同济大学出版社-基础模块-下册-第八单元-直线和.ppt

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,数学基础模块（下册）,第八单元直线和圆的方程,两点间距离公式及中点公式,第一节,直线的倾斜角与斜率,第二节,直线的方程,第三节,两条直线的位置关系,第四节,第五节,第八单元直线和圆的方程,圆的方程,第五节,直线与圆的位置关系,第六节,直线的方程与圆的方程应用举例,第七节,第五节,引例,图8-1,两点间距离公式及中点公式,第一节,一、两点间的距离公式,在初中的数学知识中，我们学习了怎么求数轴上的两点间的距离.一般地，如果x轴上的两点A与B的坐标分别是x1，x2，那么A与B的距离为,即x轴上的两点的距离是这两点坐标差的绝对值.同样，y轴上的两点间的距离也是两点坐标差的绝对值.,下面我们来讨论已知平面直角坐标系中任意两点的坐标，如何计算这两点的距离.设A（x1,y1），B（x2,y2）是平面直角坐标系内的任意两点，从A，B两点出发分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，再过A作BB1的垂线，垂足为C，如图8-2所示.在直角三角形ABC中，根据勾股定理有,一、两点间的距离公式,图8-2,一、两点间的距离公式,一、两点间的距离公式,一、两点间的距离公式,一、两点间的距离公式,计算下列两点间的距离：

（1）A（1,4）,B（3,7）；

（2）A（1,1）,B（5,7）.,二、线段中点坐标公式,设A（x1,y2），B（x2,y2）是平面直角坐标系内的任意两点，点M（x0,y0）是线段AB的中点.过点A，B，M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A1，A2，B1，B2，M1，M2，如图83所示.,图83,二、线段中点坐标公式,二、线段中点坐标公式,所以AB的中点坐标为（-1,2）.,二、线段中点坐标公式,1.求连结下列两点的线段的中点坐标：

（1）A（-7,4）,B（3,8）；

（2）A（3,1）,B（2,5）.2.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（2,-2）,B（0,-1）,C（-2,5），求BC边上的中线AD的长度.,二、线段中点坐标公式,直线的倾斜角与斜率,第二节,直线l在直角坐标系中与两个坐标轴有不同的夹角，其中直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫作直线l的倾斜角，如图8-4所示的角.,图8-4,观察图8-4，我们可以得出直线l的倾斜角的取值范围.

（1）当直线l的倾斜角是一个锐角时，如图8-4（a）所示，090；

（2）当直线l的倾斜角是一个钝角时，如图8-4（b）所示，90180；（3）当直线l与x轴垂直时，如图8-4（c）所示，=90；（4）当直线l与x轴平行或重合时，如图8-4（d）所示，规定=0.,因此，对任意的直线l，它的倾斜角的取值范围是0180.直线l的倾斜角为（90），则的正切值叫作这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k=tan.当=90时，直线l的斜率不存在，当90时，直线l都有确定的斜率.,下面我们研究如何根据直线上的任意两个点的坐标来确定倾斜角和斜率的大小.如图8-5所示，设图中点A（x1,y1）,B（x2,y2）为直线l上的任意两点，我们可以得到：

图8-5,1.判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出斜率的值.

（1）直线的倾斜角为45；

（2）直线过点A（2,1）,B（3,5）；（3）点A（5,2）,B（5,4）在直线上.2.设点A（3,1）,B（5,3）在直线l上，求直线l的斜率和倾斜角.,直线的方程,第三节,一、直线的点斜式方程,已知直线l的斜率为k，并且经过点P0（x0,y0），如图8-6所示，求直线l的方程.,图8-6,一、直线的点斜式方程,一、直线的点斜式方程,一、直线的点斜式方程,一、直线的点斜式方程,写出符合条件的直线的点斜式方程.

（1）过点A（5，2），斜率为2；

（2）过点A（2，1）,B（0，3）.,一、直线的点斜式方程,二、直线的斜截式方程,二、直线的斜截式方程,想一想,二、直线的斜截式方程,二、直线的斜截式方程,下面我们考虑两种特殊情况，如图8-8所示.,图8-8,二、直线的斜截式方程,二、直线的斜截式方程,二、直线的斜截式方程,写出符合条件的直线的斜截式方程：

二、直线的斜截式方程,三、直线的两点式方程,三、直线的两点式方程,三、直线的两点式方程,三、直线的两点式方程,1.写出经过下列两点的直线方程.

（1）A（4，-1），B（2，2）；

（2）A（-1，5），B（3，0）.2.已知两点A（2，5）,B（-1，2），若点P（6，m）在直线AB上，求实数m的值.,三、直线的两点式方程,四、直线的一般式方程,四、直线的一般式方程,因此，二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）表示一条直线.方程Ax+By+C=0（其中A,B不全为零）（12-7）叫作直线的一般式方程.,四、直线的一般式方程,在本书中，如果不做特殊说明，作为结果，直线方程都要求写成一般式方程.,四、直线的一般式方程,1.根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：

（1）经过点P（3,5），斜率为2；

（2）倾斜角为120，在y轴上的截距为3.2.将下列直线的方程化为一般式方程：

四、直线的一般式方程,两条直线的位置关系,第四节,一、两条直线平行,平面内不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系.前面我们学习了两条相交直线的交点，下面我们将利用直线的斜截式方程来讨论两条直线平行的条件.如图8-10（a）所示，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线l1平行于l2，那么这两条直线与x轴相交的同位角相等，即两条直线的倾斜角相等，故两条直线的斜率相等；反之，两条直线l1,l2的斜率都存在且都不为0，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾斜角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两条直线平行.,一、两条直线平行,如图8-10（b）所示，两条直线l1,l2的斜率都为0，则这两条直线都与x轴平行，所以直线l1,l2平行.如图8-10（c）所示，两条直线l1,l2的斜率都不存在，则这两条直线都与y轴平行，所以直线l1,l2平行.,图8-10,一、两条直线平行,一、两条直线平行,一、两条直线平行,1.判断下列各组直线的位置关系：

（1）l1:

x+y=0，l2:

2x3y+1=0；

（2）l1:

2x5y+2=0，l2:

4x10y+1=0；（3）l1:

3xy+1/2=0，l2:

6x2y+1=0.2.已知直线l过点A（1,4），且与直线x3y+4=0平行，求直线l的方程.,一、两条直线平行,设两条直线的方程是：

l1:

A1x+B1y+C1=0，l2:

A2x+B2y+C2=0.如果这两条直线相交，由于交点同时在l1和l2上，交点坐标同时要满足两个方程，是这两个方程的唯一的公共解；反之，如果这两个直线方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,求下列两条直线的交点:

（1）l1:

2xy3=0与l2:

4x+5y+1=0；

（2）l1:

2x5y+3=0与l2:

x2y2=0.,二、两条直线相交,二、两条直线相交,图8-11,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,二、两条直线相交,1.判断下列各组直线是否垂直：

（1）2x5y+3=0与10x+4y5=0；

（2）y=x+2与3x3y1=0.2.已知直线l经过点A（3,4），且垂直于直线2x+y3=0，求直线l的方程.,二、两条直线相交,我们知道，在直角坐标系中，直线外一点和直线上的点连结所组成的线段中，垂线段最短，称为点到直线的距离，常用d表示.如图8-12所示，P0Q的长度为点P0到直线l的距离.,图8-12,三、点到直线的距离,三、点到直线的距离,设点P0（x0,y0）为直线Ax+By+C=0外一点，则点到直线的距离为,三、点到直线的距离,三、点到直线的距离,三、点到直线的距离,圆的方程,第五节,一、圆的标准方程,如图8-13所示，设圆心的坐标为C（a,b），圆的半径为r，点M（x,y）为圆上任意一点，则MC=r.,图8-13,一、圆的标准方程,一、圆的标准方程,一、圆的标准方程,一、圆的标准方程,一、圆的标准方程,1.写出下列各圆的圆心坐标和半径，并画出图形：

（1）x2+（y+2）2=9；

（2）（x+1）2+（y3）2=4.2.写出下列各圆的标准方程，并画出图形：

（1）圆心在原点，半径为2；

（2）圆心坐标为C（2,0），半径为5；（3）圆心坐标为C（1,4），半径为.,一、圆的标准方程,二、圆的一般方程,二、圆的一般方程,二、圆的一般方程,判断方程x2+y24x+6y+9=0是否为圆的方程，如果是则求出圆心的坐标和半径.解法1将方程配方，得（x2-4x+4）+（y2+6y+9）=4,即（x2）2+（y+3）2=22.所以方程是圆心为（2,3），半径为2的一个圆.,二、圆的一般方程,解法2与圆的一般方程比较可知，D=4,E=6,F=9,所以D2+E24F=16+3636=160，所以方程为圆的方程，且由,1写出下列各圆的圆心坐标和半径.

（1）x2+y23x=0；

（2）x2+y2+4x6y=0.2.求与圆x2+y22x+6y26=0的半径相同，圆心为点（-2，1）的圆的方程.3.求与圆x2+y28x6y11=0同心，且过点（2，-3）的圆的方程.,二、圆的一般方程,三、圆的方程的确定,观察圆的标准方程（xa）2+（yb）2=r2和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，我们可知这两个方程中分别含有三个字母系数a,b,r和D,E,F.因此，如果根据已知条件确定了任意一组中三个字母系数的值，就可以确定圆的方程.,根据下面给出的条件，求圆的方程：

（1）经过点A（1,4）,B（7,2），并且圆心在xy+1=0上；

（2）以点C（2,1）为圆心，并且经过点A（2,2）；（3）设点A（1,0）,B（2,1），以线段AB为直径.解

（1）设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2.因为点A（1,4）,B（7,2）在圆上，所以满足圆的方程；圆心C（a,b）在直线xy+1=0上，所以满足直线方程，因此得到一个关于a,b,r的方程组：

三、圆的方程的确定,解方程组得a=5,b=6,r2=20.故所求圆的方程为（x5）2+（y6）2=20.

（2）因为点C（2,1）为圆心，且经过点A（2,2），则点A,C的距离即为半径，所以根据两点之间的距离公式得半径为故所求的圆的方程为（x+2）2+（y1）2=25.,三、圆的方程的确定,三、圆的方程的确定,求过三点O（0,0）,A（1,1）,B（4,2）的圆的方程.解设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将已知的三个点的坐标代入方程，得解得D=8,E=6,F=0.故所求圆的方程为x2+y28x+6y=0.,三、圆的方程的确定,1.求过点A（0,1）,B（3,2）且半径为2的圆的方程.2.求经过直线x+3y+7=0和3x2y12=0的交点，并且圆心为C（1,1）的圆的方程.3.求过三点P（1,1）,A（2,0）,B（1,1）的圆的方程.,三、圆的方程的确定,直线与圆的位置关系,第六节,方法一设圆心到直线l的距离为d，半径为r，如图8-14所示.

（1）直线l与圆相离，当且仅当dr，如图8-14（a）所示；

（2）直线l与圆相切，当且仅当d=r，如图8-14（b）所示；（3）直线l与圆相交，当且仅当dr，如图8-14（c）所示.,图8-14,【例1】,第二节圆及其方程,第二节圆及其方程,想一想,1.判断下列直线与圆的位置关系.

（1）直线x=1，圆x22+y2=16；

（2）直线x2y4=0，圆x2+y2=1.2.求圆心为（-2，-4）且与y轴相切的圆的方程.,直线与圆的方程应用举例,第七节,解以AB中点M为原点，建立如图13-10所示的平面直角坐标系，由已知得A（4,0）,B（4,0）,N（0,2）设过A,B,N的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）