或补角，应从数量关系入手，若该角不是特殊角，需设未知数，计算角再找余角或补角；

3．善于利用余角或补角的性质得出相等的角；

4．理解方位角时注意观察点及观察方位

题型一余角与补角的定义

【例11】如果一个角的补角比它的余角度数的3倍少10°，求这个角的度数.

题型二利用余角或补角的性质得角相等

【例12】一条直线AB上有一点O，∠AOM＝90°，另有直角∠COD在平角∠AOB内左右摆动（OC与OA，OD与OB不重合），在摆动时，除直角外，保持相等的角有几对？

题型三求几何图形中互余或互补角的个数

【例13】∠α和∠β互补，∠α＞∠β，则下列式子中可以表示∠β余角的有:

①90°－∠β；②∠α－90°；③

（∠α＋∠β）；④

（∠α－∠β）.

【例14】如图，AB，CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°.

（1）求∠AOE的度数；

（2）请写出∠AOC在右图中的所有补角__________；

（3）射线OP从OB出发以20°／秒的速度逆时针旋转至OC，设运动时间为t（0≤t≤13）．求t为何值时，

∠COP＝∠AOE＋∠DOP.

题型四　方位角

【例15】如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知射线OB的方向是南偏东60°，射线OC在∠NOE内，且∠NOC与∠BOS互余，射线OA平分∠BON，图中与∠COA互余的角有哪几个?

针对练习3

1．若一个角的余角是它的补角的

，则这个角的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°

D．90°

2．如图，AOB是一条直线，∠AOC＝60°，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC

的平分线，则图中互补的角有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

3．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．

（1）求出∠AOB及其补角的度数；

（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．

4．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的角平分线．

（1）请写出∠EOF的所有余角：

　　　　　　　　　；

（2）请写出∠DOE的所有补角：

　　　　　　　　；

（3）若∠AOC＝

∠FOB，求∠COE的度数；

5.如图①，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.

（1）已知∠BOC＝20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度数；

（2）若

（1）中∠BOC＝α，其它条件不变，求∠MON的度数；

（3）如图②，若∠BOC＝α，且∠AOD大于平角，其它条件不变，求∠MON

【板块四】数学思想方法与角

方法技巧

1.运用整体思想求角，善于设未知数导角

2运用方程思想求角，注意设未知数的技巧；设小角表示大角；设关键角，表示其它角；

3.运用分类讨论思想求角，无图形的题目一定要考虑是否有多解的情形.

题型一用整体思想求角

【例16】如图，∠AOC＝100°，∠BOD＝40°，射线OM在∠AOB内部，射线ON在∠COD内部，∠AOB＝4∠AOM，∠COD＝4∠CON，求∠MON的度数

题型二运用方程思想求角

【例17】如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE.

（1）若∠AOD＝75°，求∠AOE的度数.

（2）若∠DOE＝54°，求∠EOC的度数.

题型三运用分类讨论思想求角

【例18】如图，已知∠AOB＝90°，以O为顶点，OB为一边画∠BOC，若∠BOC＝a（0°＜a＜90°），∠AOC与∠BOC的平分线分别为OM，ON，求∠MON的度数.

针对练习4

1．如图所示，∠AOB：

∠BOC：

∠COD＝4：

5：

3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．

2．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OE是∠BOC内靠近OB的三等分线，OF是∠AOC内靠近OA的三等分线，OM是∠AOB的平分线，∠COM比它的余角少30°.

（1）求∠COM的度数；

（2）求∠AOF－∠BOE的值.

3．在同一平面内，若∠AOB＝50°，∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，求∠DOC的度数．

图1备用图1备用图2备用图3

4．已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部且∠COD＝60°．

（1）如果作OE平分∠BOC，如图1，求证：

∠AOC＝2∠DOE；

（2）如果在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，如图2，求证：

图1图2

【板块五】角平分线专题

方法技巧

已知角平分线时，一定要考虑部分角与整体角之间的关系，当角的度数未知时往往设未知数，列方程求角，或导角（其它角用该未知数表示）．

题型一单角平分线与方程

【例19】如图，BD平分∠ABC，BE将∠ABC分成3:

5两部分，∠DBF＝15°，求∠ABC的度数．

题型二双角平分线（不交叉型）与整体思想求解

【例20】如图，∠AOB＝α，∠BOC＝β，射线OM是∠AOC的平分线，射线ON是∠BOC的平分线，求证：

∠MON＝

∠AOB

题型三双角平分线（交叉型）与整体思想，方程思想求解

【例21】如图，已知∠AOB＝120°，射线OA绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转到OP，设射线OA旋转到OP所用的时间为t秒（t＜30）．

（1）如图1，直接写出∠BOP＝（用含t的式子表示）；

（2）若OM平分∠AOP，ON平分∠BOP

2当OA旋转到如图1所示OP处，请完成作图并求∠MON的度数；

②当OA旋转到如图2所示OP处，若2∠BOM＝3∠BON，求t的值．

图1图2

针对练习5

1、如图∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB。

（1）若∠COD＝18°，求∠AOB的度数；

（2）请画出∠AOC的角平分线OE，试猜想∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由．

2.已知：

∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．

（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；

（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；

（3）在

（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：

∠DON＝2:

3，求t的值．

图1图2

3．如图，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD为钝角，且∠AOB：

∠COD＝2:

3，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD．

（1）如图1，若∠AOD＝150°，求∠AOB和∠CON的度数；

（2）如图2，当∠AOD的大小发生改变时，∠AOM和∠AON之间是否存在着固定的等量关系？

如果存在，求出它们之间的等量关系；如果不存在，请说明理由．

（3）在

（1）的条件下，与∠AOB重合的∠A1OB1（OA1，OB1的对应边分别是OA，OB）绕点O以每秒9°的速度顺时针旋转，与此同时与∠COD重合的∠C1OD1（OC1，OD1的对应边分别是OC，OD）绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，则∠A1OB1第一次在∠C1OD1内部时持续了秒．（直接写出结果即可）

图1图2

4.已知：

∠AOB，∠EOF，∠COD为共顶点三个角．

（1）如图1，∠AOB＝100°，∠EOF＝140°，若OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，求∠MON的大小；

（2）∠AOB＝100°，∠EOF＝140°，将∠EOF逆时针旋转，如图2，使得OF平分∠BOC，OE平分∠AOD（此时∠AOD大于180°），求∠COD的大小；

（3）当∠AOB，∠EOF，∠COD绕顶点O旋转到如图3所示位置时，刚好OD平分∠FOE，OC平分

∠AOB，问：

此时∠COD，∠AOF，∠BOE之间有何数量关系？

并证明．

图1图2图3

【板块六】角的旋转专题

方法技巧

1.角的旋转问题关注旋转方向（顺时针还是逆时针）；

2.旋转角超过180°时角的内部与外部发生变化；

3.解决角的旋转问题时往往用字母参数表示有关角．

题型一旋转时角的内部与外部没发生变化

【例22】如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE.

（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝；

（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系；

（3）在

（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？

若存在，求

的值，若不存在，请说明理由．

图1图2

题型二旋转时角的内部与外部发生变化

【例23】如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．问：

此时直线ON是否平分∠AOC？

请说明理由．

（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．

（3）将图1中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM—∠AOC的值．

图1图2图3

题型三旋转过程中分类讨论角的内部与外部变化的临界点

【例24】如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOD＝∠DOC＝60°，射线OP开始与OB重合，OP以每秒10°的速度顺时针绕点O旋转一周的过程中，试问旋转多少秒时，∠DOP－∠COP＝20°?

针对练习6

1．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，现将图中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．

（1）如图2，经过t秒后，线段OM恰好平分∠BOC，此时∠OOM＝75°；∠AON＝15°；t＝5秒；

（2）在

（1）的条件下，线段ON是否平分∠AOC?

请说明理由；

（3）如图3，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MON?

2．己知:

如图1，∠AOB和∠COD共顶点O，OB和OD重合，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠（COD0＝β

（1）如图2，若α＝90°，β＝30°，则∠MON＝；

（2）若将∠COD绕O逆时针旋转至图3的位置求∠MON的大小（用α，β表示）

（3）如图4，若a＝2β，∠（OD绕O逆时针旋转转速为3°/秒，∠AOB绕O同时逆时针旋转，转速为1°/秒（转到OC与OA共线时停止运动），且OE平分∠BOD请判断∠COE与∠AOD的数量关系并说明理由．

3．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/秒，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/秒，运动时间为t秒，（0＜t＜12本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有个直角；当t＝2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值

（3）当射线OM在∠COB内部，且

是定值时，求t的取值范图并求出这个定值．

4．如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如:

∠1＝120°，∠2＝30，|∠1－∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）

（1）如图1，O为直线AB上的一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，直接指出图中所有互为余角的角，所有互为垂角的角；

（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；

（3）如图2O为直线AB上一点，若∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC，OD同时运动运动时间为ts（0＜30）．试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角?