正多边形与圆.docx
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正多边形与圆
正多边形与圆
知识点1正多边形的相关概念
（1）正多边形：
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
（2）正多边形和圆：
把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（3）正多边形是对称图形。
当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（4）与正多边形有关的概念：
a正多边形的中心：
正多边形的外接圆的圆心；
b正多边形的半径：
正多边形的外接圆的半径；
c正多边形的中心角：
正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。
正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.
d正多边形的边心距：
正多边形的中心到正多边形一条边的距离。
例题1
圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）
A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化
例题2
正
五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
例题3
正n边形是对称图形，它的对称轴有条。
例题4
正n边形的每个内角是，每个中心角是。
知识点2正多边形的计算
1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。
2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。
3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径，它的长是正n边形的边心距。
注：
正多边形半径R和边长a、边心距r之间的数量关系式
.
提示：
解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决.
例题5
【例1】如图，两相交圆的公共弦AB为
，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
例题6
1、如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠C＝900，AD＝4，BD＝6，求图中阴影部分的面积。
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一、选择题
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）
A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）
A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3
3.同圆的内接正三角
形与内接正方形的边长的比是（）
A.
B.
C.
D.
4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（）
A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3
5
.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（）
A.
B.
C.
D.
6.已知正多边形的边心距与边长的比为
，则此正多边形为（）
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十二边形
二、填空题
7.若正n边形的一个外角是一个内角的
时，此时该正n边形有_________条对称轴.
8.正
五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
9.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
10.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
11.已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为__________cm.
12.正多边形的一个中
心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于____
_______度.
三、计算题
13.已知⊙O和⊙O上的一点A（如图24-3-1）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在
（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：
DE是⊙O内接正十二边形的一边.
图24-3-1
14.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB为2
，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图24-3-2
15.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
16.如图24-3-3，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半
径最小应为多少？
图24-3-3
17.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？
并请同学们画出这个图形（小组之间参与交流、评价）.
图24-3-4
18.如图24-3-6
（1）、24-3-6
（2）、24-3-6（3）、…、24-3-6（n），M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
（1）求图24-3-6
（1）中∠MON的度数；
（2）图24-3-6
（2）中∠MON的度数是_________，图24-3-6（3）中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.
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