长 方 体 和 正 方 体.docx
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长方体和正方体
长方体与正方体
基础知识
1、填空题。
(1)如图,长方体的棱长总和是(),上面面积是(),右面面积是()。
(2)如图,正方体的棱长总和是(),底面积是()。
(3)如图所示的物体是由()个小正方体拼搭成的,至少还需要()个同样的小正方体,才能拼搭成一个大正方体。
(4)有一个正方体,其中一面的面积是36平方厘米,它的棱长总和好是()。
(5)观察上图,在括号里填上一个字母,使等式成立:
。
(6)做一个长方体的鱼缸,用了下面几块长方形的玻璃。
鱼缸的底是()号玻璃,鱼缸深()分米。
2、判断题。
(1)长方体由六个长方形组成。
()
(2)一个长方体有四个面完全一样,那么另外两个面一点是正方形。
()
(3)一个正方体棱长10厘米,它的棱长总和是100厘米。
()
(4)正方体是一种特殊的长方体。
()
(5)一个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、7厘米的长方体可以从一个边长是8厘米的正方形洞中漏下去。
()
拓展知识
1、选择题。
(1)图()不能折成正方体。
(2)如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。
将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体,它的表面积()。
A、比原来大B、比原来小
C、不变D、无法确定
(3)至少需要()个小正方体才能拼成一个较大的正方体。
A、2B、4C、8D、9
(4)如图所示已画出一个长方体的长、宽、高(单位:
厘米),这个长方体左面的面积是()平方厘米。
A、12B、15C、20D、不能确定
(5)下图分别是从一个长方体的前面和右面看到的图形,那么这个长方体的底面积是()。
A、6B、12C、18D、不能确定
2、一种礼品盒,长30厘米,宽25厘米,高20厘米。
如果要用红丝线按下图所示方法把它捆扎起来,结头处丝线留出30厘米,至少需要多少米丝线?
培优知识
1、填空题。
(1)一个长32厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块最多可以切成()个棱长为4厘米的正方体。
(2)用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体,拼成一个表面积最小的大长方体,它的棱长总和是()。
(3)用48厘米长的铁丝焊接成一个最大的正方体,这个正方体的棱长是()厘米。
(4)小明自己动手烤了一块正方体大蛋糕,蛋糕的表面呈咖啡色,里面是淡黄色。
小明想慢慢享用自己的劳动成果,于是他将这块蛋糕切成了如图所示的125(5×5×5)块同样大小的小正方体蛋糕。
切完后他发现,有的小蛋糕有咖啡色的面,而有的没有咖啡色的面,那么一块小正方体蛋糕最多有()个面是咖啡色,没有咖啡色的面和只有两面是咖啡色的小正方体蛋糕的总数分别是()块和()块。
(5)用8个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体或一个正方体(全部用完)。
要使棱长总和最小,应拼成(),它的棱长总和是();要使棱长总和尽可能长,应拼成(),它的棱长总和是()。
2、选择题。
(1)如图,有一个无盖的正方体纸盒,下底标有字母“M”,沿图中粗线将其剪开展成平面图形,想一想,这个平面图形是()。
(2)一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时,把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形状,然后他把露出的表面都涂上不同的颜色,则被他涂上颜色部分的面积为()。
A、42平方分米B、33平方分米
C、24平方分米D、21平方分米
(3)如下图,一个正方体的六个面上分别涂有“赤、橙、黄、绿、青、蓝”六种颜色,其中赤色的对面是()。
A、橙色B、绿色C、黄色
长方体与正方体的表面积
基础知识
1、填空题。
(1)填表。
名称
长
宽
高
表面积
长方体
6厘米
2.5厘米
1厘米
3厘米
2厘米
1.5厘米
正方体
棱长4.2厘米
棱长6厘米
(2)如图所示,在台阶面上(阴影部分)铺上地毯,至少需要()平方米的地毯。
(3)一个长方体的长、宽、高分别是4分米、3分米、和5分米,这个长方体与桌面接触时,最大的接触面是()平方分米。
(4)一个正方体,它的棱长总和是60厘米,这时正方体的表面积是()平方厘米。
2、解决问题。
(1)做四个棱长5分米的正方体纸盒,至少要用多少平方分米的纸板?
(2)一个长方体食品盒,长10厘米,宽8厘米,高15厘米,围着它的四周贴一层商标,这张商标纸有多少平方厘米?
(3)为一座新楼做200节长2米、宽20厘米、高10厘米的雨水管道,需用铁皮多少平方米?
拓展知识
1、填空题。
(1)将一个棱长是4分米的正方体截成4个同样大小的长方体后,表面积至少增加()平方分米。
(2)先把体积是1立方分米的正方体木块,平均切成棱长是1分米的小正方体木块,再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体,这个长方体的长是()米。
(3)有棱长都是1厘米的24个小正方体,用它们拼成一个长方体,共有()中不同的拼法,拼成的长方体表面积最小是()平方厘米。
(4)一个表面积是70平方厘米的长方体木块,正好可以切成三个小正方体,每个小正方体的表面积是()平方厘米。
(5)两个完全相同的长方体恰好拼成一个正方体,正方体的表面积是30平方厘米。
如果把这两个长方体拼成一个大长方体,那么大长方体的表面积是()平方厘米。
(6)右图形体是由棱长为1厘米的小正方体拼搭成的,它的表面积是()平方厘米;至少还需要()个这样的小正方体,才能拼搭成一个正方体。
2、解决问题。
(1)有一个铁皮烟囱,底面是正方形,周长为2米,高为15米。
现需将烟囱加高到25米,至少再需要铁皮多少平方米?
(2)一间教室长8米,宽5米,高3米,如果用涂料粉刷教室的四壁和顶部,除去门窗面积16平方米,共需粉刷多大的面积?
(3)把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体,使这两个长方体的表面积的和最大,这时表面积之和是多少平方厘米?
培优知识
1、解决问题。
(1)一个长方体木块,如果长减少2厘米,就成为正方体木块,这时正方体木块的表面积是96平方厘米。
原来这个长方体木块的体积是多少?
(2)从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后,剩下的还是一个长方体,这时长方体的表面积是64平方厘米。
原来长方体最长的一条棱是多少厘米?
(3)一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。
求原长方体的表面积。
(4)从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?
2、操作题。
(1)①下面()图中的五个小方格纸折起来,可以成为一个无盖的纸盒。
②如该纸盒有盖,则还有一个面可以画在哪里?
(请在图上画出)
(2)先观察下图,找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律,然后把表格填完整。
小正方体的个数
1
2
3
4
.....
()
.....
露在外面的面数
5
9
13
()
......
33
......
()
长方体与正方体的体积
基础知识
1、填空题。
(1)少年宫有一排长方体的储物柜,共占地0.86平方米,储物柜高0.9米,这排柜子占去空间()。
(2)一个正方体的棱长总和是84厘米,它的表面积是(),体积是()。
(3)一个长方体,相交于一个顶点的三条棱长度分别是4厘米、3厘米和2厘米,这个正方体的棱长总和是()厘米,表面积是()平方厘米。
(4)单位换算。
①5000立方厘米=()立方分米=()立方米
②1.25立方米=()立方米()立方分米
③1升=()立方分米=()毫升
④3.75立方分米=()立方分米()立方厘米
(5)一个长方体的木盒长8厘米,宽5厘米,高4厘米,这个长方体木盒的表面积是(),容积是()。
(6)王老师有一罐茶叶,茶叶罐的高是12厘米,底面是边长为8厘米的正方形,在茶叶罐四周贴了一圈商标纸,商标纸的面积是()平方厘米,茶叶罐的体积是()立方厘米。
(7)一个长方体长是6分米,宽和高都是5分米,它的表面积是()平方分米,体积是()立方分米。
2、解决问题。
(1)学校操场上挖了一个长5米、宽2.5米、深0.6米的沙坑。
①这个沙坑的占地面积是多少平方米?
②用7立方米黄沙能不能把这个沙坑填满?
(2)一个长方体玻璃鱼缸,长0.9米,宽0.6米,高0.4米。
做这个鱼缸至少要用多少平方米玻璃?
这个鱼缸的容积是多少?
拓展知识
1、选择题。
(1)你自己的一只拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中,溢出来的水的体积大约是()。
A、小于1毫升,大于1升
B、大于1立方米,小于1升
C、大于1毫升,小于1升
(2)
表示()。
A、3
B、
×
×
C、
+
+
D.
×3
(3)已知一个正方体的棱长总和是6米,则这个正方体的体积是()。
A、0.125立方米B、216立方米
C、1立方米D、1.5立方米
(4)右图至少还需()个小方块才能填成一个正方体。
A、8B、7C、6D、5
(5)一粒纽扣电池能使600()水污染,相当于一个人一生的饮水量。
A、升B、毫升C、立方米
(6)一个正方体,棱长扩大3倍,体积扩大()。
A、3倍B、9倍C、27倍D、不变
2、判断题。
(1)雪碧瓶的标签上有“净含量:
1.25升”的字样,这个“1.25升”是指整个瓶子的容积。
()
(2)把一个铁块放入盛满水的容器中,溢出的水的体积就是铁块的体积。
()
(3)一个物体的体积是1立方米,它的占地面积就是1平方米。
()
(4)用体积为1立方厘米的小正方体木块1000个,拼成一个最大的正方体,拼成后的正方体体积是1000立方厘米。
()
(5)用4个同样大的正方体摆成一个长方体,如果正方体的表面积是12平方厘米,那么所摆成的长方体的表面积是36平方厘米。
()
3、解决问题。
(1)一节车厢,从里面量长10米,宽20分米,高2米。
如果储满煤,每立方米煤重1.4吨,这节车厢能装多少吨煤?
(2)下图是一块长方形铁皮。
剪掉四个脚上阴影部分的正方形(每个正方形都相等)后,沿虚线折起来,做成没有盖子的铁盒。
求这个盒子的容积。
(单位:
厘米)
(3)将2升水倒入下图两个长方体水槽中,使它们水面的高度相等,这个高度是多少厘米?
(单位:
厘米)
培优知识
1、填空题。
(1)一个正方体的体积是64立方厘米,若把它平均分成两个长方体,则每个长方体的表面积是()平方厘米。
(2)棱长1米的正方体可以分成棱长1分米的小正方体()个,若把分成的所有小正方体紧紧地排成一行,一共能排()米。
(3)把一个长方体的一端截下一个体积为800立方厘米的长方体后,正好剩下一个棱长为10厘米的正方体。
原来长方体的体积是()立方厘米,表面积是()平方厘米。
2、解决问题。
(1)学校盖一间教室,内长9米,宽6米,为了打墙基,需要挖宽0.5米、深0.5米的沟。
一共要挖土多少立方米?
(2)将长是45厘米的长方体截成三段,这样表面积就增加160平方厘米。
这个长方体原来的体积是多少?
(3)如图,甲、乙两个容器装有同样深的水,将一块铁放入甲容器,水面上升2厘米。
如果将同样的铁块放入乙容器,水面将上升多少厘米?
(单位:
厘米)
(4)一个长方体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了120平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米?
表面积与体积的应用
基础知识
1、选择题。
(1)一桶汽油约(),一瓶眼药水约(),一个仓库的容积约(),一本数学书的体积约()。
A、200毫升B、150升
C、400立方米D、200立方厘米
(2)用两个棱长是
厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是()平方厘米。
A、
B、
C、
(3)一间教室长8米,宽6米,高4米,这间教室有32个学生,平均每人占有的空间是()。
A、48平方米B、1.5平方米
C、6立方米D、192立方米
(4)你认为下图的这种纸质饮料包装盒装()饮料比较合适。
A、750毫升B、1000毫升C、1026毫升
(5)用8个1立方厘米的小方块拼成一个大正方体,如果拿去了一块(如上图),它的表面积与没有拿以前的表面积相比()。
A、大了B、小了C、不变
(6)一个汽油桶可装50升汽油,它的()是50升。
A、体积B、容积C、表面积
(7)长方体和正方体的底面积相等,长方体的高是正方体的2倍,正方体的体积是长方体的()。
A、2倍B、4倍C、
D、8倍
(8)一个长方体的长、宽、高分别是
米、
米、
米,若高增加3米,则新长方体的体积比原来增加了()立方米。
A、3B、
C、
D、
2、解决问题。
(1)在一个长40厘米、宽20厘米、宽30厘米的长方体水箱里注有15厘米深的水。
现把一块棱长10厘米的正方体石块浸没水中,水箱中现在水的高度是多少厘米?
(2)在炎热夏天到来之前,王叔叔准备捐资建一座标准化的游泳池,这个游泳池的长是50米,宽是长的一半,深1.8米。
①这个游泳池的占地面积是多少平方米?
②挖成这个游泳池共需挖土多少立方米?
③在游泳池的侧面和底面抹一层水泥,抹水泥的面积是多少平方米?
拓展知识
1、填空题。
(1)如图所示,领奖台是由4个棱长为5分米的正方体拼合而成的。
①如果要把领奖台的表面涂漆(底面不涂),那么需要涂漆的面积是()平方分米。
②这个领奖台的体积是()立方分米。
(2)把一根长8厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体,表面积增加()平方厘米,每个正方体的体积是()立方厘米。
(3)把一根长4吗的方木按垂直于长锯成5段,表面积增加了160平方厘米。
原来这根方木的体积是()立方厘米。
(4)把一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体截成两个长方体后,这两个长方体的表面积之和最小是()。
(5)把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体的8个顶点处,分别截下一个棱长为1厘米的小正方体后,剩下物体的表面积是()平方厘米,体积是()立方厘米。
2、解决问题。
(1)一个密封的长方体玻璃箱,里面装水,从里面量长30厘米,宽10厘米,高15厘米,水深5厘米。
如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上,那么水深多少厘米?
(2)下图是分别用棱长是1厘米的小正方体木块摆成的几何体,分别求它们的表面积和体积。
(3)一个正方体鱼缸,棱长6分米,如果把满缸水倒入另一个长8分、宽4.5分米的长方体鱼缸内,水面的高度是多少?
(4)一根长方体木料,长4.5米,它有一组相对的面是正方形,其余4个面的面积是7.2平方米。
这根木料的体积是多少立方米?
培优知识
1、将长5分米、宽3分米的长方形硬纸(如图),做成3个棱长1分米的无盖正方体纸盒,该如何剪折(图中正方形的边长表示1分米,请在图上画出剪裁的方法)?
每个纸盒的容积是多少立方分米?
2、一个正方体的A点有一只蚊子,B点有一只壁虎,如图。
画出壁虎捕捉蚊子的最短路线。
3、有一个长方体的盒子,从里面量长40厘米,宽12厘米,高7厘米。
在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,最多能放多少个木块?
4、一个长方体木块,长5分米,宽3分米,高4分米,在它六个面上都漆上油漆,然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
锯成的木块中几块三面有油漆?
两个面、一个面有油漆的各是多少块?
没有油漆的是多少块?
5、用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮(如下图),做一个高为5厘米的无盖盒子。
(1)画一画,该如何下料?
在图上画出来。
(2)算一算,这个盒子的容积有多少升?
6、一块长方体的钢材重71.1千克,横截面为边长6厘米的正方形,已知每立方分米的钢重7.9千克。
这根钢材长多少米?
7、下面是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体。
如果把它沿虚线切成8个小正方体,这些小正方体中,没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米?
8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面,尽可能大地切下一个正方体,然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体,最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体,剩余的体积是多少立方厘米?
长方体和正方体
(一)
我们已经学习了长方体和正方体的有关知识,如长方体和正方体的特征,长方体和正方体表面积、体积的计算。
在数学竞赛中,有许多问题涉及长方体和正方体的知识,这些问题既有趣,又具有一定的思考性。
解答这些问题,不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、做图能力和空间想象能力,还要能掌握一些解题的思路和技巧。
通过本讲的学习,同学们将从解题的过程中得到一些启示,悟出一些道理,从而提高空间想象能力和分析推理能力。
例1在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中,有10分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块,那么,水箱中水深多少分米?
【思路一】:
正方体铁块放入水中后,水面上升,上升部分的水的体积与铁块的体积相等。
因此,只要求出上升部分水的高度,就可以求出现在水的深度。
【思路二】:
用水箱中水和铁块的体积之和,除以水箱的底面积,就可以求出现在水的深度。
【解法一】30厘米=3分米
3×3×3÷(15×12)+10
=0.15+10
=10.15(分米)
【解法二】(15×12×10+3×3×3)÷(15×12)
=1827÷180
=10.15(分米)答:
水箱中水深10.15分米。
例2一个长方体容器内装满水,现在有大、中、小三个铁球。
第一次把小球沉入水中;第二次把小球取出,把中球沉入水中;第三次把中球取出,把小球和大球一起沉入水中。
已知每次从容器中溢出的水量的情况是:
第二次是第一次的3倍,第三次是第一次的2.5倍。
问:
大球的体积是小球的多少倍?
【分析与解】
(1)当长方体容器装满水时,沉入一个球,就要溢出一定的水,溢出的水的体积和球的体积相等。
(2)当球在容器中的时候,容器是满的,球取出之后,容器中空出的体积与取出球的体积相等。
(3)当容器中的水不满时,沉入一个球,如果溢出一定量的水,那么,球的体积相当于溢出的水的体积加上原来长方体容器中空出的体积。
我们假设小球的体积为1,根据球放入容器后水溢出的情况,球溢出相应的大球和中球的体积。
设小球的体积为1,则第一次溢出的水的体积也为1。
根据第二次溢出的水是第一次的3倍,可知第二次溢出的水是1×3=3。
因为取出小球后容器中空出的体积为1,所以,中球的体积是3+1=4。
根据第三次溢出的水是第一次的2.5倍,可知第三次溢出的水为1×2.5。
因为取出中球后容器中空出的体积是4,所以,大球与小球体积的和是4+2.5=6.5。
从而可以求出大球的体积为6.5-1=5.5,以及大球的体积是小球的倍数。
【解】(1×3+1+1×2.5-1)÷1=5.5
答:
大球的体积是小球的5.5倍。
例3一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形,容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。
这时容器里的水深0.5米。
如果把铁块取出,容器里水深多少厘米?
【分析与解】要求容器中水深多少厘米,可以用水的体积除以容器的底面积;也可以用原来的水深减去铁块取出后水面下降的高度。
【解法一】0.5米=50厘米
(60×60-15×15)×50=168750(立方厘米)
168750÷(60×60)=46.875(厘米)
【解法二】50-15×15×50÷(60×60)
=50-3.125
=46.875(厘米)答:
容器里水深46.875厘米。
例4有一个正方体,棱长是6厘米。
如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体(如左图),那么,这些小正方体表面积的和是多少?
【思路一】:
用每块小正方体的表面积乘以块数,得到所有小正方体表
面积的和。
【思路二】:
将原来正方体切开后,原来的六个面仍是所求表面积的一部分,而每切一刀,就增加2个正方形的剖面,现在一共切了6刀,表面积就比原来增加了2×6=12(个)正方形面的面积。
用原来正方体的表面积加上增加的面积,就得到所有小正方体表面积的和。
【解法一】(6×6×6)÷(2×2×2)=27(块)
2×2×6×27=648(平方厘米)
【解法二】6×6×(6+2×6)
=36×18
=648(平方厘米)答:
表面积的和是648平方厘米。
例5一个表面涂满了红色的正方体,在它的每个面上都等距离地切两刀。
(1)三个面涂有红色的小正方体有几个?
(2)两个面涂有红色的小正方体有几个?
(3)一个面涂有红色的小正方体有几个?
(4)六个面都没有涂红色的小正方体有几个?
【分析】把大正方体的每个面都切两刀,共可得到3×3×3=27(个)小正方体。
三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处,共有8个。
两个面涂有红色的小正方体的位置在每条棱上,共有1×12=12(个)。
一个面涂有红色的小正方体的位置在每个面的中间,共有1×6=6(个)。
六个面都没有涂红色的小正方体在大正方体的中间,从27个小正方体中去掉三个面、两个面、一个面涂红色的小正方体,剩下的就是六个面都没涂红色的小正方体。
【解】
(1)三个面涂红色的小正方体有8个;
(2)两个面涂红色的小正方体有1×12=12(个);
(3)一个面涂红色的小正方体有1×6=6(个);
(4)六个面都没有涂红色的小正方体有27-(8+12+6)=1(个)。
想一想:
如果要得到100个六个面都没有涂红色的小正方体,那么,每个面上至少需要等距离地切几刀(每个面上切的刀数相同)?
把一个六个面都涂色的正方体的每个面等距离地切n刀,得到的小正方体的总个数为(n+1)3,其中三个面涂色的小正方体的个数为8(固定不变);两个面涂色的小正方体的个数为(n-1)×12;一个面涂色的小正方体的个数为(n-1)2×6;六个面都没涂色的小正方体的个数为(n-1)3。
当n=5时,(5-1)3=64;当n=6时,(6-1)3=125。
所以,要想得到100个六个面都没有涂色的小正方体,至少应该在大正方体的每个面上等距离地切6刀。
【作业题】
1、一个长方体棱长的总和是48厘米,已知长是宽的1.5倍,宽是高的2倍,求这个长方体的体积。
2、用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。
已知长方体的高是10厘米,并且长和宽都大于高。
这个长方体的长和宽各是多少厘米?